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Marta Pinto Stefania Serra Valentina Paravidino. TEORIA DELLE MISURE 1.Di queste cinque persone si conoscono le seguenti informazioni: -MARCO: ligure,

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1 Marta Pinto Stefania Serra Valentina Paravidino

2 TEORIA DELLE MISURE 1.Di queste cinque persone si conoscono le seguenti informazioni: -MARCO: ligure, 30 anni, sposato, scarsa empatia. -SOFIA: campana, 20 anni, nubile, buona empatia. -CHIARA: emiliana, 33 anni, divorziata, buona empatia. -GIOVANNI: toscano, 18 anni, celibe, buona empatia. -MATTEO: trentino, 25 anni, celibe, media empatia.

3 (a) Per ciascuna delle seguenti proprietà si individui una scala di misura adeguata: 1.Sesso 2.Provenienza (nord, centro, sud) 3.Grado di empatia 4.Stato civile 5.Età (b) Per ciascuna di esse si costruisca un adeguato sistema relazionale empirico e si trovino almeno due scale di misura equivalenti e la trasformazione ammissibile che le unisce.

4 Sesso - Sistema empirico: classificatorio - Scala: nominale - Trasformazioni permissibili: corrispondenze biunivoche - E’ una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva (EQUIVALENZA)

5 MarcoSofiaChiaraGiovanniMatteo Marco ~~~ Sofia ~~ Chiara ~~ Giovanni ~~~ Matteo ~~~

6 Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo SISTEMA RELAZIONALE EMPIRICO E NUMERICO

7 Valori assegnati: f (Marco) = 2 (uomo) f (Sofia) = 4 (donna) f (Chiara) = 4 (donna) f (Giovanni) = 2 (uomo) f (Matteo) = 2 (uomo)

8 Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo 0 SCALE DI MISURA EQUIVALENTI

9 Provenienza - Sistema empirico: classificatorio - Tipo di Scala: nominale - Trasformazioni permissibili: corrispondenze biunivoche - E’ una relazione simmetrica, transitiva e riflessiva (EQUIVALENZA)

10 MarcoSofiaChiaraGiovanniMatteo Marco ~~ Sofia ~ Chiara ~~ Giovanni ~~ Matteo ~~

11 Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo 0 SISTEMA RELAZIONALE EMPIRICO E NUMERICO 2 46

12 Valori assegnati: f (Marco) = 6 (nord) f (Sofia) = 2 (sud) f (Chiara) = 4 (centro) f (Giovanni) = 4 (centro) f (Matteo) = 6 (nord)

13 Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo 0 SCALE DI MISURA EQUIVALENTI

14 Grado di empatia - Sistema empirico: ordinato - Scala: ordinale - Trasformazioni permissibili: monotona crescente in senso stretto - E’ una relazione riflessiva, transitiva e connessa (RELAZIONE D’ORDINE LARGO TOTALE)

15 MarcoSofiaChiaraGiovanniMatteo Marco ~ Sofia ~~~ Chiara ~~~ Giovanni ~~~ Matteo ~

16 Marco Matteo Sofia ~ Chiara ~ Giovanni RELAZIONE D’ORDINE

17 Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo 0 SISTEMA RELAZIONALE EMPIRICO E NUMERICO

18 Valori assegnati: f (Marco) = 1 (scarsa) f (Sofia) = 3 (buona) f (Chiara) = 3 (buona) f (Giovanni) = 3 (buona) f (Matteo) = 2 (media)

19 Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo 0 SCALE DI MISURA EQUIVALENTI

20 Stato civile - Sistema empirico: classificatorio - Scala: nominale - Trasformazioni permissibili: corrispondenze biunivoche - E’ una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva (EQUIVALENZA)

21 MarcoSofiaChiaraGiovanniMatteo Marco ~ Sofia ~~~ Chiara ~ Giovanni ~~ Matteo ~~

22 Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo 0 SISTEMA RELAZIONALE EMPIRICO E NUMERICO

23 Valori assegnati: f (Marco) = 1 (sposato) f (Sofia) = 3 (nubile) f (Chiara) = 5 (divorziata) f (Giovanni) = 3 (celibe) f (Matteo) = 3 (celibe)

24 Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo 0 SCALE DI MISURA EQUIVALENTI

25 Età - Sistema empirico: additivo - Scala: a rapporto - Trasformazioni permissibili: dilazioni - E’ relazione riflessiva, connessa e transitiva (RELAZIONE D’ORDINE LARGO TOTALE)

26 MarcoSofiaChiaraGiovanniMatteo Marco ~ Sofia ~ Chiara ~ Giovanni ~ Matteo ~

27 Marco (30) Sofia (20) Chiara (33) Giovanni (18) Matteo (25) 0 SISTEMA REAZIONALE EMPIRICO E NUMERICO y = 2x

28 Marco Sofia Chiara Giovanni Matteo 0 SCALE DI MISURA EQUIVALENTI y = 2 x y = 3 x

29 INDICI DESCRITTIVI Sia X una raccolta di dati su scala a intervalli con i seguenti elementi: X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} (a)Compilare la tabella delle frequenze (b)Calcolare tutte le statistiche significanti su tale scala (tra cui il 23 ed il 77 percentile) (c) trasformare i valori di x in punti z

30 La frequenza indica quante volte si presenta un dato elemento dell’insieme.

31 Frequenze f TOTALE14 X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17}

32 La proporzione è il rapporto tra la frequenza di una classe e il numero totale di elementi misurati. f n P =

33 Frequenze f Proporzioni P 110,07 330,21 510,07 740, , , , , ,07 TOTALE141

34 La frequenza percentuale è la proporzione moltiplicata per 100. f n f % = · 100

35 Frequenze f Proporzioni P Frequenze percentuali f % 110,077% 330,2121% 510,077% 740,2929% 1010,077% 1210,077% 1310,077% 1510,077% 1710,077% TOTALE141100%

36 Le frequenze cumulative riportano in ogni dato la somma delle frequenze fino a quel momento riscontrate, comprese quelle del dato stesso.

37 Frequenze f Proporzioni P Frequenze percentuali f % Frequenze cumulative f. C. 110,077%1 330,2121%4 510,077%5 740,2929%9 1010,077% ,077% ,077% ,077% ,077%14 TOTALE141100%

38 Le frequenze cumulative percentuali sono le frequenze cumulative moltiplicate per 100. f. c. % = f. c. n · 100

39 Frequenze f Proporzioni P Frequenze percentuali f % Frequenze cumulative C Frequenze cumulative percentuali f c % 110,077%1 330,2121%428% 510,077%536% 740,2929%964% 1010,077%1071% 1210,077%1179% 1310,077%1286% 1510,077%1393% 1710,077%14100% TOTALE141100%

40 CALCOLO DELLE STATISTICHE SIGNIFICANTI Dato l’insieme X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} esso è una scala di misura a rapporti e intervalli, perciò tutte le statistiche da noi analizzate sono significanti.

41 1. Moda (Mo) La moda è quel valore che compare con la massima frequenza, è il dato più comune. E’ un indice della tendenza centrale. Dato l’insieme X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} la moda è 7.

42 2. Mediana (Mdn) La mediana corrisponde a quel valore che occupa la posizione centrale in un insieme di dati disposti in ordine crescente. E’ un indice della tendenza centrale. Dato l’insieme X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} la mediana è 7

43 3. Media (X) La media è il numero che si ottiene sommando tutti i dati e dividendo il totale per il numero stesso dei dati. E’ un indice della tendenza centrale. Dato l’insieme X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} 1+3(3)+5+7(4) la media è 7, = 7,86

44 4. Quartili (Q) Dividono la distribuzione dei dati in 4 parti uguali. Sono indici di posizione. - Il primo quartile ha il 25% delle frequenze dei valori al di sotto della sua posizione. - Il secondo quartile coincide con la mediana se n è dispari, nel caso in cui n sia pari corrisponde al numero immediatamente inferiore a ½ (n + 1) (50%). - Il terzo quartile ha al di sotto i ¾ dei dati della distribuzione (75%). - Il quarto quartile è situato al di sopra della totalità delle frequenze (100%).

45 Frequenze f Proporzioni P Frequenze percentuali f % Frequenze cumulative C Frequenze cumulative percentuali f c % 110,077%1 330,2121%428% 510,077%536% 740,2929%964% 1010,077%1071% 1210,077%1179% 1310,077%1286% 1510,077%1393% 1710,077%14100% TOTALE141100%

46 (a) Differenza interquartilica (D.I.) La differenza interquartilica è la differenza tra il terzo e il primo quartile, ossia: D.I. = Q 3 – Q 1 Dato l’insieme X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} Q 3 = 12 Q 1 = 3 12 – 3 = 9

47 (b) Semidifferenza interquartilica (S.I.) La semidifferenza interquartilica è la metà della differenza interquartilica. S.I. = Q 3 – Q 1 2 Quindi : 12 – 3 = 4,5 2

48 5. Gamma (G) La gamma descrive la distanza tra il valore minimo e il valore massimo di un dato insieme. E’ un indice di dispersione o di variabilità. Dato l’insieme X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} la gamma è 17 – 1 = 16

49 6. Percentili ( P ) I percentili dividono la distribuzione in cento parti. Sono indici di posizione. Dato l’insieme X = {1,3,3,3,5,7,7,7,7,10,12,13,15,17} Il 23 percentile è il valore numerico al di sotto del quale sta il 23% dei dati, quindi 14 · 23 = 3,22 P 23 = 3 (ossia il dato in terza posizione) 100 Il 77 percentile è 14 · 77 = 10,78 P 77 = n · m 100 P =

50 7. Punti z o Punti Standard I Punti Z sono indici di posizione. x i – X s per calcolare s si utilizza la formula S = √∑ ( x i – X) n i= 1 2 Prendiamo come esempio il primo numero: 1 (1 – 7,86) = 3, Z = n

51 xixi Xx i - X(x i – X) 17,86- 6,8647,06 37,86- 4,8623,62 57,86- 2,868,18 77,86- 0,860,74 107,862,144,58 127,864,1417,14 137,865,1426,47 157,867,1450,98 177,869,1483, volte 4 volte TOT.0311,77

52 Avendo trovato s (varianza) ora calcoliamo s (deviazione standard) prima dividendo per n e poi calcolando la radice del risultato ottenuto. √311,77 / 14 = 4,72 Abbiamo così trovato s. Avendo tutti i dati possiamo calcolare Z. 2 x i – X s Z =

53 xixi Xx i - XS 17,86- 6,864,72 37,86- 4,864,72 57,86- 2,864,72 77,86- 0,864,72 107,862,144,72 127,864,144,72 137,865,144,72 157,867,144,72 177,869,144,72 Z - 1,45 - 1,03 - 0,61 - 0,18 0,45 0,88 1,09 1,51 1,94

54 … GRAZIE x la vostra attenzione!!


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