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Esempio di v.a.: Immagini radar Immagine grezza (con disturbo aleatorio) Immagine filtrata Baltrum, isole Frisone Tema 2: Istogrammi, trasformazioni di.

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Presentazione sul tema: "Esempio di v.a.: Immagini radar Immagine grezza (con disturbo aleatorio) Immagine filtrata Baltrum, isole Frisone Tema 2: Istogrammi, trasformazioni di."— Transcript della presentazione:

1 Esempio di v.a.: Immagini radar Immagine grezza (con disturbo aleatorio) Immagine filtrata Baltrum, isole Frisone Tema 2: Istogrammi, trasformazioni di v.a., e misura di indici statistici

2 “bin” Concetto di Istogramma Istogramma ottenuto mediante N=1000 realizzazioni, { x[k]; k=1,2,..,N }, di una v.a. Gaussiana standard Normalizzazione: Nota sulla accuratezza della misura: deve essere soddisfatta la regola empirica dove K(x i ) = Num. osservati che cadono nell’intervallo (bin) centrato in x i

3 v.a. intensità Istogramma di immagini radar Dettaglio immagine grezza Istogramma non normalizzato Istogramma normalizzato v.a. ampiezza Trasformaz. di v.a.: La mappa riporta il logaritmo delle ampiezze Nota Nota: disturbi aleatori con ddp analoghe si trovano anche nei ponti radio ddp exp. negativaddp di Rayleigh

4 Calcolo di istogrammi - Esercizio: Calcolare e visualizzare l’istogramma normalizzato utilizzando N=10 5 realizzazioni di una v.a. Gaussiana standard, e confrontarlo con la ddp ideale: - Problema: fissato N, come scegliere  x (ovvero il numero di bin)? Verificare il compromesso risoluzione/accuratezza [ Istruzioni utili: randn, function, size, hist, bar ]

5 % Calcolo istogramma normalizzato function [ddp,x0] = istog(NBIN,x) % IN: vettore dati, x; numero di bin, nbin; % OUT: istogramma normalizzato, ddp; % vettore valori di centro-bin, x0; % uscita su video di istogramma normalizzato Nx=size(x,2); % numero di dati [count,x0]= hist(x,NBIN); % esegue i conteggi Deltax=x0(2)-x0(1); % calcola larghezza bin ddp= count/Deltax/Nx; % normalizza bar(x0,ddp) % grafico istog.m Esempio di file.m: istog.m

6 [ per confronto si è sovrapposta la ddp effettiva ] 10 bin 50 bin 500 bin % Compromesso accuratezza/risoluzione dell'istogramma x=randn(1,10000); figure [d,x0]=istog(10,x); figure [d,x0]=istog(50,x); figure [d,x0]=istog(500,x); Esempio di risultati

7 Generazione di v.a. exp. negativa - Generare N=10 4 realizzazioni di una v.a. esponenziale negativa con parametro  =1 [ Istruzioni utili: rand,... ] - Calcolare e visualizzare l’istogramma normalizzato dei dati generati [ Istruzioni utili: hist, bar ] Generazione di v.a. Y con d.d.p. f Y (y) e funzione di distribuzione F Y (y): con X v.a. uniforme su [0,1]

8 % Generazione v.a. exp. negative con parametro eta=1 function X = genespneg(N) % IN: numero di v.a., N; % OUT: vettore di v.a. esponenziali negative (eta=1); unif=rand(1,N); % genera N v.a. uniformi tra 0 e 1 X=-log(1-unif); % trasformazione di v.a. per ottenere % le v.a. esponenziali negative (eta=1); % nota: si può usare anche la trasformazione % X=-log(unif) % generazione v.a. x= genespneg(20000); % istogramma normalizz. con 100 bin [d,x0]=istog(100,x); genespneg.m Esempio di file.m: genespneg.m

9 Misura del valor medio e deviazione standard - Valutare sperimentalmente il valor medio e la deviazione standard della v.a. esponenziale negativa generata, e di una v.a. uniforme nell’intervallo [-1,3] di cui si hanno N=1000 e N=10 realizzazioni generate al calcolatore [ Istruzioni utili: rand, mean, std ] Dati: { x[k]; k=1,2,..,N }

10 Valori effettivi: media=1; dev_stand=1 % Generazione delle v.a. esponenziali negative con eta=1 x=genespneg(20000); % calcola media e deviazione standard mean(x) std(x) % oppure std(x,1) ans = ans = Esempio di file.m & risultati (1)

11 % Generazione 1000 realizzazioni di v.a. uniforme tra –1 e 3 x=rand(1,1000)*4-1; % calcola media e deviazione standard mean(x) std(x) % oppure std(x,1) % calcolo con sole 10 realizzazioni mean(x(1:10)) std(x(1:10)) % oppure std(x(1:10),1) ans = ans = Valori effettivi: media=1; dev_stand= ans = ans = N=1000 N=10 Esempio di file.m & risultati (2)

12 Definizione di Skewness e Kurtosis: Skewness e Kurtosis dove è la varianza Sono indici di non Gaussianità !

13 Esercizio Esercizio : Generare una sequenza di N=10 5 realizzazioni di una v.a. X, Gaussiana standard e di una v.a. Y, exp monolatera, avente varianza unitaria Misurare dai dati valor medio, varianza e skewness al variare del numero n di campioni utilizzati per la misura, e graficare il risultato per 1

14 Esempio di risultati (3) Misure empiriche (stime) di valor medio, dev. standard, skewness e kurtosis al variare del numero n di campioni utilizzati per la misura: n=1,2, …, N

15 Esempio di risultati (4)

16 skewkurt.m Esempio di file.m: skewkurt.m % Misura della media, dev. standard, skewness e kurtosis di v.a. Gaussiane ed esponenziali clc clear N=10000; EN=exprnd(1,1,N); % genera N v.a. esponenziali negative (eta=1); GA=randn(1,N); % genera N v.a. Gaussiane standard; for indice=1:N/10, % per numero di campioni variabile a passi di 10 ncamp=indice*10; etaEN(indice)=mean(EN(1:ncamp)); % valuta le medie etaGA(indice)=mean(GA(1:ncamp)); stdEN(indice)=std(EN(1:ncamp),1); % valuta le deviazioni standard stdGA(indice)=std(GA(1:ncamp),1); skeEN(indice)=skewness(EN(1:ncamp)); % valuta le skewness skeGA(indice)=skewness(GA(1:ncamp)); kurEN(indice)=kurtosis(EN(1:ncamp))-3; % valuta le kurtosis kurGA(indice)=kurtosis(GA(1:ncamp))-3; end a=10*[1:N/10]; % esegue i grafici figure semilogx(a,etaEN,'r',a,stdEN,'g',a,skeEN,'b',a,kurEN,'k') xlabel('num. campioni') title('v.a. esponenziale negativa (eta=1)') legend('media','dev. stand.','skew.','kurt.') figure semilogx(a,etaGA,'r',a,stdGA,'g',a,skeGA,'b',a,kurGA,'k') xlabel('num. campioni') title('v.a. Gaussiana standard') legend('media','dev. stand.','skew.','kurt.')


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