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Processi Aleatori : Introduzione – Parte II Fulvio GINI Dipartimento di Ingegneria dellInformazione: Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni Università

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Presentazione sul tema: "Processi Aleatori : Introduzione – Parte II Fulvio GINI Dipartimento di Ingegneria dellInformazione: Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni Università"— Transcript della presentazione:

1 Processi Aleatori : Introduzione – Parte II Fulvio GINI Dipartimento di Ingegneria dellInformazione: Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni Università di Pisa Accademia Navale, Livorno

2 2 Processi aleatori Gaussiani Un processo X(t) si dice Gaussiano se per ogni N e per ogni N-upla di istanti t 1, t 2, …, t N, il vettore delle N variabili aleatorie X = [ X(t 1 ) X(t 2 ) … X(t N ) ] T è un vettore Gaussiano, ovvero le N v.a. sono congiuntamente Gaussiane Vettore Gaussiano: N v.a. congiuntamente Gaussiane ddp congiunta di ordine N

3 3 La ddp congiunta di ordine N è univocamente determinata dalla conoscenza della funzione valor medio e della funzione di autocovarianza del processo: Vettore valori medi [ statistica di ordine 1 ] Matrice di covarianza [ statistica di ordine 2 ] Processi aleatori Gaussiani

4 4 Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 1 Proprietà 1: la ddp congiunta di ordine N di un vettore aleatorio Gaussiano è completamente specificata dal vettore valori medi e dalla matrice di covarianza Proprietà 2 Proprietà 2: una trasformazione lineare di vettori Gaussiani preserva la Gaussianità: Proprietà 3 Proprietà 3: una qualsiasi r-upla di v.a. estratte da X è ancora un vettore aleatorio Gaussiano, in particolare ogni X k è una v.a. Gaussiana

5 5 Se {X i ;i=1,2,3,4} sono v.a. Gaussiane: Proprietà 4: Proprietà 4: Funzione caratteristica di un vettore Gaussiano Se {X i ;i=1,2, …, N} sono v.a. Gaussiane indipendenti: Proprietà dei vettori Gaussiani

6 6 Proprietà 5 Proprietà 5: se N v.a. congiuntamente Gaussiane sono a due a due incorrelate, esse sono anche indipendenti Se sono anche identicamente distribuite:, dove I è la matrice identità, e Proprietà dei vettori Gaussiani

7 7 Proprietà 6 Proprietà 6: la ddp di una qualsiasi r-upla di v.a. condizionata ad un qualsiasi sottogruppo di k v.a. (prese tra le rimanenti N-r) è Gaussiana vettore valori medi e matrice di covarianza condizionati Proprietà dei vettori Gaussiani

8 8 y x Densità di Probabilità (ddp) di due v.a. congiuntamente Gaussiane: Sistema di 2 v.a. congiuntamente Gaussiane

9 9 Generazione di V.A. cong. Gaussiane correlate Decomposizione di Cholesky matrice triangolare superiore oppure desiderati ? Decomposizione spettrale

10 10 Campionamento di processi tempo-continui Sia dato un processo tempo- continuo Y(t), stazionario almeno in senso lato, con funzione di autocorrelazione e densità spettrale di potenza date: Campioniamo Y(t) negli istanti t n =nT, in modo da ottenere la sequenza di v.a. Y[n]=Y(nT), ovvero il processo tempo- discreto Y[n] La ACF di Y[n] è data dalla versione campionata di quella del processo tempo-continuo Y(t), infatti: filtro anti-aliasing

11 11 Campionamento di processi tempo-continui Il legame tra la PSD di Y(t) e quella di Y[n] è noto dal Teorema del Campionamento: campionamento nel tempo comporta la periodicizzazione nel dominio della frequenza: f a è la frequenza analogica [Hz] - f è la frequenza discreta [Adimens.]

12 12 Processo bianco tempo-discreto Un processo tempo-discreto Y[n] si definisce bianco quando è formato da una sequenza di v.a. incorrelate e a valor medio nullo, ovvero quando la sua ACF ha la seguente forma: La PSD di Y[n] è quindi data da: ovvero è costante per tutte le f, giustificando lapellativo bianco Nota bene: la potenza media è finita, a differenza dei processi bianchi tempo-continui:

13 13 Processi lineari tempo-discreti Processo bianco Il processo in uscita è colorato dal filtro MATLAB: y=conv(x,h)

14 14 Processi Autoregressivi a Media Mobile ARMA(P,Q) Eq. alle differenze ricorsiva MATLAB: y=filter(b,a,x) Poli del filtro = soluzioni dellEquazione Caratteristica WGN White Gaussian Noise x=randn(N,1) Filtro IIR

15 15 Processi Autoregressivi AR(P) Eq. alle differenze ricorsiva MATLAB: y=filter(b,a,x) Poli del filtro = soluzioni dellEquazione Caratteristica WGN White Gaussian Noise x=randn(N,1) Filtro IIR di ordine P

16 16 Spettro di un processo AR(1)

17 17 Eq. alle differenze non ricorsiva Risp. impulsiva: MATLAB: y=filter(b,a,x) Zeri del filtro = soluzioni dellequazione WGN White Gaussian Noise x=randn(N,1) Filtro FIR di ordine Q Processi a media mobile MA(Q)

18 18 ACF e spettro di un processo MA(16) Filtro a media mobile

19 19 Segnali tempo-discreti: ACF e PSD Confronto tra alcune definizioni per segnali aleatori e deterministici

20 20 Segnali tempo-discreti: ACF e PSD Confronto tra alcune definizioni per segnali aleatori e deterministici

21 21 Processi ergodici tempo-discreto Come nel caso di processi ergodici tempo-continui, per processi ergodici tempo-discreti è possibile misurare certe statistiche, definite come medie dinsieme, mediante le corrispondenti medie temporali calcolate su una qualsiasi realizzazione: valor medio ACF

22 22 In pratica, valor medio, funzione di autocorrelazione e densità spettrale di potenza di un processo s.s.l., ergodico, si misurano dai dati come segue: valor medio ACF dati PSD Analisi in potenza di un processo ergodico [ di fatto, si usa la FFT ]

23 23 Analisi di Fourier: segnali tempo-continuo Trasform. Continua di Fourier di un segnale aperiodico tempo-continuo (FT o TCF) Trasformata Serie di Fourier di un segnale periodico tempo-continuo (FS o TSF)

24 24 Analisi di Fourier: segnali tempo-discreto Trasformata Serie di Fourier di un segnale periodico tempo-discreto (DTFS o DFT) Trasformata Continua di Fourier di un segnale aperiodico tempo-discreto (DTFT)


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