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Filtri digitali Introduzione Programma del Corso Basi di elaborazione numerica Introduzione ai filtri digitali Progetto di filtri analogici Progetto.

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2 Filtri digitali Introduzione

3 Programma del Corso Basi di elaborazione numerica Introduzione ai filtri digitali Progetto di filtri analogici Progetto di filtri digitali ricorsivi (IIR) Progetto di filtri digitali non-ricorsivi (FIR) Filtri Multirate Filtri Non-Lineari ???

4 Testi Consigliati Proakis - Manolakis Introduction to digital Signal Processing Macmillan Publishing Company Rabiner - Gold Theory and application of digital signal processing Prentice_hall Mitra Digital Signal Processing Mc Graw Hill Oppenheim – Shafer Digital Signal Processing Prentice Hall

5 Sequenze di dati (nomenclatura) Sequenza: {x(n)} Campione: x(n) Indice: n Sequenze fondamentali: Impulso Gradino Esponenziale complesso ….

6 {h(n)} r n: indice della seq. m: ritardo Una qualunque sequenza puo essere pensata come una combinazione lineare di tante sequenze impulsive opportunamente ritardate e pesate n = 0 Ritardo

7 Sistemi LTI (Linearity) LTI x(n) y(n) Linearita:

8 Sistemi LTI (Time Invariant) LTI x(n) y(n) Invarianza Temporale:

9 Convoluzione LTI u (n) o h(n) x(n)y(n) x (n)y(n) Con una semplice sostituzione degli indici (m = n - m)

10 Causalita` Si definisce causale un sistema per cui Ovvero il sitema non e anticipativo Stabilita` Un sistema e` stabile se, sollecitato con un ingresso limitato risponde con unuscita pur essa limitata. Condizione necessaria e sufficiente per la stabilita e:

11 Espressioni per y(n) Convoluzione Differenze finite Vi sono 2 categorie di Filtri Lineari: FIR (Finite Impulse response) in cui luscita dipende solo dallingresso IIR (Infinite Impulse Response) in cui e presente una retroazione

12 Risposta in frequenza Si solleciti un sistema lineare avente una risposta impulsiva h(n) con un segnale di tipo: Luscita risulta essere: Ove H(e j ) prende il nome di riposta in frequenza

13 Risposta in frequenza - Proprieta: Funzione continua in Periodica di periodo 2 Se h(n) è reale modulo simmetrico e fase antisimmetrica Re(H) simmetrico ed Im(H) antisimmetrico

14 Risposta in frequenza - Proprieta: Essendo H periodica può essere sviluppata in serie di Fourier: LTI Ovvero:

15 Sequenza temporale Se si vuole mantenere il legame temporale con il segnale analogico X(t) X(nT) T La risposta in frequenza risulta periodica di periodo 2 /T

16 Legame spettro analogico - digitale Un qualunque segnale continuo: Campionato con periodo T: Suddividendo lintegrale: Sostituendo: = - 2 m/T: Semplificando: Ma paragonando il risultato ottenuto con quanto si e visto per i segnali digitali, ovvero: Si perviene al legame tra le rappresentazioni spettrali del segnale originale e del suo campionato:

17 Legame spettro analogico - digitale X(t) T Partendo da un segnale analogico Con un certo spettro Definito un certo intervallo di campionamento T ed operando il campionamento del segnale

18 Legame spettro analogico - digitale X(t) X(nT) T Si ottiene un segnale digitaleCon un certo spettro digitale Lo spettro digitale (periodico) e ottenibile come sovrapposizione di infinite repliche, opportunamente traslate, dello spettro analogico

19 Aliasing X(t) T Una modifica dellintervallo T Comporta una modifica nella periodicità dello spettro X(nT) ALIASING: Se si sceglie un periodo di campionamento troppo elevato (in riferimento alla massima frequenza del segnale analogico) si possono avere distorsioni dovute alla sovrapposizione degli spettri

20 Aliasing X(t) T Una modifica dellintervallo T Comporta una modifica nella periodicità dello spettro X(nT) ALIASING: Se si sceglie un periodo di campionamento troppo elevato (in riferimento alla massima frequenza del segnale analogico) si possono avere distorsioni dovute alla sovrapposizione degli spettri

21 Teorema di Shannon X(t) T X(nT) Per non avere aliasing lintervallo di campionamento deve essere scelto in base alla seguente regola: Ovvero: Le componenti armoniche a frequenza superiore DEVONO venir filtrate M

22 Interpretazione Per campionare un segnale si deve usare una frequenza di campionamento (f T ) almeno doppia della massima frequenza del segnale (f N ) (Nyquist) In un segnale con una sola frequenza si devono prendere almeno 2 campioni per periodo per poter ricostruire il segnale

23 Trasformata Z Data una certa sequenza x(n) di definisce: Proprietà: Linearità: Ritardo: Convoluzione:

24 Trasformata Z (proprietà) Legame con la risposta in frequenza: r = 1 Re Im Z-plane e j

25 Applicazioni ai filtri lineari Poiché un filtro digitale lineare può essere rappresentato tramite una equazione alle differenze finite: Sfruttando la trasformata Z: Si perviene ad una rappresentazione del filtro secondo la trasf.Z come un rapporto di due polinomi in Z. H è la Z-trasf. della risposta impulsiva h(n)

26 Filtri digitali lineari Z -1 b0b0 b1b1 b M-1 bMbM aNaN a N-1 a1a1 x(n) y(n) FIR: a i = 0 IIR : a i = 0 b i = h i Differenze finiteConvoluzione


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