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Filtri digitali IIR IIR - Linearità di fase Esiste un legame fase linere risposta impulsiva di simmetria o antisimmetria di h(n). Ma h(n) è infinita.

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2 Filtri digitali IIR

3 IIR - Linearità di fase Esiste un legame fase linere risposta impulsiva di simmetria o antisimmetria di h(n). Ma h(n) è infinita Un IIR a fase linare non è realizzabile Se h(n) è simmetrica vale la seguente proprietà: H(z -1 ) = z N-1 H(z) ovvero tanto gli zeri quanto i poli di H(z) devono essere speculari rispetto il cerchio unitario ( INSTABILITÀ) Re Im Z-plane e j

4 IIR - Linearità di fase (approx.) Si approssima la fase lineare solo in banda passante Impiego di un equalizzatore di fase (filtro ALL-PASS) Si rinuncia alla realizzabilità (non applicabile nel caso di filtraggi in tempo reale) Impiego della tecnica del TIME-REVERSAL Mod. Fase T.R.H(z)T.R.H(z) x(n)x(-n)f(n)f(-n)y(-n) X(z)X(z -1 )H(z)X(z -1 )H(z -1 )X(z) H(z)H(z -1 )X(z)

5 Filtri IIR - Progetto Ottimizzazione procedimenti iterativi per definire i coefficienti che minimizzano un certo errore Scelta diretta di poli e zeri in Z. Trasformazione da prototipi analogici Butterworth Chebyshev (1 o e 2 o tipo) Elittici Si deve definire una mappatura da s z che mantenga le proprietà del filtro nonché la stabilità.

6 Filtri IIR - Progetto Si parte da un progetto analogico E lo si riporta in digitale Cercando di rispettare due regole: Lasse j del piano S venga mappato sul cerchio unitario e i in Z (uguale risposta in frequenza) Il semipiano sinistro di S venga mappato internamente al cerchio unitario in Z (stabilità)

7 Trasf. Differenziali Differenze finite Forward difference Backward difference Generalized differences

8 Trasf. Differenziali Differenze finite Eq. differenziali Trasf. Di Laplace Trasformazione adottata Differenze finite

9 Backward difference (1)

10 Backward difference (2) S-planeZ-plane

11 Backward difference (2) Considerazioni: Mantiene la stabilita La risposta in frequenza risulta alterata tanto piu quanto maggiore e T tanto piu verso le alte frequenze la risposta in frequenza risulta approssimata solo alle basse frequenze

12 Forward difference (1)

13 Backward difference (2) S-planeZ-plane

14 Forward difference (2) Considerazioni: NON Mantiene la stabilita La risposta in frequenza risulta alterata tanto piu quanto maggiore e T tanto piu verso le alte frequenze la risposta in frequenza risulta approssimata solo alle basse frequenze

15 Generalized difference (1)

16 Generalized difference (2) S-planeZ-plane

17 Generalized difference (3) S-planeZ-plane

18 Generalized difference (4) Considerazioni (personali) è una trasformata strana solo una parte dellasse jΩ viene mappato sul cerchio unitario la legge di mappatura puo portare a piu soluzioni la legge di mappatura inversa potrebbe non essere monotona (si deve operare una scelta particolare di α i ad ogni polo in s corrispondono piu poli in z di cui a coppie uno dentro ed uno fuori dal cerchio unitario se z è una soluzione lo è anche -1/z applicata direttamente NON mantiene la stabilità si puo pensare di stabilizzare il filtro riportando I poli a con modulo maggiore di 1 in 1/z

19 Trasformata bilineare (1) e j zs j -2/T

20 Trasformata bilineare (2) S-planeZ-plane

21 Trasformata bilineare (3)

22 Trasformata bilineare (4) Considerazioni E semplicemente una trasformata che gode di opportune proprieta mappa lasse jΩ sul cerchio unitario mantiene la stabilita La forma della risposta in frequenza risulta distorta si deve applicare un pre-warping alle caratteristiche del filtro Il T impiegato nella trasformata bilineare non deve per forza coincidere con il periodo di campionamento del segnale digitale

23 Risposta impulsiva invariante (1) Solo per i poli

24 Risposta impulsiva invariante (2) e j zs j /T Applicato solamente ai poli di H(s) Per evitare laliasing H(j ) =0 per | | > /T


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