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Filtri Multirate e Banchi di Filtri Studio ed applicazioni.

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Presentazione sul tema: "Filtri Multirate e Banchi di Filtri Studio ed applicazioni."— Transcript della presentazione:

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2 Filtri Multirate e Banchi di Filtri Studio ed applicazioni

3 Banchi di filtri Sono sistemi che scompongono il segnale in varie bande di frequenza Vengono Impiegati in molteplici settori Analisi dei segnali Compressione e Codifica di segnali ed immagini Crittografia Sistemi di antenna Speech processing Ecc.

4 Filtri Multirate Sono sistemi che operano a diverse frequenze di campionamento Possono essere impiegati per modificare T (Es. Scalaggi di immagini, conversione di dati digitali tra diversi supporti CD, MC, … ) Si possono impiegate per realizzare sistemi digitali piu semplici da un punto di vista realizzativo Sorgono nuove problematiche Aliasing Imaging

5 Blocchi Fondamentali Decimatore Interpolatore M L

6 Blocchi Fondamentali (esempio) Decimatore Interpolatore 2 2 [ … …] [… …] [… … ][ … … ]

7 Considerazioni Il decimatore e linterpolatore Sono sistemi lineari NON SONO tempo invarianti Dim:

8 Considerazioni Il decimatore e linterpolatore Sono sistemi lineari NON SONO tempo invarianti Pertanto perdono di significato alcuni strumenti quali: risposta impulsiva risposta in frequenza Es: 2 [ ][ ] [ ][ ]

9 Effetti sullo spettro (Interpolatore) Interpolatore: In particolare:

10 Effetti sullo spettro Interpolatore: E Effetto Imaging 2

11 Effetti sullo spettro (Decimatore) Decimatore In particolare:

12 Effetti sullo spettro (Decimatore) Decimatore 2 Possibile effetto Aliasing !!!

13 Interconnessione Il segnale originale si puo recuperare Con un opportuno filtro anti-imaging Purche non vi sia stato aliasing Il segnale originale deve avere banda limitata entro NON e necessario che la banda sia centrata attorno allo 0 !!! M M

14 Interconnessione In generale i due blocchi non sono intercambiabili Es: decimare ed interpolare non e lo stesso che interpolare e decimare I blocchi sono invece intercambiabili se M ed L sono primi fra loro M L

15 Interconnessione M L L M

16 Pertanto i risultati sono uguali se e solo se gli insiemi dei valori realizzati da: coincidono !!! Perche W kL copra tutti i punti sul cerchio unitario coperti da W k, L ed M devono essere primi fra loro

17 Filtri Per modificare il periodo di campionamento Il decimatore è preceduto da un filtro anti-aliasing Linterpolatore è seguito da un filtro anti-imaging LP filter M L

18 Variazione di un fattore razionale LP filter M L Il filtro serve da anti-imaging ed anti-aliasing La freq. di taglio va dimensionata sul max(L,M) Problema: Il filtro lavora ad alta frequenza Si possono usare strutture polifase (vedi dopo!)

19 Realizzazioni in più stadi Se le specifiche sono troppo stringenti si può operare in due fasi: Esempio: decimatore per 100 ed un filtro anti-aliasing con specifiche: p = (nessun aliasing) s = si salvi l80% della banda utile) Caso 1: p = s = LP LP filter 100 Le specifiche del filtro sono molto stringenti

20 Realizzazioni in più stadi Caso 2: LP 1 50 LP = s = LP 1 p = 1 = p = s = LP 2 Si accetta aliasing in LP1 che poi verrà eliminato da LP2 Il primo decimatore (50 ) allarga lo spettro rilassando le specifiche di LP2 Entrambi I filtri presentano specifiche meno stringenti

21 Equivalenze fondamentali (1) G(z)M M G(z M ) x(n)w(n)y(n)

22 Equivalenze fondamentali (2) G(z L )L L G(z) x(n)w(n)y(n)

23 Banchi di Filtri (analisi e sintesi) x(n) H 0 (z) H 1 (z) H M-1 (z) x 0 (n) x 1 (n) x M-1 (n) F 0 (z) F 1 (z) F M-1 (z) + y 0 (n) y 1 (n) y M-1 (n) y(n) banco di analisibanco di sintesi …… … H0H0 H1H1 H2H2 H M-1 H0H0 2 0

24 Banchi di Filtri (analisi e sintesi) Banco di analisi suddivide il segnale in M sotto bande Banco di sintesi elabora M segnali (tipicamente da un banco di analisi) ricombina i risultati in un segnale finale y(n) I filtri possono essere progettati secondo diverse tipologie (Nyquist, complementari, DFT,…) Questo schema trova impiego in molti campi Analisi dei segnali Codifica / compressione, multiplexing,.. Crittografia …

25 Uniform DFT filter banks Tutti i filtri derivano da un prototipo Ovvero Ossia sono versioni traslate dello stesso spettro … H0H0 H1H1 H2H2 H M-1 H0H0 2 0

26 Applicazioni Transmultiplexers Multiplazione di segnali in tempo o in frequenza Segnali audio digitali HI-FI Per ottenere una banda utile di 22k si deve campionare almeno a 44k Questo richiede un filtro analogico anti-aliasing con caratteristiche stringenti (elittici a fase non lineare) Campionando ad una frequenza superiore (88k) si puo usare un filtro analogico meno stringente, si aggiunga quindi un filtro digitale ed un decimatore 88kHz sampler A/D Converter H(z)2

27 Applicazioni Subband Coding Spesso i segnali presentano lenergia concentrata in certe sotto- bande (Es. speech, immagini, …) Se lenergia è limitata ad una sotto-banda si può usare ad esempio un filtro ed un decimatore Se lenergia occupa tutta la banda utile ma in modo diverso si può usare un banco di analisi, una opportuna codifica ed un banco di sintesi. Note: Conoscenza a priori della tipologia di segnali Fondamentale leliminazione di Aliasing-Imaging H 0 (z)2 2 F 0 (z) H 1 (z)2 2 F 1 (z) +

28 Applicazioni Crittografia di un segnale vocale su linea telefonica analogica suddivisione di un segnale in n sottobande ogni sottobanda viene quindi suddivisa in m segmenti temporali permutazione dei segnali ( nm! ) ricombinazione

29 Decomposizione Polifase Si riuniscano i coefficienti h(n) di un filtro in piu gruppi (Ad es. pari e dispari) Es: [… …]= [… …]+ [… …] E 0 : filtro composto dai soli coeff. pari E 1 : filtro composto dai soli coeff. dispari

30 Decomposizione Polifase Filtri IIR analogamente si può operare anche su filtri IIR Es:

31 Decomposizione Polifase Più genericamente (I Tipo): Essendo e 0 (n) la versione decimata di h(n) vale la seguente proprietà

32 Decomposizione Polifase Schema (I Tipo): E 0 (z M ) z -1 E 1 (z M ) E M-1 (z M ) + +

33 Decomposizione Polifase Esiste anche una versione alternativa (II tipo) che è solo un modo diverso per numerare gli insiemi dei coefficienti del filtro h(n) (si spostano i ritardi a valle) Nota: la decomposizione polifase si può applicare a qualunque sequenza.

34 Decomposizione Polifase Schema (II Tipo): R 0 (z M ) z -1 R 1 (z M ) R M-1 (z M ) + + Notare i ritardi messi a valle dei filtri

35 Sistemi polifase per modificare T Finora nei decimatori e negli interpolatori il fitro operava nella parte ad alta frequenza Inoltre il filtro compie molte operazioni inutili campioni nulli allingresso dellinterpolatore campioni eliminati in uscita dal decimatore h0h0 h1h1 h2h2 h n-1 z Il sistema deve eseguire N Moltiplicazioni ed N-1 somme ogni qualvolta esce un capione pari e potrebbe venir spento durante i campioni dispari x(n) y(n) y(2n)

36 Sistemi polifase per modificare T Implementazione polifase del decimatore: E 0 (z 2 ) E 1 (z 2 ) z y(n)y(2n) x(n) E 0 (z) E 1 (z) z x(n) y(2n) I filtri ricevono i campioni in ingresso con una cadenza dimezzata La prima parte può essere vista come un de-multiplexer

37 Sistemi polifase per modificare T Implementazione polifase dellinterpolatore: R 0 (z 2 ) R 1 (z 2 ) z x(n) R 0 (z) R 1 (z) z x(n) I filtri ricevono i campioni in ingresso con una cadenza dimezzata La seconda parte può essere vista come un multiplexer

38 Sistemi polifase per modificare T Implementazione polifase dellinterpolatore per un numero razionale: Lo schema canonico è doppiamente inefficiente il filtro opera nella parte ad alta frequenza, ovvero: Lingresso del filtro contiene L-1 zeri Alluscita viene salvato solo un risultato ogni M LP filter M L

39 Sistemi polifase per modificare T Esempio L=2, M=3; R 0 (z) R 1 (z) z x(n) 3 y(n) E 0 (z) E 1 (z) z x(n) E 2 (z) + 3 z -1 2 I Tipo II Tipo

40 Sistemi polifase per modificare T Notando che: R 0 (z) R 1 (z) z x(n) 3 y(n) R 0 (z) R 1 (z) z x(n) 3 y(n) z2z2

41 Sistemi polifase per modificare T R 0 (z) R 1 (z) z x(n) 3 y(n) z2z2 R 0 (z) R 1 (z) z x(n) 3 y(n) z -1 3 Per le equivalenze fondamentali:

42 Sistemi polifase per modificare T R 0 (z) R 1 (z) z x(n) 3 y(n) z -1 3 Essendo M ed L primi tra loro: R 0 (z) R 1 (z) z x(n) 2 y(n) z -1 2

43 Sistemi polifase per modificare T z -1 + x(n) 2 y(n) z -1 2 R 00 (z) R 01 (z) z R 02 (z) + 3 z -1 R 10 (z) R 11 (z) z R 12 (z) + 3 z -1

44 Sistemi polifase per modificare T Un esempio pratico: Siano [a b c d e f e d c b a ] i coefficienti del filtro LP : E 0 =[a d e b] E 1 =[b e d a] E 2 =[c f c] R 0 =[b d f d b] R 1 =[a c e e c a] R 00 =[b d] R 01 =[d b] R 02 =[f] R 10 =[a e] R 11 =[c c] R 12 =[e a]


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