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Tema 4: Sistemi di V.A. Gaussiane Vettore Gaussiano: N v.a. congiuntamente Gaussiane ddp congiunta di ordine N Vettore valori medi [ statistica di ordine.

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1 Tema 4: Sistemi di V.A. Gaussiane Vettore Gaussiano: N v.a. congiuntamente Gaussiane ddp congiunta di ordine N Vettore valori medi [ statistica di ordine 1 ] Matrice di covarianza [ statistica di ordine 2 ]

2 Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 1 Proprietà 1: la ddp congiunta di ordine N di un vettore aleatorio Gaussiano è completamente specificata dal vettore valori medi e dalla matrice di covarianza Proprietà 2 Proprietà 2: una trasformazione lineare di vettori Gaussiani preserva la Gaussianità: Proprietà 3 Proprietà 3: una qualsiasi r-upla di v.a. estratte da X è ancora un vettore aleatorio Gaussiano, in particolare ogni X k è una v.a. Gaussiana

3 Proprietà dei vettori Gaussiani Se {X i ; i=1,2,3,4} sono v.a. Gaussiane con valori medi nulli: Proprietà 4: Proprietà 4: Funzione caratteristica di un vettore Gaussiano Se {X i ; i=1,2, …, N} sono v.a. Gaussiane indipendenti:

4 Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 5 Proprietà 5: se N v.a. congiuntamente Gaussiane sono a due a due incorrelate, esse sono anche indipendenti Se sono anche identicamente distribuite:, dove I è la matrice identità, e

5 Proprietà dei vettori Gaussiani Proprietà 6 Proprietà 6: la ddp di una qualsiasi r-upla di v.a. condizionata ad un qualsiasi sottogruppo di k v.a. (prese tra le rimanenti N-r) è Gaussiana vettore valori medi e matrice di covarianza condizionati

6 y x Densità di Probabilità (ddp) di due v.a. congiuntamente Gaussiane: Sistema di 2 v.a. congiuntamente Gaussiane

7 x y Influenza di valori medi e varianze y x Curve di livello:

8 Influenza del coefficiente di correlazione x y x y

9 % Calcolo analitico della ddp congiunta di coppia di v.a. cong. Gaussiane function ddp=ddpgausscorr(vx,vy,ex,ey,sx,sy,rho,graf) % IN: vettori dei valori di cui calcolare la ddp, vx,vy; % media della prima e seconda v.a. Gaussiana, ex, ey; % dev. standard della prima e seconda v.a. Gaussiana, sx, sy; % coefficiente di correlazione, rho; % flag grafico 3D/curve di livello (0,1), graf % OUT: matrice di valori della ddp congiunta; % uscita su video della ddp congiunta x=repmat(vx,size(vy,2),1); % prepara una matrice di valori di x per y costanti y=repmat(vy,size(vx,2),1); y=y'; % prepara una matrice di valori di y per x costanti fattnorm=1/(2*pi*sx*sy*sqrt(1-rho^2)); fattesp=1/(2*(1-rho^2)); formaquadr=(x-ex).^2/sx^2-2*rho*(x-ex).*(y-ey)/(sx*sy)+(y-ey).^2/sy^2; ddp=fattnorm*exp(-fattesp*formaquadr); % valuta la ddp if graf == 0 mesh(x,y,ddp) % grafico 3D else contour(x,y,ddp) % curve di livello hold on plot([min(vx) max(vx)],[0 0],'g--') hold on plot([0 0],[min(vy) max(vy)],'g--') end ddpgausscorr.m Esempio di file.m: ddpgausscorr.m

10 y x y ddp marginali e condizionate y y y

11 x y y y y retta di regressione

12 % Calcolo analitico della ddp condizionata Y|X per coppia di v.a. X,Y cong. Gaussiane function ddpc=ddpcondgauss(x,vy,ex,ey,sx,sy,rho) % IN: valore della v.a. X a cui condizionare la v.a. Y, x; % vettore dei valori di Y di cui calcolare la d.d.p. cond., vy; % media della prima e seconda v.a. Gaussiana, ex, ey; % dev. standard della prima e seconda v.a. Gaussiana, sx, sy; % coefficiente di correlazione, rho; % OUT: vettore di valori della ddp cond.; % uscita su video della ddp cond. etaycond=ey+rho*sy/sx*(x-ex); sigmaycond=sy*sqrt(1-rho^2); % calcola media e dev. standard cond. ddpc=normpdf(vy,etaycond,sigmaycond); % calcola ddp cond. plot(vy,ddpc) hold on plot(0,0,'go') hold on plot(etaycond,0,'r*') % valor medio cond. ddpcondgauss.m Esempio di file.m: ddpcondgauss.m

13 Generazione di V.A. cong. Gaussiane correlate Decomposizione di Cholesky matrice triangolare superiore oppure desiderati ? Decomposizione spettrale

14 Generazione di V.A. cong. Gaussiane correlate Vettore Gaussiano 2-D: N=2 Metodo per N=2: M coppie di campioni di v.a. X ed Y cong. Gaussiane:

15 Calcolo di scatterplot e coeff. di correlazione - Generare M realizzazioni del vettore 2-D Z=[X Y], X ed Y v.a. cong. Gaussiane -Visualizzare lo scatterplot (diagramma di dispersione, rappresentazione cartesiana delle coppie di campioni) [istruzioni utili: load, plot, axis ] - Calcolare le medie, le varianze ed il coefficiente di correlazione [istruzioni utili: mean, std ] - Confrontare lo scatterplot con la ddp analitica determinata dai parametri calcolati elaborando N coppie di campioni Suggddpgausscorr.m [Sugg.: utilizzare il programma ddpgausscorr.m]

16 y x load coppie.mat plot(x,y,'.') axis([ ]) hold on plot([-8 12],[0 0],'g--') plot([0 0],[-4 12],'g--') Esempio di risultati scatterplot Valori dei parametri della ddp: media X = 2; media Y = 4; varianza X = 9; varianza Y = 4; coeff. di correlazione = -0.5

17 » mean(x) » mean(y) » std(x)^ » std(y)^ » calcrho(x,y) % Misura empirica del coefficiente di correlazione function rho = calcrho(x,y) % IN: vettori di realizzazioni della coppia di v.a. (x,y) % OUT: coefficiente di correlazione rho etax=mean(x); % calcola le medie e deviazioni standard etay=mean(y); sigx=std(x,1); sigy=std(y,1); rho=mean((x-etax).*(y-etay))/(sigx*sigy); % calcola la covarianza % normalizzata Valori effettivi: media X = 2; media Y = 4; varianza X = 9; varianza Y = 4; coeff. di correlazione = -0.5 calcrho.m Esempio di risultati e file.m: calcrho.m

18 y x hold on ddpgausscorr([-8:.1:12],[-4:.1:12],mean(x),mean(y),std(x),std(y),calcrho(x,y),1); Esempio di risultati Scatterplot+ Curve di livello

19 y x ddpgausscorr([-8:.1:12],[-4:.1:12],2,4,3,2,-0.5,1); hold on ddpgausscorr([-8:.1:12],[-4:.1:12],mean(x),mean(y),std(x),std(y),calcrho(x,y),1); Confronto tra ddp effettiva e la ddp analitica con i parametri misurati dai dati Esempio di risultati

20 gengausscorr1.m Esempio di file.m: gengausscorr1.m % Generazione coppie di v.a. cong. Gaussiane correlate % metodo della decomposizione di Cholesky function [x,y] = gengausscorr1(n,etax,etay,sig2x,sig2y,rho) % IN: numero di realizzazioni, n; % media della prima e seconda v.a. Gaussiana, etax, etay; % varianza della prima e seconda v.a. Gaussiana, sig2x, sig2y; % coefficiente di correlazione, rho; % OUT: vettori di realizzazioni della prima e seconda v.a. Gaussiana, x,y; R=[sig2x sqrt(sig2x*sig2y)*rho; sqrt(sig2x*sig2y)*rho sig2y]; % matrice di covarianza Ch=chol(R); % determina la trasform. lineare 2x2 tramite decomposizione di Cholesky; A=Ch.'; w=randn(2,n); % genera n realizzazioni di un vettore di 2 v.a. Gaussiana standard indip. % organizzate in una matrice 2xn; c=A*w; % trasformazione lineare 2x2 % applicata a tutte le realizzazioni; x=c(1,:)+etax; % impone le medie y=c(2,:)+etay;

21 gengausscorr2.m Esempio di file.m: gengausscorr2.m % Generazione coppie di v.a. cong. Gaussiane correlate % metodo della decomposizione agli autovalori function [x,y] = gengausscorr2(n,etax,etay,sig2x,sig2y,rho) % IN: numero di realizzazioni, n; % media della prima e seconda v.a. Gaussiana, etax, etay; % varianza della prima e seconda v.a. Gaussiana, sig2x, sig2y; % coefficiente di correlazione, rho; % OUT: vettori di realizzazioni della prima e seconda v.a. Gaussiana, x,y; R=[sig2x sqrt(sig2x*sig2y)*rho; sqrt(sig2x*sig2y)*rho sig2y]; % matrice di covarianza [V,L]=eig(R); % determina le matrici degli autovettori e degli autovalori; A=V*L.^(1/2); % calcola la trasformazione lineare 2x2 w=randn(2,n); % genera n realizzazioni di un vettore di 2 v.a. Gaussiana standard indip. % organizzate in una matrice 2xn; c=A*w; % trasformazione lineare 2x2 % applicata a tutte le realizzazioni; x=c(1,:)+etax; % impone le medie y=c(2,:)+etay;


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