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Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Con questo nuovo oggetto didattico si vuole analizzare ed approfondire la legge del parallelismo.

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1 Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Con questo nuovo oggetto didattico si vuole analizzare ed approfondire la legge del parallelismo con riferimento a casi particolari di piani e relative posizioni descrittive. In modo particolare verranno analizzati i piani generici paralleli alla lt che hanno le tracce parallele (ma non è detto che tali siano i piani) e i piani generici incidenti la lt che hanno le tracce coincidenti e unite alla lt. Anche per questi casi sono state definite notazioni insiemistico - descrittive trasformate in algoritmi grafici. Lindagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva La presentazione si conclude con alcune esemplificazioni grafiche corredate della relativa spiegazione, con lo sviluppo grafico di alcuni esercizi e la proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici. Per approfondimenti consultare il sito La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione per gli elaborati grafici che prende in esame i tre momenti del processo rappresentativo: conoscenza, competenza e capacità.

2 Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge PARALLELISMO TRA ELEMENTI UGUALI Autore Prof. Elio Fragassi Il materiale può essere riprodotto citando la fonte Il disegno è stato eseguito nella. s. 1990/1991 da Omogrosso Concezio della classe 3 B dellIstituto statale darte G. Mazara di Sulmona per la materia : Disegno geometrico Insegnante: Prof. Elio Fragassi La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci CASI PARTICOLARI

3 La condizione di parallelismo va impostata tra elementi geometrici aventi stesse caratteristiche come ad esempio due o più piani generici [( // // ) 1, ( / / // ) 2 ] due o più piani orizzontali [( // // ) // 1 ] due o più piani di profilo [( // // ) 1,( // // ) 2 ] Altrimenti, date le tracce dei piani è necessario verificare la sussistenza o meno di T r per definire lesistenza o meno del rapporto geometrico-descrittivo definito, costante e continuo relativo alla condizione del parallelismo. Per alcune tipologie di piano è necessario, però, fare qualche precisazione, sia per quanto attiene laspetto dellimpostazione delle leggi che per quanto attiene il processo della verifica.

4 Un caso particolare si verifica quando si tratta la tipologia del piano generico parallelo alla lt In questo caso se si opera, ad esempio, con due piani e aventi queste caratteristiche, le quattro tracce t 1, t 1, t 2, t 2 saranno parallele tra loro, (Fig.06) il che può trarre facilmente in inganno in quanto si verifica la condizione fondamentale: // r che in questo caso non è sufficiente, né per imporre, né per verificare la condizione di parallelismo tra i due piani dati.

5 A questo punto è bene ricordare la formalizzazione dinamico-descrittiva del piano espressa come di seguito Se consideriamo il piano rigato, ricordando che la condizione di parallelismo è una legge geometrico-descittiva concreta, definita, costante e continua, allora è possibile operare, invece che con le tracce dei piani, con le rette del piano rigato facendo in modo che questi quattro presupposti risultino impostati o verificati tra due o più rette qualsiasi appartenenti ai due piani. Piano rigato Piano punteggiato Ciò chiarisce che un piano qualsiasi può essere riguardato come piano rigato o piano punteggiato a seconda dellelemento generatore che si ritiene opportuno assumere per la discussione del problema.

6 Verifica e impostazione mediante la legge del parallelismo tra rette Se i piani sono paralleli significa che ad una retta delluno corrisponde una retta dellaltro, parallela alla prima e viceversa. (Fig.07). Quindi sia per verificare sia per impostare il parallelismo tra due o più piani, ricadenti nella tipologia oggetto di discussione, è necessario fare riferimento alle leggi del parallelismo tra rette, rette che -ovviamente- devono appartenere ai piani in esame. Ad esempio, dati i due piani e caratterizzati, dal punto di vista geometrico, come di seguito | 1, 2, //lt per verificare se // è necessario procedere come di seguito(Fig.08).

7 Definita una retta generica a costruire, mediante le condizioni di parallelismo tra rette, una retta b//a per cui sarà a//b ed anche a//b. Le proiezioni della retta b determinano le due tracce T 1b e T 2b che costituiscono i punti per i quali passano le tracce t 1 e t 2 del piano //. In questo caso, dati due piani e, come sopra definiti, la legge sarà espressa dalla seguente formalizzazione esplicativa o deduttiva insiemistico-descrittiva t 1 T 1a t 2 T 2a T 1b t 1 T 2b t 2 a//b / Questa doppia condizione può essere, verbalmente, così espressa: Due piani generici, paralleli alla lt, sono tra loro paralleli se, e solo se, ciascuno di essi contiene una retta parallela ad una retta dellaltro piano. a // b

8 In forma sintetica insiemistico - descrittiva, la legge di cui sopra sarà espressa come di seguito e reciprocamente dove, i legami di contenimento e di appartenenza, sono esplicitati nella formalizzazione di cui sopra. ( 1 2 lt) a | a bb ( 1 2 lt) b | b aa

9 Data la proiezione ortogonale dei piani e, della fig. 09 ricadenti nella tipologia in esame, per verificare lesistenza o meno della condizione di parallelismo procediamo come di seguito. Conduciamo per una retta generica x qualsiasi che sia però x. Poi per una retta y che sia parallela alla retta x; per cui sarà y//x. Dovendo essere y, determiniamo T 1y t 1 da cui è facile definire y//x. Definita y può accadere che T 2y t 2. Allora il parallelismo delle due distinte rette, appartenenti ai due piani, chiarisce anche il parallelismo dei piani. Altrimenti, se T 2y t 2, - come accade nel disegno di fig la risoluzione grafica vuol significare che la retta y quindi i due piani non sono paralleli. Le stesse considerazioni possono svilupparsi nel caso in cui si opera per prima il parallelismo tra le proiezioni seconde x//y determinando quindi T 2y t 2 verificando, poi, lappartenenza o meno di T 1y a t 1

10 Se la condizione deve essere imposta, allora, è necessario operare secondo una procedura reciproca a quella analizzata di sopra. Definito, quindi, un certo piano ( 1 2 lt) perché un secondo piano ( 1 2 lt) sia parallelo al primo, è necessario che esso contenga una retta b parallela ad una qualsiasi retta a del piano dato. t 1 T 1a t 2 T 2a T 1b t 1 T 2b t 2 a//b / La formalizzazione impositiva insiemistico - descrittiva può essere sintetizzata come di seguito: mentre la definizione verbale può essere recitata come appresso Perché due piani generici paralleli alla lt siano paralleli è necessario che tali siano due distinte rette appartenenti ciascuna ad uno di essi a // b

11 Pertanto la procedura è quella evidenziata nella figura 10 esposta di seguito. Definite le tacce del piano ( 1 2 lt), costruiamo la retta a per cui sarà T 1a t 1 ed anche T 2a t 2 Definite quindi le proiezioni della retta a(a'; a'') costruiamo le proiezioni di una retta b//a per cui sarà a'//b' ed anche a''//b'' Definite le proiezioni della retta b, con facilità si individuano le tracce T 1b e T 2b della stessa, tracce per le quali condurre t 1 //t 1 ed anche t 2 //t 2

12 VERIFICA E IMPOSIZIONE MEDIANTE LA LEGGE DELL'APPARTENENZA La verifica o imposizione del parallelismo tra due o più piani ricadenti in questa tipologia può essere effettuata anche in questo secondo modo, privilegiando la legge dellappartenenza come sviluppato, graficamente, nella figura 11. Dati i piani e, la procedura si sviluppa attraverso vari passaggi come esplicitati nel seguito della presente Costruita una retta generica x appartenente al piano, x, si definisce una proiezione y//x di una retta y. Definita, quindi, T 1y si è in grado di completare la rappresentazione di y con la ricerca di T 2y e quindi di y. A conclusione di questa operazione la retta y risulterà completamente definita, in tutti e quattro gli elementi rappresentativi. Analizzando, ora, la seconda proiezione può accadere che y x, allora sarà anche ; se invece accade che y//x si può asserire che anche //.

13 VERIFICA E IMPOSIZIONE MEDIANTE LA LEGGE DELL'APPARTENENZA Le identiche considerazioni possono svilupparsi nel caso in cui si opera partendo dal parallelismo delle seconde proiezioni. Costruito, infatti, y//x si determina T 2y t 2 perché y quindi si completa la determinazione di y mediante la definizione di T 1y t 1. Fatto ciò si analizzano le prime proiezioni e, se accade che y//x allora sarà anche // ; se invece accade che y x, allora sarà anche. La formalizzazione insiemistico - descrittiva, sia per l'aspetto deduttivo sia per l'aspetto impositivo, assume la stessa fisionomia, solamente che in questo caso si predilige la legge dell'appartenenza. Stante quanto detto, le due formalizzazioni possono essere riproposte nelle forme e con le medesime definizioni verbali precisando che la verifica o l'imposizione avviene attraverso l'enfatizzazione delle leggi dell'appartenenza e reciproca contenenza. I due piani della figura 11 sono obliqui perché le due proiezioni di y sono oblique a quelle di x.

14 Un altro caso particolare si verifica quando si tratta la tipologia del piano generico incidente la lt che esaminiamo di seguito. Poiché ogni piano ricadente in questa tipologia ha le tracce coincidenti con la lt, rappresentare due o più piani con queste caratteristiche equivale ad individuare tutte le tracce dei piani coincidenti con la lt come accade in fig. 12. Il problema, vuoi della verifica, vuoi dellimposizione della condizione di parallelismo resta irrisolto in quanto la lt, essendo il luogo geometrico dei punti uniti, non esplicita la posizione dei piani,,, ecc. nello spazio del diedro. Ricordando cheil parallelismo è un legame descrittivo concreto definito, continuo e costante, tra elementi geometrici; nel caso in esame, si riscontrano le seguenti situazioni. Due piani generici e che hanno le tracce incidenti la lt, per rispettare le proprietà di cui sopra, devono essere coincidenti come graficizzato nella successiva figura 13.

15 In questo caso le quattro proprietà si caratterizzano come di seguito 1.Rapporto concreto: le tracce pur se coincidenti con la lt sono rette reali. 2.Rapporto definito: distanza nulla tra ogni elemento dei piani 3.Rapporto costante: ad ogni punto di corrisponde un solo punto di 4.Rapporto continuo: per ogni retta dinamica appartenente ad esiste una sola retta dinamica appartenente a nel rispetto della seguente formalizzazione dinamico-insiemistica: e viceversa Possiamo concludere, quindi, con la seguente definizione Due (o più) piani generici incidenti la lt per essere paralleli devono essere coincidenti Il concetto può essere rappresentato, con la simbologia insiemistico-descrittiva, dalla seguente espressione 1, 2, lt)( 1, 2, lt) /

16 Quanto detto vale anche per il processo di verifica, per cui si può enunciare quanto di seguito Due (o più) piani generici incidenti la lt se sono coincidenti sono anche paralleli Il concetto può essere rappresentato, in forma insiemistico - descrittiva, dalla seguente espressione // 1, 2, lt)( 1, 2, lt) Può accadere che due piani generici e pur avendo le tracce incidenti la lt non verificano le proprietà del rapporto descrittivo, concreto, definito, costante e continuo di cui sopra. Allora, come è facile leggere nel disegno di figura 14, si verifica che il rapporto descrittivo, concreto, definito, non è né costante né continuo in quanto la distanza tra i piani è variabile e diversa da punto a punto Mancando la verifica di queste tre proprietà si può concludere che i due piani, pur aventi le tracce incidenti alla lt, non sono paralleli in quanto non coincidenti. Questa caratteristica viene sintetizzata dalla seguente espressione geometrico-descrittiva. ( 1, 2, lt)

17 A conclusione dellanalisi delle situazioni particolari è necessario chiarire, comunque, che la seguente relazione fondamentale insiemistico-descrittiva // a | a//b b e le relative esplicitazioni possono essere applicate –sia nella fase di costruzione che in quella di verifica del parallelismo– anche ai piani che non ricadono in queste tipologie come nei disegni specifici delle seguenti figure 15 e 16. Nella figura 15, infatti, il parallelismo tra i due piani // è stato costruito per mezzo degli elementi geometrici legati tra loro come espresso dalla seguente relazione. Nella figura 16, invece, avviene che perché i legami tra gli elementi geometrici, piano e retta, sono quelli indicati nella formalizzazione che segue. a a//b b // x y//x y

18 Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative alle tipologie di piani trattate nei casi particolari (procedura deduttiva). Dato Risultato Spiegazione t 1 T 1a t 2 T 2a T 1b t 1 T 2b t 2 a // b a' // b' a''// b'' // Data la formalizzazione insiemistico- descrittiva,in forma esplicativa o deduttiva, riportata a fianco, risolvere i quesiti sottostanti T 1a T 2a a a T 1b T 2b b b Definita la retta a, applicando la legge del parallelismo tra rette si definisce b//a con T 1b t 1 La proiezione b determinando anche il piede della seconda traccia ci porta a definire la posizione di T 2b t 2. A questo punto definita b//a si osserva che T 2b t 2 quindi (b//a) Se si costruisce b T 2b accade che b a. Da ciò si deduce che i due piani sono obliqui quindi a

19 DatoRisultato Spiegazione T 1a T 2a a a T 1b b T 2b b Dopo aver costruito la retta a, applicando le leggi del parallelismo tra rette costruiamo b//a con T 1b t 1. La proiezione b ci consente di determinare sia il piede della T 1b che il piede della T 2b, questultimo come intersezione della proiezione b con la lt. La costruzione di una perpendicolare alla lt, da questo punto fino alla t 2, ci consente di ricercare e definire la posizione della traccia T 2b t 2. Collegando T 2b con il piede della T 1b si determina b in modo tale che sia b. Analizzando la posizione della proiezione b si ottiene il risultato grafico che b a, quindi b a. Poiché il parallelismo dei piani presuppone il parallelismo tra le rette, in questo caso essendo a b sarà anche.

20 DatoRisultato Spiegazione Dopo aver costruito la retta a, applicando le leggi del parallelismo tra rette costruiamo b//a con T 2b t 2. La proiezione b ci consente di determinare sia il piede della T 2b che il piede della T 1b, questultimo come intersezione della proiezione b con la lt. La costruzione di una perpendicolare alla lt, da questo punto fino alla t 1, ci consente di ricercare e definire la posizione della traccia T 1b t 1. Si conclude la rappresentazione della retta b applicando in T 1b la proiezione b// ad a. Analizzando la posizione di b si ottiene il risultato di (b //a) ma poiché il parallelismo dei piani presuppone il parallelismo tra le rette appartenenti ai due piani, in questo caso accade che a//(b ). Pertanto sarà Quindi i due piani sono in rapporto di obliquità. T 1a T 2a a a T 1b b T 2b b

21 Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative alle tipologie di piani trattate nei casi particolari (procedura impositiva). Dato Risultato Spiegazione Data la formalizzazione insiemistico- descrittiva,in forma impositiva o applicativa riportata a fianco, risolvere i quesiti sottostanti t 1 T 1a t 2 T 2a T 1b t 1 T 2b t 2 a // b a' //b' a''//b'' // T 1a T 2a a a T 1b T 2b b b t 1 t 2 Dopo aver definita una qualsiasi retta a si costruisce una retta b//a applicando le leggi del parallelismo tra rette per cui sarà b// a e b//a. Determinate le proiezioni b e b, si ricercano le tracce della retta b. Per fare ciò si costruiscono le perpendicolari alla lt partendo dai piedi delle tracce per determinare la collocazione di T 1b e T 2b. Per queste due tracce della retta b passeranno le tracce del piano e sarà T 1b t 1 e T 2b t 2. Sarà allora

22 DatoRisultato Spiegazione T 1a T 2a a a T 2b b b t 2 t 1 T 1b Poiché il parallelismo tra piani si fonda sul parallelismo tra rette appartenenti ai piani, la procedura impositiva si sviluppa nei seguenti passaggi. Costruita una retta a appartenente al piano dato (a ), mediante le leggi dellappartenenza e del parallelismo si conducono per A A due proiezioni di una retta b (b;b) in modo tale che siano (b//a) e (b//a). In questo modo si lega, con lappartenenza, il punto A alla retta b (A b; A b) e, a sua volta, la retta b alla retta a mediante il parallelismo (b//a;b//a). Mediante le proiezioni della retta b possiamo risalire alle relative tracce T 1b e T 2b per le quali condurre le tracce del piano in modo tale che sia //. Nel disegno si esplicita così [ (t 1 T 1b // t 1 ; (t 2 T 2b )// t 2 ]

23 DatoRisultato Spiegazione T 1a T 2a a b T 1b T 2b b a Applicando la legge del parallelismo tra rette T 1a T 2a a a Risultato Applicando lappartenenza punto-retta-piano T 1b T 2b b b 1°Metodo–Applicando il parallelismo tra rette accade che dopo aver definito (a ) e(b//a), la retta b infatti (t 1 T 1b ). 2°Metodo–Applicando lappartenenza della retta ai piani accade che dopo aver definito (a ) nel determinare (A b ) si ha che per b//a si determina T 1b ed anche T 2b ; ma (b a ). Quindi non esiste alcun piano contenente A passante per t 1 data Traccia assegnata

24 Esercizio Risoluzione T 1x T 2x x x T 1y T 2y y y t 1 t 2 Per maggiore chiarezza e completezza grafica si è deciso di estendere la descrizione degli elementi necessari alla risoluzione del problema oltre i limiti del rettangolo di base ampliando lo spazio operativo.

25 Esercizio Risoluzione T 1x T 2x x x T 1y T 2y y y t 1 t 2 Per maggiore chiarezza e completezza grafica si è deciso di estendere la descrizione degli elementi necessari alla risoluzione del problema oltre i limiti del rettangolo di base ampliando lo spazio operativo.

26 Esercizio Risoluzione T 1x T 2x x x y y T 1y T 2y t 1 t 2 Per maggiore chiarezza e completezza grafica si è deciso di estendere la descrizione degli elementi necessari alla risoluzione del problema oltre i limiti del rettangolo di base ampliando lo spazio operativo.

27 Esercizio Risoluzione T 1x T 2x x x y y T 1y T 2y t 1 t 2 Per maggiore chiarezza e completezza grafica si è deciso di estendere la descrizione degli elementi necessari alla risoluzione del problema oltre i limiti del rettangolo di base ampliando lo spazio operativo.

28 Esercizio Risoluzione T 1x T 2x x x y y T 1y T 2x t 1 t 2 t 1 t 2 Per maggiore chiarezza e completezza grafica si è deciso di estendere la descrizione degli elementi necessari alla risoluzione del problema oltre i limiti del rettangolo di base ampliando lo spazio operativo.

29 Esercizio Risoluzione x x T 1x T 2x y y T 1y T 2y t 1 t 2 t 1 t 2 Per maggiore chiarezza e completezza grafica si è deciso di estendere la descrizione degli elementi necessari alla risoluzione del problema oltre i limiti del rettangolo di base ampliando lo spazio operativo.

30 Esercizio Risoluzione x x T 1x T 2x y y T 1y T 2y t 1 t 2 t 1 t 2 Per maggiore chiarezza e completezza grafica si è deciso di estendere la descrizione degli elementi necessari alla risoluzione del problema oltre i limiti del rettangolo di base ampliando lo spazio operativo.

31 Esercizio Risoluzione x x T 1x T 2x y y T 1y T 2y t 1 t 2 t 1 t 2 Per maggiore chiarezza e completezza grafica si è deciso di estendere la descrizione degli elementi necessari alla risoluzione del problema oltre i limiti del rettangolo di base ampliando lo spazio operativo.

32 1.Dati il piano ( //lt) ed il punto A(A'=3; A''=3) tali che sia A, definire e rappresentare un piano // | A 2.Dati il piano ( //lt) ed il punto B(B'=-3; B''=5) tali che sia B, definire e rappresentare un piano // | B 3.Dati il piano ( //lt) ed il punto C(C'=4; C''=-4) tali che sia C, definire e rappresentare un piano // | C 4.Dati il piano ( //lt) ed il punto D(D'=1; D''=2) tali che sia D, definire e rappresentare un piano // | D 1.Data la retta a(// 1 + // 2 + ) ed un punto (B WID|B a), definire e rappresentare // |( a; B) 2.Data la retta a(// 1 - // 2 + ) ed un punto (B WIID|B a), definire e rappresentare // |( a; B) 3.Data la retta r(// 1 - // 2 - ) ed un punto (X WIIID|X r), definire e rappresentare // |( r; X) 4.Data la retta r(// 1 + // 2 - ) ed un punto (X WIVD|X r), definire e rappresentare // |( r; B) 1.Dati i punti A(A'=1; A''=3), B(B'=2; B''=4), definire e rappresentare i piani // |( A; B) 2.Dati i punti C(C'=-2; C''=4), D(D'=-1; D''=1), definire e rappresentare i piani // |( C; D) 3.Dati i punti E(E'=-2; E''=-4), F(F'=-4; F''=-1), definire e rappresentare i piani // |( E; F). 4.Dati i punti G(G'=1; G''=-2), H(H'=2; H''=-4), definire e rappresentare i piani // |( G; H)

33 VALUTAZIONE DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHE Ogni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi ) Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali: 1)Conoscenze teoriche2)Capacità logiche 3)Competenze grafiche Elementi della valutazione Valutazioni Punti PUNTEGGIO TOTALE 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 0,00 0,50 1,00 0,00 0,50 1,00 0,00 0,25 0,50 2,50 10,00 Test Eserc.

34 Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito


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