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Congettura di Collatz (Lothar Collatz, 1937) Introduzione alla congettura e presentazione di un metodo di dimostrazione.

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1 Congettura di Collatz (Lothar Collatz, 1937) Introduzione alla congettura e presentazione di un metodo di dimostrazione

2 Enunciato: Sia e Allora:

3 Alcuni esempi: n=3: {a i } = {3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, …} n=7: {a i } = {7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, …} n=9: {a i } = {9, 28, 14, 7, …} La congettura è stata verificata a computer per tutti i numeri interi positivi n ≤ 5 × 2 60 ≈ 5.765×10 18.

4 L’albero di Collatz:

5 Considerazioni: Si può facilmente dimostrare che se almeno un elemento dell’albero di Collatz relativo a n è uguale a 1, allora n verifica la congettura L’enunciato della congettura di Collatz è pertanto equivalente alla seguente affermazione: per ogni numero intero positivo n, almeno un elemento dell’albero di Collatz relativo a n è uguale a 1 Associando alle due operazioni della funzione di Collatz i valori 1 (se n è pari) e 0 (se n è dispari), ogni elemento dell’albero di Collatz è individuato da una stringa binaria finita; chiamiamo S l’insieme delle stringe siffatte Per ogni stringa di S che termina con 0, l’elemento dell’albero di Collatz ε individuato da essa non è uguale a 1: infatti, se lo fosse, l’elemento precedente, (ε–1)/3, sarebbe uguale a (1-1)/3 = 0, ma ciò è assurdo; chiamiamo S 1 il sottoinsieme di S delle stringhe che terminano con 1

6 Ragioniamo un po’: Esiste una corrispondenza biunivoca tra S 1 e l’insieme dei numeri interi positivi: gli elementi del primo insieme sono le rappresentazioni binarie inverse di quelli del secondo Esiste altresì una funzione suriettiva da S 1 all’insieme degli elementi dell’albero di Collatz individuati: chiameremo tale funzione F Ne consegue che esista una funzione suriettiva dall’insieme dei numeri interi positivi a quello degli elementi dell’albero di Collatz individuati dalle stringhe di S 1 ; chiameremo questa funzione G Per quanto detto finora, l’enunciato della congettura di Collatz può assumere una nuova forma:

7 La funzione F:

8 La funzione G:

9 A cura di Gabriele Pavanello Grazie della vostra attenzione


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