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Calcolo combinatorio 2: combinazioni e potenze del binomio Daniela Valenti, Treccani Scuola 1.

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Presentazione sul tema: "Calcolo combinatorio 2: combinazioni e potenze del binomio Daniela Valenti, Treccani Scuola 1."— Transcript della presentazione:

1 Calcolo combinatorio 2: combinazioni e potenze del binomio Daniela Valenti, Treccani Scuola 1

2 2 Nella realtà Quante combinazioni? Quante squadre in campo?

3 Attenzione al linguaggio Daniela Valenti, Treccani Scuola 3 Nel linguaggio comune Combinazione di una serratura In matematica COMBINAZIONE Raggruppamento NON ordinato Anche è vincente 1844 apre ma 8441 NON apre DISPOSIZIONE Raggruppamento ordinato

4 Contare le combinazioni Daniela Valenti, Treccani Scuola 4 Un esempio Calcolo il numero C 5,3 di combinazioni delle 5 cifre dispari 3 a 3

5 Contare le combinazioni Daniela Valenti, Treccani Scuola 5 In generale Numero delle disposizioni di n oggetti k a k Numero delle permutazioni di k oggetti Numero delle combinazioni di n oggetti k a k

6 Calcolare il numero di combinazioni Daniela Valenti, Treccani Scuola 6 In generale Formula valida per qualunque coppia n, k con n ≥ k

7 Contare il numero di combinazioni Daniela Valenti, Treccani Scuola7 Esempi 12 giocatrici di calcetto decidono di partecipare ad una partita con una squadra di 8 persone (5 giocatrici e 3 riserve). Quante squadre possono organizzare? Per scriverle tutte, ognuna su una riga, riempio circa 17 pagine!

8 Contare il numero di combinazioni Daniela Valenti, Treccani Scuola 8 Esempi Quante combinazioni dei 90 numeri del SuperEnalotto 6 a 6? oppure

9 Contare il numero di combinazioni Daniela Valenti, Treccani Scuola 9 Attenzione ai calcoli con la calcolatrice tascabile! Perché la calcolatrice dà un risultato approssimato? Perché 90! e 84! sono numeri con troppe cifre; la calcolatrice mostra solo 11 cifre e passa alla notazione esponenziale. Invece non dà problemi alla calcolatrice la formula

10 Contare il numero di combinazioni Daniela Valenti, Treccani Scuola 10 Attenzione al risultato molto grande Per scrivere tutte le combinazioni, ognuna su una riga, riempirei circa pagine. Tutte queste pagine peserebbero quanto una grande nave a pieno carico.

11 Daniela Valenti, Treccani Scuola Attenzione al linguaggio COEFFICIENTE BINOMIALE NON c’è la linea di frazione Si legge ‘n sopra k’

12 Daniela Valenti, Treccani Scuola 12 Applicare il coefficiente binomiale  Per contare le combinazioni di n oggetti k a k E anche  Per contare le permutazioni di n oggetti, di cui k uguali fra loro e anche i restanti (n – k) uguali fra loro, ma diversi dai primi k. Esempio: permutazioni delle lettere della parola NONNO Esempio: squadre di calcetto di 8 giocatrici scelte fra 12

13 Daniela Valenti, Treccani Scuola 13 Coefficiente binomiale e potenza del binomio ESEMPIO (a + b) 5 = (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) Elenco i monomi che ottengo con la moltiplicazione

14 Daniela Valenti, Treccani Scuola 14 Potenza del binomio ESEMPIO che proviene dallo sviluppo di La formula suggerisce un completamento Così si procede verso una formula generale

15 Daniela Valenti, Treccani Scuola 15 Potenza del binomio ESEMPIO IN GENERALE FORMULA PER SVILUPPARE LA POTENZA DEL BINOMIO Spiega l’origine del nome ‘coefficiente binomiale’.

16 Daniela Valenti, Treccani Scuola 16 Potenza del binomio e triangolo di Tartaglia (a+b) 0 = 1 1 (a+b) 1 = 1a+1b 1 1 (a+b) 2 = 1a 2 +2ab+1b (a+b) 3 = 1a 3 +3a 2 b+3ab 2 +1b (a+b) 4 = 1a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +1b

17 Daniela Valenti, Treccani Scuola 17 Triangolo di Tartaglia: come si costruisce Video ‘Mozart and math’‘Mozart and math’

18 Daniela Valenti, Treccani Scuola 18 Triangolo di Tartaglia: come si costruisce

19 Daniela Valenti, Treccani Scuola 19 Coefficienti binomiali e triangolo di Tartaglia

20 Daniela Valenti, Treccani Scuola 20 Triangolo di Tartaglia: uno sguardo alla storia Il triangolo era conosciuto in Cina da Chia Hsien, nel 1100 circa, e da Yang Hui nel 1260

21 Daniela Valenti, Treccani Scuola 21 Triangolo di Tartaglia: uno sguardo alla storia Il triangolo fu studiato in Europa da molti matematici rinascimentali, fra i quali: Tartaglia, Stiefel, Cardano, Pascal. Tartaglia Stiefel Pascal Cardano

22 22Daniela Valenti, Treccani scuola Il lavoro di gruppo è dedicato a esplorare combinazioni, potenza del binomio e triangolo di Tartaglia. Ecco un video per cominciare a riflettere. Attività 1 Video ‘Quanti cin – cin?’‘Quanti cin – cin?’

23 23Daniela Valenti, Treccani scuola Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ogni gruppo avrà una scheda di lavoro da completare. Avete 20 minuti di tempo Attività 1

24 24Daniela Valenti, Treccani scuola Che cosa abbiamo ottenuto

25 25Daniela Valenti, Treccani scuola Sulle combinazioni

26 26Daniela Valenti, Treccani scuola Proprietà dei coefficienti binomiali

27 27Daniela Valenti, Treccani scuola Proprietà dei coefficienti binomiali n = 5 k = 3

28 28Daniela Valenti, Treccani scuola Potenza del binomio

29 Costruisco le potenze successive di 11 e trovo: 11 0 = = = = = Triangolo di Tartaglia e potenze di 11


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