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Calcolo combinatorio. Probabilità classica E = evento P(E)=probabilità dellevento E Nf = numero casi favorevoli Np= numero casi possibili.

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Presentazione sul tema: "Calcolo combinatorio. Probabilità classica E = evento P(E)=probabilità dellevento E Nf = numero casi favorevoli Np= numero casi possibili."— Transcript della presentazione:

1 Calcolo combinatorio

2 Probabilità classica E = evento P(E)=probabilità dellevento E Nf = numero casi favorevoli Np= numero casi possibili

3 Unurna contiene 4 palline azzurre, 5 rosse e 3 nere. Qual è la probabilità di estrarre una pallina azzurra? E una pallina rossa? E una nera? Calcoliamo la probabilità… Un po di esempi….

4 Qual è la probabilità di fare 13 nel giocare la schedina del totocalcio? Possibilità per ogni casella : 1 X 2 Tre possibilità per casella… Quindi quanti casi possibili? Quanti casi favorevoli?

5 Valutare la probabilità che nel gioco del lotto risulti vincente la terna che abbiamo giocato. Il problema è, dunque, CONTARE! ? ? Quanti sono i casi favorevoli? Quanti sono i casi possibili?

6 Vediamo come si conta! Esempio 1 Una macchina da scrivere stampa solo le lettere a, b, c Quante parole di due lettere puoi scrivere avendo a disposizione le tre lettere? aaabbbbaccaccacbbc 3 possibilità

7 Generalizziamo il problema In quanti modi puoi scegliere k elementi da un insieme di n elementi (ammettendo di poterli ripetere)? k nnnnnn Per ogni elemento abbiamo n possibilità, quindi un totale di possibilità! In questo caso si parla di DISPOSIZIONI semplici (con ripetizione)

8 Esempio 2 Un sacchetto contiene le lettere a, b, c. Quante parole di due lettere è possibile creare estraendo una lettera per volta (senza reinserirla nel sacchetto)? ab ac ba bc ca cb 3 possibilità2 possibilità

9 Generalizziamo il problema In quanti modi puoi scegliere k elementi da un insieme di n elementi senza ripetizione? Per ogni elemento abbiamo una possibilità in meno rispetto allelemento precedente quindi un totale di possibilità! k nn-1n-2n-3n-k+1= n-(k-1) In questo caso si parla di DISPOSIZIONI senza ripetizione

10 Esempio 3 Quante parole lunghe n si possono scrivere con un sacchetto che contiene n lettere distinte ? Questo calcolo si chiama fattoriale n nn-1n-2n-3123 In questo caso si parla di PERMUTAZIONI

11 Esempi 1.In un club che ha 100 soci, in quanti modi diversi si possono scegliere 3 membri per le nomine di presidente, segretario e tesoriere? 2. In quanti modi, alla seconda prova scritta di maturità, si possono disporre gli studenti di 5 BS sui banchi presenti in aula? 3. Quanti numeri di telefono di 7 cifre si possono scrivere avendo a disposizione i numeri dallo 0 al 9 ?

12 Esempio 4 Cinque persone (A-B-C-D-E) salgono su un autobus. I posti a sedere sono tutti occupati tranne tre. In quanti modi si possono scegliere, tra le cinque persone, le tre che occuperanno i tre posti a sedere? ABCABDABEACDACEBCDBCEBCABDA … Si tratta di disposizioni? Se sì la risposta sarebbe: 5*4*3=60 Cominciamo a contare:

13 Se le contiamo come disposizioni ogni tripletta è contata troppe volte! Ma quante? B C E B E CE B CC E BC B EE C B B C E B E C E B C C E B C B E E C B B C E Considero una disposizione Possono ottenere altre disposizioni da questa permutando tra loro B,C ed E In quanti modi posso creare i gruppi che contengono le tre persone B,C ed E scelte? Ma in questo caso lordine non è rilevante perciò i tutti i gruppi contenenti le persone B,C,E vanno contati una volta sola. In 3! modi Allora per contare i gruppi di 3 che si possono sedere dividiamo per 3! il numero delle disposizioni.

14 Contiamo le disposizioni In quanti modi si possono scegliere k elementi da un insieme di n elementi senza ripetizione e senza tener conto dellordine? Generalizziamo il problema In questo caso si parla di COMBINAZIONI Poi dividiamo per k!

15 Problemi 1.Uno studente deve rispondere a 8 domande su 10 di un test. In quanti modi può scegliere le domande? 2.Valutare la probabilità che nel gioco del lotto risulti vincente la terna che abbiamo giocato.

16 ? ? ? ? ? ? ? Numero casi possibili: Numero casi favorevoli: I casi possibili sono le combinazioni di 5 elementi su 90 I casi favorevoli sono le combinazioni di 2 elementi su 87 Quindi la probabilità è data da

17 Quanti raggruppamenti (o allineamenti) diversi di k elementi si possono fare scegliendo i k elementi da un insieme di n elementi. (In quanti modi diversi si possono scegliere k elementi da un insieme di n elementi) Il problema è il significato che diamo alla parola diversi attribuito ai raggruppamenti. DISPOSIZIONI e COMBINAZIONI (allineamenti di n elementi presi k a k)

18 Bisogna considerare: Se è significativo o meno lordine Se i raggruppamenti si possono fare con o senza ripetizione di uno stesso elemento Se lordine è significativo Disposizioni Con ripetizioneSenza ripetizione Se lordine non è significativo Combinazioni macchina da scrivere sacchetto contenente lettere

19 Disposizioni semplici (con ripetizione) Le disposizioni di k elementi su n elementi sono i possibili allineamenti di k elementi scelti tra gli n oggetti ammettendo che questi possano essere ripetuti, allineamenti che si differenziano o per gli elementi che raccolgono o per lordine col quale sono indicati. Il numero delle disposizioni con ripetizione è:

20 Esempio: in quanti modi si possono formare parole di tre lettere avendone a disposizione cinque, senza ripetizione? A, B,C,D,E n=5, k=3 Disposizioni senza ripetizione Le disposizioni semplici di k elementi su n elementi sono i possibili allineamenti di k elementi scelti tra gli n oggetti senza essere ripetuti, allineamenti che si differenziano o per gli elementi che raccolgono o per lordine col quale sono indicati. Il numero delle disposizioni senza ripetizione viene indicato con e corrisponde al prodotto di k numeri naturali in ordine decrescente cominciando da n.

21 Permutazioni Le permutazioni di n elementi sono allineamenti di n elementi, non ripetuti, che si distinguono esclusivamente per lordine col quale sono registrati. Il numero delle permutazioni si indica con e corrisponde al prodotto dei primi n numeri naturali, ovvero al fattoriale di n. Esempio: in quanti modi si possono formare parole di cinque lettere avendone a disposizione cinque, senza ripetizione? A, B,C,D,E n=5

22 Combinazioni senza ripetizione Le combinazioni semplici di k elementi su n sono gli allineamenti possibili di k elementi distinti presi da n oggetti senza essere ripetuti, allineamenti che si distinguono esclusivamente per gli elementi che raccolgono e non per lordine. Il numero delle combinazioni semplici si indica con e corrisponde al numero

23 Moltiplicando e dividendo per (n-k)! Vediamo come si può riscrivere tale rapporto: Coefficiente binomiale


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