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CALCOLO COMBINATORIO: DISPOSIZIONI n n = numero dei distinti oggetti considerati (n 1); n k = numero degli oggetti scelti dagli n; n Scegliere k oggetti.

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1 CALCOLO COMBINATORIO: DISPOSIZIONI n n = numero dei distinti oggetti considerati (n 1); n k = numero degli oggetti scelti dagli n; n Scegliere k oggetti significa costituire un gruppo di k oggetti scelti e il gruppo di (n-k) oggetti complementari n D(n,k) = numero delle possibili disposizioni (semplici); n D r (n,k) = numero delle possibili disposizioni con ripetizioni; n P(n) = numero delle possibili permutazioni di n oggetti; n C(n,k) = numero delle possibili combinazioni; n C r (n,k) = numero delle possibili combinazioni con ripetizioni. n Disposizioni n Criterio di distinzione tra due scelte (o gruppi) di k oggetti: n Un gruppo (scelta) di k oggetti si distingue da un altro sempre di k oggetti se è diverso o per almeno un oggetto, oppure per lordine nel quale gli oggetti sono riportati. n Si hanno: n D r (n,k) = n k, (k 1); n D(n,k) = n(n-1)(n-2)···(n-k+1), (1 k n).

2 PERMUTAZIONI n n = numero dei distinti oggetti considerati (n 1); n P(n) = numero delle scelte possibili permutazioni. n n Criterio di distinzione tra due scelte (o gruppi) costituite dai medesimi n oggetti: n Un gruppo (scelta) si distingue da un altro sempre costituito dai medesimi n se è diverso lordine nel quale gli oggetti sono riportati. n Si ha: n n P(n) = n(n-1)(n-2)···3·2·1 (n 1). n Scriveremo: n n! := n(n-1)(n-2)···3·2·1 (n 1). n Si ha: n P(n) = D(n,n).

3 PERMUTAZIONI n Anagrammare R O M A n Permutazioni di n oggetti di cui k uguali tra loro e i rimanenti (n-k) differenti dai primi ma anchessi uguali tra loro (1 k n). n Se si indica con P(n: k, (n-k)) il numero delle permutazioni ricercato, realizzando per ciascuna delle permutazioni suddette le permutazioni dei primi k oggetti in ipotesi che sia possibile distinguerli e successivamente realizzando per ciascuna delle permutazioni così ottenute le permutazioni dei secondi k oggetti in ipotesi che sia possibile distinguerli, si otterranno le permutazioni di n oggetti tutti tra loro distinguibili. n Si ha dunque: n P(n: k, (n-k))P(k)P(n-k) = P(n); n segue quindi: n P(n: k, (n-k)) = P(n)/[P(k)P(n-k)] = n! / [k!(n-k)!]. n n Si conviene: n 0! = 1.

4 COMBINAZIONI n n = numero dei distinti oggetti considerati (n 1); n k = numero degli oggetti scelti dagli n; n Scegliere k oggetti significa costituire un gruppo di k oggetti scelti e il gruppo di (n-k) oggetti complementari n C(n,k) = numero delle scelte possibili combinazioni. n Criterio di distinzione tra due scelte (o gruppi) costituite da k oggetti: n Un gruppo (scelta) di k oggetti si distingue da un altro sempre costituito da k oggetti se è diverso per almeno un oggetto. Lordine nel quale gli oggetti sono riportati è irrilevante. n Dalla relazione: n C(n,k)·P(k) = D(n,k) n Segue: C(n,k) = D(n,k)/P(k) = n(n-1)(n-2)···(n-k+1)/k! (1 k n). n Scriveremo: n := n(n-1)(n-2)···(n-k+1)/k! (1 k n). n Segue: n = n!/[k!(n-k)!]

5 COMBINAZIONI n Contare i modi con cui si possono scegliere x=3 caselle da n=9. n Contare i modi con cui si possono ottenere x teste in n lanci di una monete. n Contare i modi con cui si possono ottenere x sei in n lanci di un dado da gioco. n Contare i modi con cui si possono scegliere x numeri da novanta (dal numero 1 al numero 90). n Dati gli oggetti {1,2,3,4} costruire le 12 disposizioni in classe 2. n Dati gli oggetti {1,2,3,4} costruire le 6 combinazioni in classe

6 COMBINAZIONI: PROPRIETÀ n Valgono le seguenti proprietà: n = ; n (a+b) n = n

7 COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI n n = numero dei distinti oggetti considerati (n 1); n k = numero degli oggetti scelti dagli n; n Scegliere k oggetti significa costituire un gruppo di k oggetti scelti e il gruppo di (n-k) oggetti complementari n C r (n,k) = numero delle scelte possibili combinazioni con ripetizioni. n Criterio di distinzione tra due scelte (o gruppi) costituite da k oggetti: n Un gruppo (scelta) di k oggetti si distingue da un altro sempre costituito da k oggetti se è diverso per almeno un oggetto, potendo un oggetto essere presente più volte (massimo k volte). Lordine nel quale gli oggetti sono riportati è irrilevante. n Risulta: n C r (n,k) =

8 COMBINAZIONI CON RIPETIZIONI n Risulta: C r (n,k) = n Non dipendendo il numero delle combinazioni dalla natura specifica degli oggetti si assuma che gli n oggetti a disposizione siano costituiti dai primi n numeri interi naturali: S = {1, 2, …, n}. n Una k-upla di numeri scelti da S viene indicata con (x 1,x 2,…,x k ). n Non essendo rilevante lordine per le combinazioni possiamo pensare i k numeri scelti ordinati in modo non decrescente: n x 1 x 2 … x k n Come si vede si può realizzare anche luguaglianza tra i numeri avendo stabilito che sono possibili le ripetizioni. n Consideriamo ora la k-upla di numeri (y 1,y 2,…,y k ) definiti come segue: n (1) y 1 = x 1 + 0; y 2 = x 2 + 1; y 3 = x 3 + 2; …; y k = x k + k - 1. n Tali nuovi numeri saranno tutti distinti: n y 1 y 2 … y k ; n inoltre si avrà: y i : 1 y i n+k-1, i=1,2 …,k. n Mediante la (1) a una k-combinazione con ripetizione estratta da S corrisponde biunivocamente una k-combinazione semplice estratta dallinsieme: n A= {1, 2, …, n+k-1} n Segue quindi: n C r (n,k) = C (n+k-1,k) =


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