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Teoria dei giochi Teoria che analizza in modo formale l’interazione strategica di soggetti razionali che agiscono in modo strategico Situazione strategica.

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Presentazione sul tema: "Teoria dei giochi Teoria che analizza in modo formale l’interazione strategica di soggetti razionali che agiscono in modo strategico Situazione strategica."— Transcript della presentazione:

1 Teoria dei giochi Teoria che analizza in modo formale l’interazione strategica di soggetti razionali che agiscono in modo strategico Situazione strategica Sette persone si recano insieme al ristorante a) Si paga alla romana  semplice problema di scelta (Max U s.t. VdB)  Ciascuno è in grado di controllare autonomamente il risultato delle sue scelte b) Si paga dividendo il conto per 7  problema strategico  Non riesco a controllare la mia spesa  Il risultato delle mie azioni dipende anche dalle scelte degli altri

2 Gioco insieme astratto di regole che vincolano il comportamento dei giocatori definiscono i risultati sulla base delle azioni che essi intraprendono Il gioco è le regole

3 In un gioco vi sono tre elementi caratteristici

4 Rappresentazione di un gioco Forma normale: matrice delle vincite Forma estesa: albero del gioco

5 Esempio Giocatori B A SinistraDestra Alto1, 20, 1 Basso2, 11, 0 Strategie BStrategie AUno dei 4 esiti del giocoPayoff APayoff B

6 A B B Dx Non Sx Dx Sx 2, 31, 2 2, 0 0, 1 Forma estesa RamiNodi Uno dei 4 esiti del gioco Payoff A Payoff B

7 Classificazione dei giochi Cooperativi i giocatori possono assumere degli impegni che hanno valore VINCOLANTE NON Cooperativi i giocatori NON possono assumere degli impegni che hanno valore VINCOLANTE Informazione completa Informazione incompleta Tutte le informazioni del gioco sono note a tutti i giocatori NON tutte le informazioni del gioco sono note a tutti i giocatori

8 Classificazione dei giochi Giochi a somma zero il guadagno di un giocatore CORRISPONDE sempre alla perdita di un altro giocatore Giochi NON a somma zero La somma delle vincite (o delle perdite) dei giocatori NON È COSTANTE Giochi statici Giochi one-shot I giocatori fanno le loro mosse SIMULTANEAMENTE Vengono giocati UNA SOLA volta Giochi dinamici I giocatori fanno le loro mosse SEQUENZIALMENTE Vengono giocati PIÙ VOLTE fra gli stessi giocatori Giochi ripetuti

9 Soluzione dei giochi Equilibrio per un gioco: situazione in cui nessun giocatore desidera modificare il suo comportamento unilateralmente dato il comportamento degli altri giocatori

10 Equilibrio di Nash L’equilibrio di Nash si definisce strategicamente stabile o autovincolante perché nessun giocatore, singolarmente preso, desidera deviare dalla propria strategia di equilibrio ferme restando le strategie adottate dagli altri giocatori Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la migliore per lui, quando anche gli altri giocatori giochino la loro strategia di equilibrio

11 B b1b2b3 a10,32,21,3 Aa22,13,22,3 a35,11,41,0 Equilibrio di Nash La strategia (a2,b3) è un equilibrio di Nash perché né A né B hanno l’incentivo a cambiare strategia data la scelta dell’altro giocatore Se A cambiasse otterrebbe 1 giocando a1 e 1 giocando a3 Se B cambiasse otterrebbe 1 giocando b1 e 2 giocando b2

12 B b1b2b3 a10,32,21,3 Aa22,13,22,3 a35,11,41,0 Equilibrio di Nash La strategia (a2,b3) è un equilibrio di Nash perché né A né B hanno l’incentivo a cambiare strategia data la scelta dell’altro giocatore L’equilibrio non produce né per A né per B necessariamente il payoff più alto A preferirebbe il 5 di (a3,b1) ma allora A si sposterebbe in a2 infine B si sposterebbe in b3 da qui NON ci si muove più ma (a3,b1) non è un equilibrio perché B cambierebbe la sua scelta in b2

13 Equilibrio di Nash è la soluzione del problema Può essere vista come la ottima risposta del giocatore i-esimo alle mosse degli altri giocatori Possiamo definire una risposta ottima per ogni strategia degli altri giocatori costruendo una funzione di risposta ottima BRF  funzione di risposta ottima L’equilibrio di Nash sarà caratterizzato dal fatto che per tutti i giocatori è una risposta ottima alle scelte degli altri

14 Come si trova l’equilibrio di Nash strategia che risulta migliore (garantisce più alti payoffs) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori Strategia DOMINANTE Strategia DOMINATA strategia che risulta inferiore (garantisce più bassi payoffs) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori Se esiste una strategia dominante un giocatore razionale giocherà QUELLA Se esiste una strategia dominata un giocatore razionale non la giocherà MAI

15 Definzione strategia che risulta non peggiore (garantisce payoffs non inferiori) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori Strategia (debolmente) DOMINANTE Strategia (debolmente) DOMINATA strategia che risulta non superiore (garantisce payoffs non più alti) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori

16 B b1b2b3 a10,32,21,3 Aa22,13,22,3 a35,11,41,0 Esempio: prendiamo i due giochi che seguono B b1b2b3 a11,32,41,3 Aa22,13,21,1 a35,14,42,0 Strategia Dominata Strategia Dominante

17 B b1b2b3 a10,33,21,3 Aa22,13,22,3 a35,11,41,0 Esempio: prendiamo questi altri due giochi B b1b2b3 a11,32,41,3 Aa22,13,21,1 a35,14,42,4 Strategia debolmente Dominata Strategia debolmente Dominante Gli unici valori differenti sono i payoffs segnati in rosso

18 B B1b2B3 a10,34,21,3 Aa22,13,22,3 a35,11,41,0 Non ci sono né strategie dominate né strategie dominanti Per trovare la soluzione occorre utilizzare la funzione di risposta ottima (BRF) risposta ottima La migliore strategia che un giocatore può effettuare DATA la strategia scelta dagli ALTRI GIOCATORI Funzione di risposta ottima L’insieme delle risposte ottime di un giocatore Come si trova l’equilibrio di Nash

19 B b1b2b3 a10,34,21,3 Aa22,13,22,3 a35,11,41,0 Trovare l’ E.d.N. utilizzando la BRF Se il giocatore B sceglie b1 la migliore risposta di A è a3 Se il giocatore B sceglie b2 la migliore risposta di A è a1 Se il giocatore B sceglie b3 la migliore risposta di A è a2 Se il giocatore A sceglie a3 la migliore risposta di B è b2 Se il giocatore A sceglie a1 la migliore risposta di B è b1 o b3 Se il giocatore A sceglie a2 la migliore risposta di B è b3 E.d.N deve essere la coppia di strategie che è la risposta ottima di entrambi i giocatori

20 Limiti della definizione di equilibrio di Nash Gioco del calcio di rigore cerchiamo l’equilibrio con il metodo della risposta ottima E’ evidente che non esiste un equilibrio di Nash per questo gioco P dxcxsx dx0,22,0 Acx2,00,22,0 sx2,0 0,2

21 equilibrio di Nash Lui OperaStadio Lei Opera1, 20, 0 Stadio0, 02, 1 Consideriamo questo gioco classico La guerra dei sessi Esiste una molteplicità (due) di equilibri di Nash Quale selezionare ?

22 Limiti della definizione di equilibrio di Nash Molteplicità equilibri di Nash S PF D P-2, -22, 0 F0, 20, 0 Prendiamo un altro gioco Gioco dell’incrocio Due auto (S e D) arrivano contemporaneamente all’incrocio Possono Fermarsi o Passare

23 Molteplicità equilibri di Nash: giochi sequenziali Consideriamo il gioco dell’incrocio, immaginando che l’auto A si presenti per prima all’incrocio Il gioco non è più simultaneo ma sequenziale, l’auto A effettuerà la prima mossa e successivamente muoverà l’auto B La rappresentazione del gioco a forma estesa è preferibile

24 Giochi sequenziali in forma estesa: induzione a ritroso Induzione a ritroso Si parte dai nodi finali del gioco e si analizzano le scelte dei giocatori fino a risalire all’inizio del gioco B sceglierà P che gli da 2 al posto di 0 A lo sa e sa che se sceglierà F prenderà 0 B sceglierà F che gli da 0 al posto di -2 A lo sa e sa che se sceglierà P prenderà 2 A sceglierà P che gli garantisce 2 mentre se scegliesse F avrebbe 0

25 Molteplicità equilibri di Nash: meccanismi istituzionali Quando non esistono altri sistemi per eliminare la molteplicità degli equilibri possono intervenire dei meccanismi istituzionali che regolamentano il comportamento individuale e risolvono l’ambiguità Gioco dell’incrocio  il semaforo, regola codice della strada Risolvere questo tipo di ambiguità è una delle spiegazioni della nascita delle istituzioni guerra dei sessi  Se il rapporto dura nel tempo, la coppia cerca una regola di buona convivenza

26 Abbiamo visto che l’individuo ordina i panieri alternativi secondo le sue preferenze e scegli il paniere che massimizza il suo benessere dati i vincoli cui è soggetto Come possiamo confrontare allocazioni che coinvolgano più di un soggetto Problema L’utilità non è misurabile Non possiamo semplicemente sommare la soddisfazione individuale Criterio Paretiano (da W. Pareto) Esiste un punto di vista sociale per valutare le allocazioni? Ci sono o no criteri che ci consentano di dire se l’allocazione A è superiore all’allocazione B, oppure se è vero il contrario? Allocazione = distribuzione di beni, benessere o quant’altro fra più soggetti Criterio Paretiano

27 Il “criterio di Pareto ” afferma quanto segue: Criterio Paretiano Un’allocazione A è superiore a un’altra allocazione B, se almeno un soggetto preferisce A a B e nessuno preferisce B ad A (e viceversa). Un’allocazione A è superiore a un’altra allocazione B, se in A tutti stanno altrettanto bene che in B e almeno uno sta meglio in A che in B oppure Non tutte le allocazioni sono Pareto Ordinabili A = (10, 3, 7) B = (10, 2, 7) C = (9, 5, 16)

28 Un'allocazione è efficiente nel senso di Pareto se non ne esiste un'altra che sia migliore sulla base del principio di Pareto; cioè, se non è possibile migliorare il benessere di qualcuno senza peggiorare quello di qualcun altro Criterio Paretiano (da W. Pareto) Criterio di efficienza distributiva e non di equità

29 Dilemma del prigioniero Thelma e Louise sono complici in un grave delitto e sono detenute in celle separate (non possono comunicare). Ci sono le prove solo per accusarle di un reato minore la cui pena è 1 anno di reclusione Ogni prigioniera può confessare il delitto grave o negare. Se confessa uscirà subito di prigione, mentre la complice avrà una pena di 10 anni di reclusione. Se entrambe confessano saranno condannate a una pena intermedia di 2 anni. Se nessuna delle due confessa la pena sarà di 1 anno.

30 O.P Nash Louise Nega Accusa Thelma Nega 1, 110, 0 Accusa 0, 105, 5 Dilemma del prigioniero L’EQUILIBRIO DI NASH È SOTT'OTTIMALE (in senso Paretiano) rispetto ad un altro esito del gioco che sarebbe preferito da entrambi i giocatori ma che non è ottenibile Risultato paradossale Un comportamento teso a massimizzare il benessere individuale produce un risultato non ottimo da un punto di vista individuale Nota: essendo anni di prigione si tende a minimizzare i payoffs

31 Louise Nega Accusa Thelma Nega 1, 110, 0 Accusa 0, 105, 5 Dilemma del prigioniero Accusa è la strategia dominante per entrambe

32 Le fattispecie di questo tipo sono molto diffuse nel mondo reale Gioco del lavoro di gruppo a scuola Ana e Beatrix devono fare un lavoro i gruppo per cui saranno valutate congiuntamente L’insegante non può valutare chi ha fatto cosa), ma devono lavorare separatamente Dilemma del prigioniero  framework generale

33 Gioco del lavoro di gruppo Dilemma del prigioniero Ipotesi a)Entrambe partono da una valutazione di 2 (parte del compito già svolta) b)Lavorare stanca (entrambe giudicano lavorare come perdere 4 punti) c)Se entrambe lavorano otterranno il punteggio massimo, 6 punti, il punteggio netto (tenendo conto di a) e b) sarà 2+6–4 = 4; d)Se entrambe non lavorano non guadagnano punti aggiuntivi, il punteggio è 0; il punteggio netto sarà = 2 e)Se una sola lavora ottengono solo 3 punti e il punteggio netto sarà = 1 per quella che lavora 2+3 = 5 per quella che non lavora

34 Beatrix LNL Ana L4, 41, 5 NL5, 12, 2 Gioco del lavoro di gruppo Ana e Beatrix devono fare un lavoro i gruppo per cui saranno valutate congiuntamente Dilemma del prigioniero  framework generale

35 Sotto-ottimalità dell’equilibrio di Nash possibili soluzioni Meccanismi istituzionali Mafia, malavita organizzata dilemma del prigioniero Modificano dall’esterno la struttura degli incentivi Meccanismi endogeniaccordo fra i giocatori Se il gioco viene ripetuto

36 Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti Nella realtà il gioco è spesso ripetuto Possono emergere dei meccanismi endogeni di punizione di comportamenti devianti Prendiamo il gioco della del lavoro di gruppo Immaginiamo un accordo (esplicito o tacito) per lavorare Se una delle due ragazze violasse l’accordo di fare la sua parte l’altra farebbe non collaborerebbe più Ogni volta che sono chiamate a collaborare, Ana e Beatrix devono decidere se collaborare o «fregarsi» a vicenda Meccanismo punitivo

37 Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti π tempo Vantaggio immediato Perdita futura

38 Dilemma del prigioniero e giochi ripetuti Se i giocatori sono sufficientemente pazienti (attribuiscono un peso adeguato ai guadagni futuri) Il risultato pareto ottimale può essere raggiunto Reputazione -- Credibilità Nota Il gioco deve durare all’infinito o avere una durata finita ma incerta


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