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Teoria dei giochi - D'Orio - I parte1 Giochi statici (o a mosse simultanee) con informazione completa Corso di Teoria dei Giochi Laurea specialistica.

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2 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte1 Giochi statici (o a mosse simultanee) con informazione completa Corso di Teoria dei Giochi Laurea specialistica in Economia Applicata Docente: Giovanni DOrio

3 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte2 Prospetto di sintesi dei giochi statici ad informazione completa Introduzione ai giochi Rappresentazione in forma Normale (o strategica) Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate Equilibrio di Nash Ripasso delle funzioni concave, ottimizzazione Applicazione dellequilibrio di Nash Equilibrio di Nash in strategie miste

4 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte3 Agenda Che cosa è la teoria dei giochi Esempi Dilemma del prigioniero La battaglia dei sessi Matching pennies Giochi statici ad informazione completa (o a mosse simultanee) Rappresentazione in forma Normale o strategica

5 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte4 Che cosa è la teoria dei giochi? Noi ci concentreremo su giochi dove: Ci sono almeno due giocatori razionali Ogni giocatore ha più di una scelta Il risultato finale dipende dalle strategie scelte da tutti i giocatori; cè interazione strategica. Esempio: Sei persone vanno ad un ristorante. Ogni persona paga il proprio pasto – un problema semplice di decisione Prima del pranzo, ogni persona è d'accordo a dividere il conto fra tutti i partecipanti – un gioco

6 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte5 Che cosa è la teoria dei giochi? La Teoria dei Giochi è un modo formale di analizzare linterazione strategica tra un gruppo di giocatori (o agenti) razionali che si comportano strategicamente La teoria dei giochi ha applicazioni Economiche Politiche etc.

7 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte6 Esempio Classico: Il Dilemma del prigioniero Due sospetti detenuti in celle separate sono accusati di un crimine rilevante. Non ci sono però prove sufficienti. Ad entrambi I sospetti viene comunicata la seguente regola: Se nessuno confessa allora entrambi saranno accusati di un crimine minore e condannati ad un mese di carcere. Se entrambi confessano allora entrambi saranno condannati a sei mesi di carcere. Se uno confessa ma laltro nega, allora chi confessa sarà rilasciato ma laltro sconterà nove mesi di carcere. -1, -1-9, 0 0, -9-6, -6 Prigioniero 1 Prigioniero 2 Confessa Nega Confessa Nega

8 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte7 Esempio: La battaglia dei sessi In posti separati, Chris e Pat devono scegliere di passare la serata allopera o a un combattimento di boxe. Sia Chris che Pat sanno quanto segue: Entrambi vorrebbero passare la serata insieme. Ma Chris preferisce lopera. Pat preferisce la boxe. 2, 1 0, 0 1, 2 Chris Pat Boxe Opera Boxe Opera

9 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte8 Esempio: Matching pennies Ognuno dei due giocatori ha una monetina. I due giocatori devono scegliere simultaneamente se mostrare Testa o Croce. Entrambi i giocatori conoscono le seguenti regole: Se le due monetine hanno entrambi lo stesso esito (entrambe testa or entrambe croce) allora il giocatore 2 vince la moneta del giocatore 1. In caso diverso, il giocatore 1 vince la moneta del giocatore 2. -1, 1 1, -1 -1, 1 Giocatore 1 Giocatore 2 Croce Testa Croce Testa

10 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte9 Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa Un insieme di giocatori (almeno 2) Per ogni giocatore, un insieme di strategie/azioni Payoffs ottenuti da ogni giocatore data la combinazione delle strategie, o preferenze per ogni giocatore sulle combinazioni delle strategie {Giocat. 1, Giocat. 2,... Giocat. n} S 1 S 2... S n u i (s 1, s 2,...s n ), per ogni s 1 S 1, s 2 S 2,... s n S n. Un gioco statico consiste di:

11 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte10 Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa Mosse simultanee Ogni giocatore sceglie la propria strategia senza conoscere la scelta degli altri. Informazione completa Ogni strategia possibile di ogni giocatore e la funzione dei payoff sono conoscenza comune fra tutti I giocatori. Assunzioni sui giocatori Razionalità I giocatori vogliono massimizzare il proprio payoffs I giocatori sono dei calcolatori perfetti (no errori) Ogni giocatore sa che gli altri giocatori sono razionali

12 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte11 Gioco statico (o a mosse simultanee) con informazione completa I giocatori cooperano? No. Questi sono giochi non cooperativi Il timing (la sequenza degli eventi) Ogni giocatore i sceglie la propria strategia s i senza conoscere la scelta altrui. Solo adesso ogni giocatore i riceve il proprio payoff u i (s 1, s 2,..., s n ). Il gioco finisce

13 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte12 Definizione: Rappresentazione in forma normale o strategica La rappresentazione in forma normale (o strategica) di un gioco G specifica: Un insieme finito di giocatori {1, 2,..., n}, Lo spazio delle strategie dei giocatori S 1 S 2... S n e Le funzioni di pay-off u 1 u 2... u n dove u i : S 1 × S 2 ×...× S n R.

14 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte13 Rappresentazione in forma normale: gioco a 2 giocatori Rappresentazione Bi-matriciale 2 giocatori: Player 1 e Player 2 Ogni giocatore ha un numero finito di strategie Esempio: S 1 ={s 11, s 12, s 13 } S 2 ={s 21, s 22 } Player 2 s 21 s 22 Player 1 s 11 u 1 (s 11,s 21 ), u 2 (s 11,s 21 )u 1 (s 11,s 22 ), u 2 (s 11,s 22 ) s 12 u 1 (s 12,s 21 ), u 2 (s 12,s 21 )u 1 (s 12,s 22 ), u 2 (s 12,s 22 ) s 13 u 1 (s 13,s 21 ), u 2 (s 13,s 21 )u 1 (s 13,s 22 ), u 2 (s 13,s 22 )

15 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte14 Esempio Classico: Rappresentazione normale del Dilemma del Prig. Insieme di giocatori: {Prigioniero 1, Prigioniero 2} Insieme delle strategie: S 1 = S 2 = {Nega, Confessa} Funzioni di Payoff : u 1 (N, N)=-1, u 1 (N, C)=-9, u 1 (C, N)=0, u 1 (C, C)=-6; u 2 (N, N)=-1, u 2 (N, C)=0, u 2 (C, N)=-9, u 2 (C, C)=-6 -1, -1-9, 0 0, -9-6, -6 Prig. 1 Prig. 2 Confessa Nega Confessa Nega Giocat. Strateg. Payoffs

16 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte15 Esempio: La battaglia dei sessi Rappresentazione in forma Normale: Insieme giocatori:{ Chris, Pat } (={Player 1, Player 2}) Insieme strategie: S 1 = S 2 = { Opera, Boxe} Funzioni di Payoff : u 1 (O, O)=2, u 1 (O, B)=0, u 1 (B, O)=0, u 1 (B, B)=1; u 2 (O, O)=1, u 2 (O, B)=0, u 2 (B, O)=0, u 2 (B, B)=2 2, 1 0, 0 1, 2 Chris Pat Boxe Opera Boxe Opera

17 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte16 Esempio: Matching pennies Rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori:{Player 1, Player 2} Insieme strategie: S 1 = S 2 = { Testa, Croce } Funzioni di Payoff : u 1 (T, T)=-1, u 1 (T, C)=1, u 1 (C, T)=1, u 1 (C, C)=-1; u 2 (T, T)=1, u 2 (T, C)=-1, u 2 (C, T)=-1, u 2 (C, C)=1 -1, 1 1, -1 -1, 1 Player 1 Player 2 Croce Testa Croce Testa

18 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte17 Esempio: Turisti e Nativi Solo due bars (bar 1, bar 2) in città Si può applicare un prezzo di $2, $4, o $ turisti scelgono un bar casualmente 4000 nativi scelgono il bar con il prezzo minore Esempio 1:Entrambi fissano $2 Ognuno guadagna 5,000 clienti e $10,000 Esempio 2: Il Bar 1 fissa $4, Il Bar 2 fissa $5 Bar 1 prende =7,000 clienti e $28,000 Bar 2 prende 3000 clienti e $15,000

19 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte18 Esempio: Il modello di duopolio di Cournot Un prodotto è prodotto solo da 2 imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità sono rispettivamente q 1 e q 2,. Ogni impresa sceglie la quantità senza conoscere la quantità scelta dallaltra.. Il prezzo di mercato è P(Q)=a-Q, dove Q=q 1 +q 2. Il costo dellimpresa i di produrre q i è C i (q i )=cq i. Rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Firm 1, Firm 2} Insieme strategie: S 1 =[0, +), S 2 =[0, +) Funzione di Payoff : u 1 (q 1, q 2 )=q 1 (a-(q 1 +q 2 )-c), u 2 (q 1, q 2 )=q 2 (a-(q 1 +q 2 )-c)

20 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte19 Ancora un esempio Ognuno di n giocatori seleziona un numero tra 0 e 100 simultaneamente. Sia x i il numero selezionato dal giocatore i. Sia y la media di questi numeri Il payoff del giocatore i sia = x i – 3y/5 La rappresentazione in forma normale:

21 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte20 Risolvere il Dilemma del Prigioniero Confessare dà sempre un risultato migliore indipendentemente dalla scelta dellaltro Strategia dominata Esiste unaltra strategia che dà sempre risultati migliori indipendentemente dalla scelta degli altri. -1, -1-9, 0 0, -9-6, -6 Prigion. 1 Prisoner 2 Confessa Nega Confessa Nega Giocatori Strategie Payoffs

22 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte21 Definizione: strategie strettamente dominate -1, -1-9, 0 0, -9-6, -6 Prig. 1 Prig. 2 Confessa Nega Confessa Nega Indipend. Scelta altrui s i è strettamente meglio di s i

23 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte22 Riassunto Giochi statici ad informazione completa Rappresentazione normale o strategica Prossimo argomento Strategie dominate Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate Equilibrio di Nash

24 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte23 Ripasso veloce La forma normale di un gioco G specifica: Un insieme finito di giocatori {1, 2,..., n}, Lo spazio delle strategie dei giocatori S 1 S 2... S n e Le loro funzioni di payoff u 1 u 2... u n dove u i : S 1 × S 2 ×...× S n R. Prig. 2 NegaConfessa Prig. 1 Nega -1, -1-9, 0 Confessa 0, -9-6, -6 Tutte le combinazioni delle strategie. Una combinazione di strategie è un insieme di strategie, una per ogni giocatore

25 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte24 Definizione: strategie strettamente dominate -1, -1-9, 0 0, -9-6, -6 Prig. 1 Prig. 2 Confessa Nega Confessa Nega Indipend. Scelta altrui s i è strettamente meglio di s i

26 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte25 Esempio Due imprese, Reynolds e Philip, si dividono il mkt. Ogni impresa guadagna $60 milioni dalla propria clientela se nessuna fa pubblicità (Ad) La pubblicità costa allimpresa $20 milioni La pubblicità attrae $30 milioni di fatturato dellaltro concorrente Philip No AdAd Reynolds No Ad 60, 6030, 70 Ad 70, 3040, 40

27 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte26 Gioco a 2 con strategie finite S 1 ={s 11, s 12, s 13 } S 2 ={s 21, s 22 } s 11 è strettamente dominata da s 12 se u 1 (s 11,s 21 )

28 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte27 Definizione: strategie debolmente dominate 1, 1 2, 0 0, 2 2, 2 Player 1 Player 2 R U B L Qualsiasi sia la scelta altrui s i è almeno tanto buono quanto s i

29 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte28 Strategie dominate in modo stretto o in modo debole Un giocatore razionale non sceglie mai strategie strettamente dominate. Quindi ogni strategia strettamente dominata può essere eliminata. Un giocatore razionale può scegliere una strategia debolmente dominata.

30 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte29 Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate Se una strategia è strettamente dominata, eliminatela La dimensione e complessità del gioco risulterà ridotta Eliminate ogni strategia strettamente dominata dal gioco ridotto Continuate le eliminazioni finchè non ci saranno più strategie strettam. dominate

31 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte30 Eliminazione iterata di strategie strettamente dominate: un esempio 1, 0 1, 2 0, 1 0, 3 0, 1 2, 0 Player 1 Player 2 Centro Su Giù Sinistra 1, 0 1, 2 0, 3 0, 1 Player 1 Player 2 Centro Su Giù Sinistra Destra

32 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte31 Esempio: Turisti e Nativi Solo due bar (bar 1, bar 2) in una città Si possono fissare prezzi di $2, $4, o $ turisti scelgono un bar casualmente 4000 nativi selezionano il bar con il prezzo inferiore Esempio 1:Entrambi fissano $2 Ognuno attrae 5,000 clienti e $10,000 Esempio 2: Bar 1 fissa $4, Bar 2 fissa $5 Bar 1 attrae =7,000 clienti e $28,000 Bar 2 attrae 3000 clienti e $15,000

33 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte32 Esempio: Turisti e Nativi Bar 2 $2$4$5 Bar 1 $2 10, 1014, 1214, 15 $4 12, 1420, 2028, 15 $5 15, 1415, 2825, 25 Payoffs sono in migliaia di dollari Bar 2 $4$5 Bar 1 $4 20, 2028, 15 $5 15, 2825, 25

34 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte33 Ancora un esempio Ognuno di n giocatori seleziona un numero tra 0 e 100 simultaneamente. Sia x i il numero selezionato dal giocatore i. Sia y la media di questi numeri Il payoff del giocatore I sarà = x i – 3y/5

35 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte34 Un esempio ulteriore La rappresentazione in forma normale: Giocatori: {player 1, player 2,..., player n} Strategie: S i =[0, 100], per i = 1, 2,..., n. Funzione di payoff: u i (x 1, x 2,..., x n ) = x i – 3y/5 Ci sono strategie dominate? Quali numeri dovrebbero essere selezionati?

36 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte35 Un nuovo concetto di soluzione: lequilibrio di Nash Giocat. 2 LCR Giocat. 1 T 0, 44, 05, 3 M 4, 00, 45, 3 B 3, 5 6, 6 La combinazione di strategie (B, R) ha la seguente proprietà: Il Giocatore 1 NON PUO fare meglio scegliendo una strategia diversa da B, dato il fatto che giocatore 2 sceglie R. Il Giocatore 2 NON PUO fare meglio scegliendo una strategia diversa da R, dato il fatto che il giocatore 1 sceglie B.

37 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte36 Un nuovo concetto di soluzione: lequilibrio di Nash Giocat. 2 LCR Giocat. 1 T 0, 44, 03, 3 M 4, 00, 43, 3 B 3.5, 3.6 La combinazione di strategie (B, R) ha la seguente proprietà: Il giocatore 1 NON PUO fare meglio scegliendo una strategia diversa da B, dato il fatto che il giocatore 2 sceglie R. Il giocatore 2 NON PUO fare meglio scegliendo una strategia diversa da R, dato il fatto che il giocatore 1 sceglie B.

38 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte37 Equilibrio di Nash : lidea Lequilibrio di Nash Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la migliore risposta possibile nel momento in cui gli altri giocatori stanno giocando le loro strategie di equilibrio. BR to BR= Best response to a best response

39 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte38 Definizione: Lequilibrio di Nash Data la scelta altrui, il giocat. i non può migliorare se devia da s i * Prig. 2 NegaConfessa Prig. 1 Nega -1, -1-9, 0 Confessa 0, -9-6, -6

40 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte39 Gioco a 2 giocatori con strategie finite S 1 ={s 11, s 12, s 13 } S 2 ={s 21, s 22 } (s 11, s 21 )è un equilibrio di Nash se u 1 (s 11,s 21 ) u 1 (s 12,s 21 ), u 1 (s 11,s 21 ) u 1 (s 13,s 21 ) e u 2 (s 11,s 21 ) u 2 (s 11,s 22 ). Giocatore 2 s 21 s 22 Gioc. 1 s 11 u 1 (s 11,s 21 ), u 2 (s 11,s 21 )u 1 (s 11,s 22 ), u 2 (s 11,s 22 ) s 12 u 1 (s 12,s 21 ), u 2 (s 12,s 21 )u 1 (s 12,s 22 ), u 2 (s 12,s 22 ) s 13 u 1 (s 13,s 21 ), u 2 (s 13,s 21 )u 1 (s 13,s 22 ), u 2 (s 13,s 22 )

41 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte40 Ricerca dellequilibrio di Nash: ispezione cella a cella 1, 0 1, 2 0, 1 0, 3 0, 1 2, 0 Player 1 Player 2 Middle Up Down Left 1, 0 1, 2 0, 3 0, 1 Player 1 Player 2 Middle Up Down Left Right

42 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte41 Riassunto Strategie dominate Eliminazione iterata Equilibrio di Nash Prossimo argomento Equilibrio di Nash Funzione di risposta ottima

43 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte42 Equilibrio di Nash : idea Equilibrio di Nash Un insieme di strategie, una per ogni giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore sia la sua migliore possibile considerato che tutti gli altri giocatori stanno giocando la loro migliore strategia o Una situazione stabile nella quale nessun giocatore vuole deviare se gli altri confermano la propria posizione Prig. 2 NegaConfessa Prig. 1 Nega -1, -1-9, 0 Confessa 0, -9-6, -6 (Confessa, Confessa) è un equilibro di Nash.

44 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte43 Esempio: Turisti e Nativi Bar 2 $2$4$5 Bar 1 $2 10, 1014, 1214, 15 $4 12, 1420, 2028, 15 $5 15, 1415, 2825, 25 Payoffs sono in migliaia di dollari Bar 2 $4$5 Bar 1 $4 20, 2028, 15 $5 15, 2825, 25

45 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte44 Ancora quellesempio Rappresentazione in forma normale: Giocatori: {player 1, player 2,..., player n} Strategie: S i =[0, 100], for i = 1, 2,..., n. Funzioni di Payoff : u i (x 1, x 2,..., x n ) = x i – 3y/5 Quale è lequilibrio di Nash?

46 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte45 Funzione di risposta ottima: esempio Se Player 2 sceglie L allora la strategia ottima di Player 1 è M Se Player 2 sceglie C allora la strategia ottima di Player 1 è T Se Player 2 sceglie R allora la strategia ottima di Player 1 è B Se Player 1 sceglie B allora la strategia ottima di Player 2 è R Risposta ottima: la migliore strategia giocabile da un giocatore, data la strategia scelta da altri giocatori Player 2 LCR Player 1 T 0, 44, 03, 3 M 4, 00, 43, 3 B 3.5, 3.6

47 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte46 Esempio: Turisti e Nativi Quale è la risposta ottima del Bar 1 alle strategie di Bar 2 pari a $2, $4 o $5? Quale è la risposta ottima del Bar 2 alle strategie di Bar 1 pari a $2, $4 or $5? Bar 2 $2$4$5 Bar 1 $2 10, 1014, 1214, 15 $4 12, 1420, 2028, 15 $5 15, 1415, 2825, 25 Payoffs in migliaia di dollari

48 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte47 Gioco a 2 giocatori con strategie finite S 1 ={s 11, s 12, s 13 } S 2 ={s 21, s 22 } La strategia di Player 1 s 11 è la migliore risposta alla strategia di Player 2 s 21 se u 1 (s 11,s 21 ) u 1 (s 12,s 21 ) e u 1 (s 11,s 21 ) u 1 (s 13,s 21 ). Player 2 s 21 s 22 Player 1 s 11 u 1 (s 11,s 21 ), u 2 (s 11,s 21 )u 1 (s 11,s 22 ), u 2 (s 11,s 22 ) s 12 u 1 (s 12,s 21 ), u 2 (s 12,s 21 )u 1 (s 12,s 22 ), u 2 (s 12,s 22 ) s 13 u 1 (s 13,s 21 ), u 2 (s 13,s 21 )u 1 (s 13,s 22 ), u 2 (s 13,s 22 )

49 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte48 Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per trovare lequilibrio di Nash In un gioco a due giocatori, ( s 1, s 2 ) è un equilibrio di Nash se e solo se la strategia di player 1 s 1 è la migliore risposta alla strategia di player 2 s 2, e la strategia di player 2 s 2 è la migliore risposta alla strategia di player 1 s 1. -1, -1-9, 0 0, -9-6, -6 Prisoner 1 Prisoner 2 Confess Mum Confess Mum

50 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte49 Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per trovare lequilibrio di Nash : esempio M è la risposta ottima di Player 1 alla strategia L di Player 2 T è la risposta ottima di Player 1 alla strategia C di Player 2 B è la risposta ottima di Player 1 alla strategia R di Player 2 L è la risposta ottima di Player 2 alla strategia T di Player 1 C è la risposta ottima di Player 2 alla strategia M di Player 1 R è la risposta ottima di Player 2 alla strategia B di Player 1 Player 2 LCR Player 1 T 0, 44, 03, 3 M 4, 00, 43, 3 B 3.5, 3.6

51 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte50 Esempio: Turisti e Nativi Bar 2 $2$4$5 Bar 1 $2 10, 1014, 1214, 15 $4 12, 1420, 2028, 15 $5 15, 1415, 2825, 25 I Payoffs sono in migliaia di dollari Usate la funzione di rsposta ottima per trovare lequilibrio di Nash.

52 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte51 Esempio: La battaglia dei sessi Opera è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Opera Opera è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Opera Quindi, (Opera, Opera) è un Equilibrio di Nash Fight è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Fight Fight è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Fight Quindi, (Fight, Fight) è un Equilibrio di Nash 2, 1 0, 0 1, 2 Chris Pat Prize Fight Opera Prize Fight Opera

53 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte52 Esempio: Matching pennies Head è la risposta ottima di Player 1 alla strategia di Player 2 Tail Tail è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Tail Tail è la risposta ottima di Player alla strategia di Player 2 Head Head è la risposta ottima di Player 2 alla strategia di Player 1 Head Quindi, NON cè equilibrio di Nash -1, 1 1, -1 -1, 1 Player 1 Player 2 Tail Head Tail Head

54 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte53 Definizione: funzione di risposta ottima La risposta ottima di Player i Date le strategie degli altri

55 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte54 Definizione: funzione di risposta ottima La risposta ottima di Player 1 alle strategie altrui è una soluzione dottimo di

56 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte55 Utilizzo delle funzioni di risposta ottima per la definizione degli equilibri di Nash Insieme di strategie, una per giocatore, tale che la strategia di ogni giocatore è per lui la migliore, assunto che gli altri stanno giocando le loro strategie ottime, o Una situazione stabile che nessun giocatore vuole cambiare se gli altri non cambiano

57 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte56 Riassunto Equilibrio di Nash Funzione di risposta ottima Utilizzo della funzione di risposta ottima per la definizione dellequilibrio di Nash Utilizzo della funzione di risposta ottima per la determinazione dellequilibrio di Nash Prossimo argomento Funzioni concave e ottimizzazione Applicazioni

58 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte57 Riassunto In un gioco a n-giocatori in forma normale, se leliminazione iterata di strategie strettamente dominate elimina tutte le strategie tranne ( s 1 *, s 2 *,..., s n * ), allora (s 1 *, s 2 *,..., s n * ) è lunico equilibrio di Nash. In un gioco a n-giocatori in forma normale, se le strategie ( s 1 *, s 2 *,..., s n * ) è un equilibrio di Nash allora esse sopravvivono alleliminazione iterata di strategie strettamente dominate. Male strategie che superano leliminazione iterata di strategie strettamente dominate non necessariamente sono equilibri di Nash.

59 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte58 Il modello del duopolio di Cournot Un prodotto è realizzato solo da due imprese: impresa 1 e impresa 2. Le quantità sono denotate rispettivamente da q 1 e q 2,. Ogni impresa sceglie la propria quantità senza conoscere la scelta dellaltra. Il prezzo di mercato è P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q 1 +q 2. Il costo dellimpresa i per produrre la quantità q i è C i (q i )=cq i.

60 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte59 Il modello del duopolio di Cournot La rappresentazione in forma normale: Insieme dei giocatori: { Impresa 1, Impresa 2} Insieme delle strategie: S 1 =[0, +), S 2 =[0, +) Funzioni di payoff: u 1 (q 1, q 2 )=q 1 (a-(q 1 +q 2 )-c) u 2 (q 1, q 2 )=q 2 (a-(q 1 +q 2 )-c)

61 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte60 Il modello del duopolio di Cournot Come trovare lequilibrio di Nash: Trovate la coppia di quantità ( q 1 *, q 2 * ) tale che q 1 * sia la risposta ottima dellimpresa 1 alla quantità q 2 * dellimpresa 2 e q 2 * sia la risposta ottima dellimpresa 2 alla quantità q 1 * dellimpresa 1 Ciò significa che, q 1 * risolve Max u 1 (q 1, q 2 *)=q 1 (a-(q 1 +q 2 *)-c) soggetto a 0 q 1 + e q 2 * risolve Max u 2 (q 1 *, q 2 )=q 2 (a-(q 1 *+q 2 )-c) soggetto a 0 q 2 +

62 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte61 Funzioni concave x f(x)f(x) 0

63 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte62 Funzioni convesse x f(x)f(x) 0

64 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte63 Concavità e convessità

65 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte64 Concavità e convessità

66 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte65 Massimi e minimi x f(x)f(x) 0 x* x

67 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte66 Massimo e minimo x f(x)f(x) 0 x f(x)f(x) 0 xx*

68 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte67 Trovare il massimo di una funzione concava

69 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte68 Massimo e minimo x f(x)f(x) 0 x1x1 x2x2 x* x

70 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte69 Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli

71 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte70 Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli

72 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte71 Trovare il massimo di una funzione concava con vincoli x f(x)=-3x 2 +6x-4

73 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte72 Utilizzo della funzione di risposta ottima per la ricerca dellequilibrio di Nash In un gioco a due gioc., ( s 1, s 2 ) è un equilibrio di Nash se e solo se la strategia s 1 del gioc.1 è la rsipsota ottima alla strategia s 2 del gioc. 2, e se la strategia s 2 del giocatore 2 è la risposta ottima alla strategia s 1 del giocatore 1 -1, -1-9, 0 0, -9-6, -6 Prig. 1 Prig. 2 Confessa Nega Confessa Nega

74 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte73 Il modello del duopolio di Cournot Come trovare lequilibrio di Nash: Trovate la coppia di quantità (q1*, q2*) tale che q1* sia la risposta ottima dellimpresa 1 alla quantità q2* dellimpresa 2 e q2* sia la risposta ottima dellimpresa 2 alla quantità q1* dellimpresa 1 Ciò significa che, q1* risolve Max u1(q1, q2*)=q1(a-(q1+q2*)-c) soggetto a 0 q1 + e q2* risolve Max u2(q1*, q2)=q2(a-(q1*+q2)-c) soggetto a 0 q2 +

75 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte74 Il modello del duopolio di Cournot Ricerca dellequilibrio di Nash Risolvete Max u 1 (q 1, q 2 *)=q 1 (a-(q 1 +q 2 *)-c) s. a 0 q 1 + FOC: a - 2q 1 - q 2 *- c = 0 q 1 = (a - q 2 *- c)/2

76 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte75 Il modello del duopolio di Cournot Ricerca dellequilibrio di Nash Risolvete Max u 2 (q 1 *, q 2 )=q 2 (a-(q 1 *+q 2 )-c) s. a 0 q 2 + FOC: a - 2q 2 – q 1 * – c = 0 q 2 = (a – q 1 * – c)/2

77 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte76 Il modello del duopolio di Cournot Ricerca dellequilibrio di Nash La coppia ( q 1 *, q 2 * ) è un equilibrio di Nash se q 1 * = (a – q 2 * – c)/2 q 2 * = (a – q 1 * – c)/2 Risolvere queste due equazioni ci dà: q 1 * = q 2 * = (a – c)/3

78 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte77 Il modello del duopolio di Cournot Funzione di risposta ottima La funzione di risposta ottima dellimpresa 1 alla quantità q 2 dellimpresa 2 R 1 (q 2 ) = (a – q 2 – c)/2 if q 2 < a– c ; 0 negli altri casi, e La funzione di risposta ottima dellimpresa 2 alla quantità q 1 dellimpresa 1 R 2 (q 1 ) = (a – q 1 – c)/2 if q 1 < a– c ; 0 negli altri casi q1q1 q2q2 (a – c)/2 a – c Equilibrio di Nash

79 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte78 Il modello del duopolio di Cournot a n imprese Un prodotto è realizzato da n imprese: dallimpresa 1 allimpresa n. La quantità dellimpresa i sia q i.Ogni impresa effettua la propria scelta senza sapere ciò che fanno le altre. Il prezzo di mkt. è P(Q)=a-Q, dove a è una costante e Q=q 1 +q q n. Il costo dellimpresa i di produrre la quantità q i è C i (q i )=cq i.

80 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte79 Il modello del duopolio di Cournot La rappresentazione in forma normale: Insieme dei giocatori: { Impresa 1,... Impresa n} Insieme delle strategie: S i =[0, +), per i=1, 2,..., n Funzioni di payoff: u i (q 1,..., q n )=q i (a-(q 1 +q q n )-c) for i=1, 2,..., n

81 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte80 Il modello del duopolio di Cournot Come trovare lequilibrio di Nash Trovate le quantità ( q 1 *,... q n * ) tali che q i * e la risposta ottima dellimpresa i alle quantità delle altre imprese. Ciò significa che q 1 * risolve Max u 1 (q 1, q 2 *,..., q n *)=q 1 (a-(q 1 +q 2 * +...+q n *)-c) s. a 0 q 1 + e q 2 * risolve Max u 2 (q 1 *, q 2, q 3 *,..., q n *)=q 2 (a-(q 1 *+q 2 +q 3 *+...+ q n *)-c) s. a 0 q

82 Teoria dei giochi - D'Orio - I parte81 Riassunto Equilibrio di Nash Funzioni concave e massimizzazione Il modello del duopolio e delloligopolio di Cournot Prossimo argomento Il modello del duopolio di Bertrand


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