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Teoria dei giochi - D'orio - I parte1 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Due imprese: impresa 1 e impresa 2. Ogni impresa sceglie.

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2 Teoria dei giochi - D'orio - I parte1 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Due imprese: impresa 1 e impresa 2. Ogni impresa sceglie il prezzo per il proprio prodotto senza saper ciò che ha fatto laltra. I prezzi sono indicati rispettivamente con p 1 e p 2,. La quantità che i consumatori domandano allimpr. 1: q 1 (p 1, p 2 ) = a – p 1 + bp 2. La quantità che i consumatori domandano allimpr. 2: q 2 (p 1, p 2 ) = a – p 2 + bp 1. Il costo per limpresa i di produrre la quantità q i è C i (q i )=cq i.

3 Teoria dei giochi - D'orio - I parte2 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) La rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Impresa 1, Impresa 2} Insieme strategie: S 1 =[0, +), S 2 =[0, +) Funzioni di payoff: u 1 (p 1, p 2 )=(a – p 1 + bp 2 )(p 1 – c) u 2 (p 1, p 2 )=(a – p 2 + bp 1 )(p 2 – c)

4 Teoria dei giochi - D'orio - I parte3 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dellequilibrio di Nash: Trovare la coppia di prezzi ( p 1 *, p 2 * ) tale che p 1 * è la risposta ottima dellimpresa 1 al prezzo dellimpresa 2 p 2 * e p 2 * è la risposta ottima dellimpresa 2 al prezzo dellimpresa 1 p 1 * Quindi, p 1 * risolve Max u 1 (p 1, p 2 *) = (a – p 1 + bp 2 * )(p 1 – c) s. a 0 p 1 + e p 2 * risolve Max u 2 (p 1 *, p 2 ) = (a – p 2 + bp 1 * )(p 2 – c) s. a 0 p 2 +

5 Teoria dei giochi - D'orio - I parte4 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dellequilibrio di Nash Risolvere il problema di massimizzazione dellimpresa 1 Max u 1 (p 1, p 2 *) = (a – p 1 + bp 2 * )(p 1 – c) s. a 0 p 1 + FOC: a + c – 2p 1 + bp 2 * = 0 p 1 = (a + c + bp 2 *)/2

6 Teoria dei giochi - D'orio - I parte5 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dellequilibrio di Nash Risolvere il problema di massimizzazione dellimpresa 2 Max u 2 (p 1 *, p 2 )=(a – p 2 + bp 1 * )(p 2 – c) s. to 0 p 2 + FOC: a + c – 2p 2 + bp 1 * = 0 p 2 = (a + c + bp 1 *)/2

7 Teoria dei giochi - D'orio - I parte6 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti differenziati) Ricerca dellequilibrio di Nash La coppia di prezzi ( p 1 *, p 2 * ) è un equilibrio di Nash se: p 1 * = (a + c + bp 2 *)/2 p 2 * = (a + c + bp 1 *)/2 Risolvendo le due equazioni troviamo che p 1 * = p 2 * = (a + c)/(2 –b)

8 Teoria dei giochi - D'orio - I parte7 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) Due imprese: impresa 1 e impresa 2. Ogni impresa sceglie il proprio prezzo senza conoscere le scelte altrui. I prezzi sono denotati rispettivamente con p 1 e p 2. La quantità domandata dai consumatori dallimpr. 1: q 1 (p 1, p 2 ) = a – p 1 se p 1 < p 2 ; = (a – p 1 )/2 se p 1 = p 2 ; =0, negli altri casi. La quantità domandata dai consumatori dallimpr. 2: q 2 (p 1, p 2 ) = a – p 2 se p 2 < p 1 ; = (a – p 2 )/2 se p 1 = p 2 ; =0, negli altri casi. Il costo dellimpresa i per produrre q i è C i (q i )=cq i.

9 Teoria dei giochi - D'orio - I parte8 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) La rappresentsazione in forma normale: Insieme dei giocatori: { impresa 1, impresa 2} Insieme delle strategie: S 1 =[0, +), S 2 =[0, +) Funzioni di payoff:

10 Teoria dei giochi - D'orio - I parte9 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) Funzioni di risposta ottima: p m =( a + c )/2

11 Teoria dei giochi - D'orio - I parte10 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) Funzioni di risposta ottima: p1p1 p2p2 c c pmpm pmpm p1p1 p2p2 c c pmpm pmpm Risposta ottima dellimpresa 1 al p 2 dellimpresa 2 Risposta ottima dellimpresa 2 al p 1 dellimpresa 1

12 Teoria dei giochi - D'orio - I parte11 Il modello di duopolio di Bertrand (prodotti omogenei) Funzioni di risposta ottima: p1p1 p2p2 c c pmpm pmpm Equilibrio di Nash ( c, c )

13 Teoria dei giochi - D'orio - I parte12 Concorrere alle spese per i beni pubblici Due individuo: persona 1 e persona 2. Persona 1 ha una ricchezza di w 1 e persona 2 ha una ricchezza w 2, Ogni persona sceglie con quanto contribuire senza sapere ciò che fa laltra. I contributi sono denotati rispettivamente da c 1 e c 2. Lammontare di bene pubblico ottenuto sarà uguale alla somma dei contributi. Il payoff di Persona 1: u 1 (c 1, c 2 ) = v 1 (c 1 + c 2 ) + w 1 – c 1 Il payoff di Persona 2: u 2 (c 1, c 2 ) = v 2 (c 1 + c 2 ) + w 2 – c 2 v 1 (c 1 + c 2 ) e v 2 (c 1 + c 2 ) sono entrambi funzioni concave

14 Teoria dei giochi - D'orio - I parte13 Concorrere alle spese per i beni pubblici La rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Persona 1, Persona 2} Insieme delle strategie: S 1 =[0, w 1 ], S 2 =[0, w 2 ] Funzione di payoff: u 1 (c 1, c 2 ) = v 1 (c 1 + c 2 ) + w 1 – c 1 u 2 (c 1, c 2 ) = v 2 (c 1 + c 2 ) + w 2 – c 2

15 Teoria dei giochi - D'orio - I parte14 Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dellequilibrio di Nash Trovare la coppia di contributi ( c 1 *, c 2 * ) tale che c 1 * sia la risposta ottima di sig. 1 al contributo c 2 * di sig. 2 e c 2 * sia la risposta ottima di sig. 2 al contributo c 1 * di sig. 1 Quindi, c 1 * risolve Max u 1 (c 1, c 2 *) = v 1 (c 1 + c 2 *) + w 1 – c 1 s. a 0 c 1 w 1 e c 2 * risolve Max u 2 (c 1 *, c 2 ) = v 2 (c 1 * + c 2 ) + w 2 – c 2 s. a 0 c 2 w 2

16 Teoria dei giochi - D'orio - I parte15 Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dellequilibrio di Nash Risolvere il problema di max della persona 1 Max u 1 (c 1, c 2 *) = v 1 (c 1 + c 2 *) + w 1 – c 1 s. a 0 c 1 w 1

17 Teoria dei giochi - D'orio - I parte16 Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dellequilibrio di Nash Risolvere il problema di max della persona 2 Max u 2 (c 1 *, c 2 ) = v 2 (c 1 * + c 2 ) + w 2 – c 2 s. a 0 c 2 w 2

18 Teoria dei giochi - D'orio - I parte17 Concorrere alle spese per i beni pubblici Ricerca dellequilibrio di Nash La coppia di contributi ( c 1 *, c 2 * ) è un equilibrio di Nash se

19 Teoria dei giochi - D'orio - I parte18 Concorrere alle spese per i beni pubblici Funzione di risposta ottima Funzione risposta ottima persona 1 rispetto al contributo c 2 : R 1 (c 2 ) = r 1 – c 2 se c 2 < r 1 ; = 0, se c 2 r 1 Funzione risposta ottima persona 2 rispetto al contributo c 1 : R 2 (c 1 ) = r 2 – c 1 se c 1 < r 2 ; = 0, se c 1 r 2 c1c1 c2c2 r2r2 r1r1 r2r2 r1r1 (r 1, 0) è un NE Assumendo che r 1 > r 2

20 Teoria dei giochi - D'orio - I parte19 Riassunto Il modello di duopolio di Bertrand I contributi ai beni pubblici Prossimo argomento Lequilibrio di Nash in strategie miste

21 Teoria dei giochi - D'orio - I parte20 Il problema dei beni comuni n contadini in un paesino. Ogni estate, tutti i contadini pascolano le capre nel campo comune del paesino. Sia g i il numero di capre possedute dal contadino i. Il costo dacquisto e mantenimento di una capra è c, ed è indipendente dal numero di capre possedute. Il valore complessivo di tutti i greggi è v(G) per singolo gregge, dove G = g 1 + g g n Cè un numero massimo di capre (greggi) che si possono pascolare nel campo. Considerato ciò si ha che, v(G)>0 se G < G max, e v(G)=0 se G G max. Le assunzioni su v(G): v (G) < 0 e v (G) < 0. Ogni primavera viene deciso da tutti i contadini contemporaneamente quante capre comprare.

22 Teoria dei giochi - D'orio - I parte21 Il problema dei beni comuni La rappresentazione in forma normale: Insieme giocatori: { Contadino 1,... Contadino n} Insieme strategie: S i =[0, G max ), per i=1, 2,..., n Funzione di Payoff : u i (g 1,..., g n )=g i v(g g n ) – c g i per i = 1, 2,..., n.

23 Teoria dei giochi - D'orio - I parte22 Il problema dei beni comuni Ricerca dellequilibrio di Nash Trovare ( g 1 *, g 2 *,..., g n * ) tale che g i * sia la risposta ottima del contadino i alla scelta degli altri. Ciò implica che g 1 * risolve il problema seguente: Max u 1 (g 1, g 2 *,..., g n *)= g 1 v(g 1 + g 2 *...+ g n *) – c g 1 s. a 0 g 1 < G max e g 2 * risolve Max u 2 (g 1 *, g 2, g 3 *,..., g n *)= g 2 v(g 1 *+g 2 +g 3 *+...+ g n *)–cg 2 s. a 0 g 2 < G max ……….. e g n * risolve Max u n (g 1 *,..., g n-1 *, g n )= g n v(g 1 *+...+ g n-1 *+ g n )–cg n s. a 0 g n < G max

24 Teoria dei giochi - D'orio - I parte23 Il problema dei beni comuni FOCs:

25 Teoria dei giochi - D'orio - I parte24 Il problema dei beni comuni Ricerca dellequilibrio di Nash ( g 1 *, g 2 *,..., g n * ) è un equilibrio di Nash se

26 Teoria dei giochi - D'orio - I parte25 Il problema dei beni comuni Sommando tutte le FOC dei singoli n contadini e quindi dividendo per n otteniamo

27 Teoria dei giochi - D'orio - I parte26 Il problema dei beni comuni Il problema sociale

28 Teoria dei giochi - D'orio - I parte27 Il problema dei beni comuni

29 Teoria dei giochi - D'orio - I parte28..sulle strategie debolmente dominate 1, 1 2, 0 0, 2 2, 2 Gioc. 1 Gioc. 2 R U B L Indipendenza dalla scelta altrui s i almeno tanto buono quanto s i, ma non sempre uguale.

30 Teoria dei giochi - D'orio - I parte29 Matching pennies Head è la risposta ottima di Player 1alla strategia Tail di Player 2 Tail è la risposta ottima di Player 2 alla strategia Tail di Player 1 Tail è la risposta ottima di Player 1alla strategia Head di Player 2 Head è la risposta ottima di Player 2 alla strategia Head di Player 1 Quindi, NON cè equilibrio di Nash -1, 1 1, -1 -1, 1 Player 1 Player 2 Tail Head Tail Head

31 Teoria dei giochi - D'orio - I parte30 Risolvere Matching pennies Rendete casuale la vostra strategia per sorprendere il rivale Player 1 sceglie Head e Tail rispettivamente con probabilità r e 1-r. Player 2 sceglie Head e Tail rispettivamente con probabilità q e 1-q. Strategie miste: Specificano che una mossa sia scelta casualmente dallinsieme delle strategie pure con delle probabilità specifiche. Player 2 HeadTail Player 1 Head -1, 1 1, -1 Tail 1, -1-1, 1 q 1-q r 1-r

32 Teoria dei giochi - D'orio - I parte31 Strategia mista La strategia mista di un giocatore è una distribuzione di probabilità sulle sue strategie (pure). Una strategia mista per Chris è una distribuzione di probabilità (p, 1-p), dove p è laprobabilità di giocare Opera, e 1-p è la probabilità di giocare Prize Fight (boxe). Se p=1 allora Chris gioca sicuramente Opera. Se p=0 allora Chris gioca sicuramente Prize Fight. Battaglia dei sessi Pat OperaPrize Fight Chris Opera (p) 2, 10, 0 Prize Fight (1-p) 0, 01, 2

33 Teoria dei giochi - D'orio - I parte32 Risolvere matching pennies I payoffs attesi dal giocatore 1 sono: Se Player 1 sceglie Head, -q+(1-q)=1-2q Se Player 1 sceglie Tail, q-(1-q)=2q-1 Player 2 HeadTail Player 1 Head -1, 1 1, -1 Tail 1, -1-1, 1 q 1-q 1-2q 2q-1 Payoffs attesi r 1-r

34 Teoria dei giochi - D'orio - I parte33 1 q r 1 1/2 Risolvere matching pennies La risposta ottima di Player 1 B 1 (q): Per q<0.5, Head (r=1) Per q>0.5, Tail (r=0) Per q=0.5, indifferente (0 r 1) Player 2 HeadTail Player 1 Head -1, 1 1, -1 Tail 1, -1-1, 1 q 1-q 1-2q 2q-1 Payoffs attesi r 1-r

35 Teoria dei giochi - D'orio - I parte34 Risolvere matching pennies I payoffs attesi dal giocatore 2 sono se Player 2 sceglie Head, r-(1-r)=2r-1 se Player 2 sceglie Tail, -r+(1-r)=1-2r Player 2 HeadTail Player 1 Head -1, 1 1, -1 Tail 1, -1-1, 1 1-2q 2q-1 Payoffs attesi r 1-r q 1-q Payoffs attesi 2r-1 1-2r

36 Teoria dei giochi - D'orio - I parte35 Solving matching pennies Risposta ottima di Player 2 B 2 (r): Per r<0.5, Tail (q=0) Per r>0.5, Head (q=1) Per r=0.5, indifferente (0 q 1) Player 2 HeadTail Player 1 Head -1, 1 1, -1 Tail 1, -1-1, 1 q 1-q 1-2q 2q-1 Payoffs attesi r 1-r Payoffs attesi 2r-1 1-2r 1 q r 1 1/2

37 Teoria dei giochi - D'orio - I parte36 1 q r 1 1/2 Risolvere matching pennies Risposta ottima Player 1 B 1 (q): Per q<0.5, Head (r=1) Per q>0.5, Tail (r=0) Per q=0.5, indifferente (0 r 1) Risposta ottima Player 2 B 2 (r): Per r<0.5, Tail (q=0) Per r>0.5, Head (q=1) Per r=0.5, indifferente (0 q 1) Controllo r = 0.5 B 1 (0.5) q = 0.5 B 2 (0.5) Player 2 HeadTail Player 1 Head -1, 1 1, -1 Tail 1, -1-1, 1 r 1-r q 1-q Equilibrio di Nash in strategie miste

38 Teoria dei giochi - D'orio - I parte37 Riassunto Il problema dei beni comuni Strategie miste Soluzione di matching pennies Prossimo argomento Equilibrio di Nash in strategie miste

39 Teoria dei giochi - D'orio - I parte38 Strategia mista Strategia mista: La strategia mista di un giocatore è una distribuzione di probabilità sulle strategie (pure) del giocatore stesso.

40 Teoria dei giochi - D'orio - I parte39 Strategia mista: esempio Matching pennies Player 1 ha due strategie pure: H e T ( 1 (H)=0.5, 1 (T)=0.5 ) è una strategia mista. Ciò significa, player 1 gioca H e T rispettivamente con una probabilità pari a 0.5 e 0.5. ( 1 (H)=0.3, 1 (T)=0.7 ) è unaltra strategia mista. Ciò significa, player 1 gioca H e T rispettivamente con una probabilità pari a 0.3 e 0.7.

41 Teoria dei giochi - D'orio - I parte40 Strategia mista: esempio Player 1: (3/4, 0, ¼) è una strategia mista. Ciò implica, 1 (T)=3/4, 1 (M)=0 e 1 (B)=1/4. Player 2: (0, 1/3, 2/3) è una strategia mista. Ciò implica, 2 (L)=0, 2 (C)=1/3 e 2 (R)=2/3. Player 2 L (0)C (1/3)R (2/3) Player 1 T (3/4) 0, 23, 31, 1 M (0) 4, 00, 42, 3 B (1/4) 3, 45, 10, 7

42 Teoria dei giochi - D'orio - I parte41 Payoff attesi: 2 giocatori ognuno con due strategie Player 1 gioca una strategia mista (r, 1- r ). Player 2 gioca una strategia mista ( q, 1- q ). Il payoff atteso di Player 1 giocando s 11 è: EU 1 (s 11, (q, 1-q))=q×u 1 (s 11, s 21 )+(1-q)×u 1 (s 11, s 22 ) Il payoff atteso di Player 1 giocando s 12 è: EU 1 (s 12, (q, 1-q))= q×u 1 (s 12, s 21 )+(1-q)×u 1 (s 12, s 22 ) Quindi il payoff atteso di Player 1, data la strategia mista è : v 1 ((r, 1-r), (q, 1-q))=r EU 1 (s 11, (q, 1-q))+(1-r) EU 1 (s 12, (q, 1-q)) Player 2 s 21 ( q )s 22 ( 1- q ) Player 1 s 11 ( r )u 1 (s 11, s 21 ), u 2 (s 11, s 21 )u 1 (s 11, s 22 ), u 2 (s 11, s 22 ) s 12 (1- r ) u 1 (s 12, s 21 ), u 2 (s 12, s 21 )u 1 (s 12, s 22 ), u 2 (s 12, s 22 )

43 Teoria dei giochi - D'orio - I parte42 Payoff attesi: 2 giocatori ognuno con due strategie Player 1 gioca una strategia mista (r, 1- r ). Player 2 gioca una strategia mista ( q, 1- q ). Il payoff atteso di Player 2 giocando s 21 è: EU 2 (s 21, (r, 1-r))=r×u 2 (s 11, s 21 )+(1-r)×u 2 (s 12, s 21 ) Il payoff atteso di Player 2 giocando s 22 è: EU 2 (s 22, (r, 1-r))= r×u 2 (s 11, s 22 )+(1-r)×u 2 (s 12, s 22 ) Quindi il payoff atteso di Player 2, data la strategia mista è : v 2 ((r, 1-r),(q, 1-q))=q EU 2 (s 21, (r, 1-r))+(1-q) EU 2 (s 22, (r, 1-r)) Player 2 s 21 ( q )s 22 ( 1- q ) Player 1 s 11 ( r )u 1 (s 11, s 21 ), u 2 (s 11, s 21 )u 1 (s 11, s 22 ), u 2 (s 11, s 22 ) s 12 (1- r ) u 1 (s 12, s 21 ), u 2 (s 12, s 21 )u 1 (s 12, s 22 ), u 2 (s 12, s 22 )

44 Teoria dei giochi - D'orio - I parte43 Esempio di payoff attesi Player 1: EU 1 (H, (0.3, 0.7)) = 0.3×(-1) + 0.7×1=0.4 EU 1 (T, (0.3, 0.7)) = 0.3× ×(-1)=-0.4 v 1 ((0.4, 0.6), (0.3, 0.7))= (-0.4)=-0.08 Player 2: EU 2 (H, (0.4, 0.6)) = 0.4×1+0.6×(-1) = -0.2 EU 2 (T, (0.4, 0.6)) = 0.4×(-1)+0.6×1 = 0.2 v 2 ((0.4, 0.6), (0.3, 0.7))=0.3×(-0.2)+0.7×0.2=0.08 Player 2 H (0.3)T (0.7) Player 1 H (0.4) -1, 1 1, -1 T (0.6) 1, -1-1, 1

45 Teoria dei giochi - D'orio - I parte44 Esempio di payoff attesi Strategie miste : p 1 =( 3/4, 0, ¼ ); p 2 =( 0, 1/3, 2/3 ). Player 1: EU 1 (T, p 2 )=3 (1/3)+1 (2/3)=5/3, EU 1 (M, p 2 )=0 (1/3)+2 (2/3)=4/3 EU 1 (B, p 2 )=5 (1/3)+0 (2/3)=5/3. v 1 (p 1, p 2 ) = 5/3 Player 2: EU 2 (L, p 1 )=2 (3/4)+4 (1/4)=5/2, EU 2 (C, p 1 )=3 (3/4)+3 (1/4)=5/2, EU 2 (R, p 1 )=1 (3/4)+7 (1/4)=5/2. v 1 (p 1, p 2 ) = 5/2 Player 2 L (0)C (1/3)R (2/3) Player 1 T (3/4) 0, 23, 31, 1 M (0) 4, 00, 42, 3 B (1/4) 3, 45, 10, 7

46 Teoria dei giochi - D'orio - I parte45 Equilibrio in strategie miste Una distribuzione di probabilità per ciascun giocatore Considerando le distribuzioni di probabilità nei payoff dei giocatori esse sono risposte ottime mutuali.

47 Teoria dei giochi - D'orio - I parte46 Equilibrio in strategie miste: 2- giocatori ognuno con 2 strategie pure. Equilibrio di Nash in strategie miste: Una coppia di strategie miste ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) è un equilibrio di Nash se (r*,1-r*) è una risposta ottima a (q*, 1-q*), e (q*, 1-q*) è una risposta ottima a (r*,1-r*). Ciò significa, v 1 ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) v 1 ((r, 1-r), (q*, 1-q*)), per ogni 0 r 1 v 2 ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) v 2 ((r*, 1-r*), (q, 1-q)), per ogni 0 q 1 Player 2 s 21 ( q )s 22 ( 1- q ) Player 1 s 11 ( r )u 1 (s 11, s 21 ), u 2 (s 11, s 21 )u 1 (s 11, s 22 ), u 2 (s 11, s 22 ) s 12 (1- r ) u 1 (s 12, s 21 ), u 2 (s 12, s 21 )u 1 (s 12, s 22 ), u 2 (s 12, s 22 )

48 Teoria dei giochi - D'orio - I parte47 Ricerca dellequilibrio in strategie miste di un gioco a 2 giocatori ognuno dei quali ha 2 strategie Trovate la distribuzione di probabilità che dia una risposta ottima per il giocatore 1 data la strategia mista del giocatore 2 Trovate la distribuzione di probabilità che dia una risposta ottima per il giocatore 2 data la strategia mista del giocatore 1 Utilizzate queste due corrispondenze per determinare lequilibrio di Nash in strategie miste.

49 Teoria dei giochi - D'orio - I parte48 Controllare i dipendenti…. I dipendenti possono lavorare (W) o defilarsi (S) Salario: $100K a meno che colti senza far niente Costo dello sforzo: $50K I manager possono monitorare o no Valore del prodotto del dipendente: $200K Profitto se i dipendenti non lavorano: $0 Costo del monitoraggio: $10K

50 Teoria dei giochi - D'orio - I parte49 La risposta ottima del dipendente B 1 (q): Defilarsi(S) (r=0) se q<0.5 Lavorare (W) (r=1) se q>0.5 Qualsiasi strategia mista (0 r 1) se q=0.5 Controllare i dipendenti… Manager Monitor ( q )Non Monitor (1-q) Dipend. W ( r ) 50, 9050, 100 S (1-r ) 0, , (1-q) Payoff attesi 100r r-100

51 Teoria dei giochi - D'orio - I parte50 La risposta ottima dei manager B 2 (r): Monitor (q=1) if r<0.9 Non Monitor (q=0) if r>0.9 Qualsiasi strategia mista (0 q 1) se r=0.9 Controllare i dipendenti… Manager Monitor ( q )Non Monitor (1-q) Dipend. W ( r ) 50, 9050, 100 S (1-r ) 0, , (1-q) Payoffs attesi 100r r-100

52 Teoria dei giochi - D'orio - I parte51 1 q r Risposta ottima dei dipendenti B 1 (q): S (r=0) se q<0.5 W (r=1) se q>0.5 Qualsiasi strategia mista (0 r 1) se q=0.5 Risposta ottima dei manager B 2 (r): Monitor (q=1) se r<0.9 Non Monitor (q=0) se r>0.9 Qualsiasi strategia mista (0 q 1) se r=0.9 Controllare i dipendenti… 0.9 Equilibrio di Nash in strategie miste ((0.9,0.1),(0.5,0.5))

53 Teoria dei giochi - D'orio - I parte52 2 giocatori ognuno con 2 strategie Teorema 1 (proprietà dellequilibrio di Nash in strategie miste) Una coppia di strategie miste ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) è un equilibrio di Nash se e solo se v 1 ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) EU 1 (s 11, (q*, 1-q*)) v 1 ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) EU 1 (s 12, (q*, 1-q*)) v 2 ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) EU 2 (s 21, (r*, 1-r*)) v 2 ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) EU 2 (s 22, (r*, 1-r*)) Player 2 s 21 ( q )s 22 ( 1- q ) Player 1 s 11 ( r )u 1 (s 11, s 21 ), u 2 (s 11, s 21 )u 1 (s 11, s 22 ), u 2 (s 11, s 22 ) s 12 (1- r ) u 1 (s 12, s 21 ), u 2 (s 12, s 21 )u 1 (s 12, s 22 ), u 2 (s 12, s 22 )

54 Teoria dei giochi - D'orio - I parte53 Riassunto Strategie miste Equilibrio di Nash in strategie miste Prossimo argomento Equilibrio di Nash in strategie miste Utilizzo dellindifferenza per la ricerca del MNE (Equilibrio di Nash in strategie Miste).

55 Teoria dei giochi - D'orio - I parte54 Payoff atteso di Chris giocando Opera: 2q Payoff atteso di Chris giocando Prize Fight: 1-q Risposta ottima di Chris B 1 (q): Prize Fight (r=0) se q<1/3 Opera (r=1) se q>1/3 Qualsiasi strategia mista (0 r 1) se q=1/3 Battaglia dei sessi Pat Opera (q)Prize Fight (1-q) Chris Opera ( r ) 2, 10, 0 Prize Fight (1-r) 0, 01, 2

56 Teoria dei giochi - D'orio - I parte55 Payoff atteso di Pat giocando Opera : r Payoff atteso di Pat giocando Prize Fight: 2(1-r) La risposta ottima di B 2 (r): Prize Fight (q=0) se r<2/3 Opera (q=1) se r>2/3 Qualsiasi strategia mista (0 q 1) se r=2/3, Battaglia dei sessi Pat Opera (q)Prize Fight (1-q) Chris Opera ( r ) 2, 10, 0 Prize Fight (1-r) 0, 01, 2

57 Teoria dei giochi - D'orio - I parte56 1 q r 1 Risposta ottima di Chris B 1 (q): Prize Fight (r=0) se q<1/3 Opera (r=1) if q>1/3 Qualsiasi strategia mista (0 r 1) se q=1/3 Risposta ottima di Pat B 2 (r): Prize Fight (q=0) se r<2/3 Opera (q=1) se r>2/3 Qualsiasi strategia mista (0 q 1) se r=2/3 Battaglia dei sessi 2/3 TRE equilibri di Nash: ((1, 0), (1, 0)) ((0, 1), (0, 1)) ((2/3, 1/3), (1/3, 2/3)) 1/3

58 Teoria dei giochi - D'orio - I parte57 Teorema 1: applicazione Player 1: EU 1 (H, (0.5, 0.5)) = 0.5×(-1) + 0.5×1=0 EU 1 (T, (0.5, 0.5)) = 0.5× ×(-1)=0 v 1 ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5))= =0 Player 2: EU 2 (H, (0.5, 0.5)) = 0.5×1+0.5×(-1) =0 EU 2 (T, (0.5, 0.5)) = 0.5×(-1)+0.5×1 = 0 v 2 ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5))=0.5×0+0.5×0=0 Matching pennies Player 2 H (0.5)T (0.5) Player 1 H (0.5) -1, 1 1, -1 T (0.5) 1, -1-1, 1

59 Teoria dei giochi - D'orio - I parte58 Teorema 1: applicazione Player 1: v 1 ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) EU 1 (H, (0.5, 0.5)) v 1 ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) EU 1 (T, (0.5, 0.5)) Player 2: v 2 ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) EU 2 (H, (0.5, 0.5)) v 2 ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) EU 2 (T, (0.5, 0.5)) Quindi, ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) è un equilibrio di Nash in strategie miste per lenunciato del Teorema 1. Matching pennies Player 2 H (0.5)T (0.5) Player 1 H (0.5) -1, 1 1, -1 T (0.5) 1, -1-1, 1

60 Teoria dei giochi - D'orio - I parte59 Payoff atteso dei dipendenti giocando W (lavoro) EU 1 (W, (0.5, 0.5)) = 0.5× ×50=50 Payoff atteso dei dipendenti giocando S (defilarsi) EU 1 (S, (0.5, 0.5)) = 0.5× ×100=50 Payoff atteso di questa strategia mista per i dipendenti v 1 ((0.9, 0.1), (0.5, 0.5))= =50 Teorema 1: applicazione Controllo dei dipendenti Manager Monitor (0.5)Non Monitor (0.5) Dipend. W (0.9) 50, 9050, 100 S (0.1) 0, , -100

61 Teoria dei giochi - D'orio - I parte60 Payoff atteso dei manager giocando Monitor EU 2 (Monitor, (0.9, 0.1)) = 0.9×90+0.1×(-10) =80 Payoff atteso dei manager giocando Non Monitor EU 2 (Not, (0.9, 0.1)) = 0.9× ×(-100) = 80 Payoff atteso di questa strategia mista per i manager v 2 ((0.9, 0.1), (0.5, 0.5))=0.5×80+0.5×80=80 Teorema 1: applicazione Controllo dei dipendenti Manager Monitor (0.5)Non Monitor (0.5) Dipend. W (0.9) 50, 9050, 100 S (0.1) 0, , -100

62 Teoria dei giochi - D'orio - I parte61 Dipendenti v 1 ((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) EU 1 (W, (0.5, 0.5)) v 1 ((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) EU 1 (S, (0.5, 0.5)) Manager v 2 ((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) EU 2 (Monitor, (0.9, 0.1)) v 2 ((0.9, 0.1), (0.5, 0.5)) EU 2 (Not, (0.9, 0.1)) Quindi, ( (0.9, 0.1), (0.5, 0.5) ) è un equilibrio di Nash in strategie miste per il Teorema 1. Teorema 1: applicazione Controllo dei dipendenti Manager Monitor (0.5)No Monitor (0.5) Dipend. W (0.9) 50, 9050, 100 S (0.1) 0, , -100

63 Teoria dei giochi - D'orio - I parte62 Usate il teorema 1 per controllare se ((2/3, 1/3), (1/3, 2/3)) è un MNE. Teorema 1: applicazione Battaglia dei sessi Pat Opera (1/3)Prize Fight (2/3) Chris Opera (2/3 ) 2, 10, 0 Prize Fight (1/3) 0, 01, 2

64 Teoria dei giochi - D'orio - I parte63 Equilibrio in strategie miste: 2 giocatori ognuno con 2 strategie Teorema 2 Sia ((r*, 1-r*), (q*, 1-q*)) una coppia di strategie miste, dove 0 < r*<1, 0

65 Teoria dei giochi - D'orio - I parte64 Utilizzo dellindifferenza per trovare l Equilibrio in strategie miste: 2 giocatori ognuno con 2 strategie Usate il Teorema 2 per trovare MNE Risolvete EU 1 (s 11, (q*, 1-q*)) = EU 1 (s 12, (q*, 1-q*)) Risolvete EU 2 (s 21, (r*, 1-r*)) = EU 2 (s 22, (r*, 1-r*))

66 Teoria dei giochi - D'orio - I parte65 Utilizzo del Teorema 2 per trovare lMNE: applicazione Il Player 1 è indifferente fra giocare Head e Tail se: EU 1 (H, (q, 1 – q)) = q×(-1) + (1 – q)×1=1 – 2q EU 1 (T, (q, 1 – q)) = q×1 + ×(1 – q) (-1)=2q – 1 EU 1 (H, (q, 1 – q)) = EU 1 (T, (q, 1 – q)) 1 – 2q = 2q – 1 4q = 2 Ciò indica la probabilità q = 1/2 Matching pennies Player 2 H ( q )T ( 1–q ) Player 1 H ( r ) -1, 1 1, -1 T ( 1–r ) 1, -1-1, 1

67 Teoria dei giochi - D'orio - I parte66 Utilizzo del Teorema 2 per trovare lMNE: applicazione Il Player 2 è indifferente fra giocare Head e Tail se: EU 2 (H, (r, 1–r)) = r ×1+(1–r)×(-1) =2r – 1 EU 2 (T, (r, 1–r)) = r×(-1)+(1–r)×1 = 1 – 2r EU 2 (H, (r, 1–r)) = EU 2 (T, (r, 1–r)) 2r – 1= 1 – 2r 4r = 2 Ciò indica la probabilità r = 1/2 Quindi, ((0.5, 0.5), (0.5, 0.5)) è un MNE per lenunciato del Teorema 2. Matching pennies Player 2 H ( q )T ( 1–q ) Player 1 H ( r ) -1, 1 1, -1 T ( 1–r ) 1, -1-1, 1

68 Teoria dei giochi - D'orio - I parte67 Payoff atteso dai dipendenti giocando W (lavoro) EU 1 (Work, (q, 1 – q)) = q×50 + (1 – q)×50=50 Payoff atteso dai dipendenti giocando S (defilarsi) EU 1 (Shirk, (q, 1 – q)) = q×0 + (1 – q)×100=100(1 – q) Il dipendente è indifferente se giocare W o giocare S se: 50=100(1–q) q=1/2 Utilizzo del Teorema 2 per trovare lMNE: applicazione Controllo dei dipendenti Manager Monitor ( q )Non Monitor (1–q ) Dipend. W (r) 50, 9050, 100 S (1–r) 0, , -100

69 Teoria dei giochi - D'orio - I parte68 Payoff atteso dai manager giocandoMonitor EU 2 (Monitor, (r, 1–r)) = r×90+(1–r)×(-10) =100r–10 Payoff atteso dai manager giocandoNon MOnitor EU 2 (Not, (r, 1–r)) = r×100+(1–r)×(-100) =200r–100 Il Manager è indifferente fra giocare Monitor e Non Monitor se 100r–10 =200r–100 e ciò implica che r=0.9. Quindi, ( (0.9, 0.1), (0.5, 0.5) ) è un MNE per l enunciato del Teorema 2. Utilizzo del Teorema 2 per trovare lMNE: applicazione Controllo dei dipendenti Manager Monitor ( q )Non Monitor (1–q ) Dipend. W (r) 50, 9050, 100 S (1–r) 0, , -100

70 Teoria dei giochi - D'orio - I parte69 Usate il Teorema 2 per trovare il MNE Utilizzo del Teorema 2 per trovare lMNE: applicazione Battaglia dei sessi Pat Opera (q)Prize Fight (1-q) Chris Opera ( r ) 2, 10, 0 Prize Fight (1-r) 0, 01, 2

71 Teoria dei giochi - D'orio - I parte70 Usate il Teorema 2 per trovare il MNE Utilizzo del Teorema 2 per trovare lMNE: applicazione Esempio Player 2 L (q)R (1-q) Player 1 T ( r ) 6, 42, 6 B (1-r) 3, 36, 1

72 Teoria dei giochi - D'orio - I parte71 Riassunto Strategie miste MNE Ricerca del MNE con lutilizzo dellindifferenza Prossimo argomento Gioco a due giocatori ognuno con un numero di strategie finite


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