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Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte1 Gioco ripetuto Un gioco ripetuto è un gioco dinamico ad informazione completa nel quale si mette in atto un.

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Presentazione sul tema: "Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte1 Gioco ripetuto Un gioco ripetuto è un gioco dinamico ad informazione completa nel quale si mette in atto un."— Transcript della presentazione:

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2 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte1 Gioco ripetuto Un gioco ripetuto è un gioco dinamico ad informazione completa nel quale si mette in atto un gioco a mosse simultanee almeno due volte, e ciò che succede negli stadi già giocati è osservabile nello stadio in cui si stà giocando. Cercheremo di capire come si comportano i nostro attori in un gioco ripetuto.

3 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte2 Giochi ripetuti a due stadi Il dilemma del prigioniero a due stadi Due giocatori giocano il seguente gioco simultaneo ripetendolo due volte Il risultato di quanto successo nel primo turno viene osservato dai giocatori prima di cominciare il secondo turno Il payoff dellintero gioco è semplicemente la somma dei payoff dei due turni. Vale a dire, il fattore di sconto è 1. Player 2 L2L2 R2R2 Player 1 L1L1 1, 15, 0 R1R1 0, 54, 4

4 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte3 Albero del dilemma del prigioniero ripetuto 2 volte 1 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R

5 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte4 Albero del gioco informale 1 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R (1, 1) (5, 0) (0, 5) (4, 4)

6 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte5 Albero informale e backward induction 1 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R (2, 2) (6, 1) (1, 6) (5, 5)

7 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte6 Dilemma del prigioniero a due stadi LSNE sarà (L 1 L 1 L 1 L 1 L 1, L 2 L 2 L 2 L 2 L 2 ) Il giocatore 1 gioca L 1 al primo turno, e gioca L 1 al secondo turno qualsiasi sia il risultato dello stadio 1. Il giocatore 2 gioca L 2 al primo turno 1, e gioca L 2 al secondo turno qualsiasi sia il risultato dello stadio 1. Player 2 L2L2 R2R2 Player 1 L1L1 1, 15, 0 R1R1 0, 54, 4

8 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte7 Giochi ripetuti in tempo finito Un gioco ripetuto in tempo finito è un gioco dinamico ad informazione completa nel quale un gioco (a mosse simultanee) è giocato un numero finito di volte, e i risultati dei turni già giocati sono osservati prima di passare al turno successivo. Il gioco ripetuto in tempo finito ha un unico SNE se il singolo turno ha un unico NE (cioè il gioco a mosse simultanee). Quellequilibrio di Nash è giocato ad ogni turno (o stadio) del gioco.

9 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte8 Che succede se il singolo turno di gioco ha più di un equilibrio di Nash ? Due giocatori ripetono 2 volte il gioco illustrato in diapositiva Il risultato del primo turno è osservato prima di cominciare il secondo turno I payoff del gioco sono pari alla somma dei payoff dei due turni di gioco cioè il fattore di sconto è unitario. Domanda: possiamo trovare un SNE nel quale vengano giocati M 1, M 2 ? Oppure, idue giocatori possono cooperare in un SNE? Player 2 L2L2 M2M2 R2R2 Player 1 L1L1 1, 15, 00, 0 M1M1 0, 54, 40, 0 R1R1 3, 3

10 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte9 Albero del gioco informale 1 L1L1 R1R1 2 2 L2L2 R2R2 M2M2 L2L2 R2R2 M2M2 L2L2 R2R2 M2M2 2 L1L1 R1R1 2 2 L2L2 R2R2 M2M2 L2L2 R2R2 M2M2 L2L2 R2R2 M2M2 2 M1M1 (1, 1) (5, 0) (0, 5) (4, 4) (0, 0) M1M1 (3, 3) 1 (1, 1) (5, 0) (0, 5) (0, 0) (3, 3) (4, 4)

11 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte10 Albero del gioco informale e backward induction 1 L1L1 R1R1 2 2 L2L2 R2R2 M2M2 L2L2 R2R2 M2M2 L2L2 R2R2 M2M2 2 L1L1 R1R1 2 2 L2L2 R2R2 M2M2 L2L2 R2R2 M2M2 L2L2 R2R2 M2M2 2 M1M1 (1, 1) (5, 0) (0, 5) (4, 4) (0, 0) M1M1 (3, 3) 1 (1, 1) (5, 0) (0, 5) (0, 0) (3, 3) (4, 4) (1, 1) (3, 3) (1, 1) +

12 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte11 Gioco ripetuto a due stadi: Player 2 L2L2 M2M2 R2R2 Player 1 L1L1 1, 15, 00, 0 M1M1 0, 54, 40, 0 R1R1 3, 3 SNE: Il giocatore 1 gioca M 1 allo stadio 1, e allo stadio 2, gioca R 1 se il risultato del primo turno è ( L 1, L 2 ), oppure L 1 se il risultato del primo turno non è ( L 1, L 2 ) Il giocatore 2 gioca M 2 allo stadio 1, e allo stadio 2, gioca R 2 se il risultato del primo turno è ( L 1, L 2 ), oppure gioca L 2 se il risultato del primo turno non è ( L 1, L 2 )

13 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte12 Gioco ripetuto a due stadi Player 2 L2L2 M2M2 R2R2 Player 1 L1L1 2, 26, 11, 1 M1M1 1, 67, 71, 1 R1R1 4, 4 SNE: Allo stadio 1, il giocatore 1 gioca M 1, e il giocatore 2 gioca M 2. Allo stadio 2, Il giocatore 1 gioca R 1 se il risultato del primo stadio è ( M 1, M 2 ), oppure gioca L 1 se il risultato del primo stadio non è ( M 1, M 2 ) Il giocatore 2 gioca R 2 se il risultato del primo stadio è ( M 1, M 2 ), oppure gioca L 2 se il risultato del primo stadio non è ( M 1, M 2 ) I payoff del secondo stadio sono aggiunti a quello del primo.

14 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte13 Giochi ripetuti allinfinito Un gioco ripetuto allinfinito è un gioco dinamico ad informazione completa nel quale un gioco (a mosse simultanee) chiamato il gioco di turno viene giocato allinfinito, e i risultati di tutti gli stadi precedente vengono osservati prima di giocare lo stadio di riferimento. Precisamente, il gioco a mosse simultanee viene giocato negli stadi 1, 2, 3,..., t-1, t, t+1,..... I risultati di tutti gli t-1 stages precedenti vengono osservati prima di giocare lo stadio t esimo. Ogni giocatore attualizza il proprio payoff di un fattore, dove 0< < 1. Il payoff di un giocatore in un gioco ripetuto è il valore attuale della somma dei payoff di tutti gli stadi del gioco.

15 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte14 Valore attuale

16 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte15 Giochi ripetuti allinfinito: esempio Il gioco seguente viene ripetuto allinfinito I risultati precedenti allo stadio da giocare sono osservabili Il payoff di ogni giocatore è il valore attuale del payoff del singolo stadio in una serie infinita. Domanda: quale è il SNE? Player 2 L2L2 R2R2 Player 1 L1L1 1, 15, 0 R1R1 0, 54, 4

17 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte16 Esempio: sottogioco Ogni sottogioco di un gioco ripetuto allinfinito è identico al gioco preso per intero. 1 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 (1, 1) (5, 0) (0, 5) (4, 4)

18 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte17 Esempio: strategia Una strategia per un giocatore deve essere un piano completo. Può dipendere dalla storia del gioco (cioè da cosa è stato giocato nei vari stadi). Una strategia per il giocatore i : gioca L i ad ogni stadio (o ad ognuno dei suoi insiemi informativi) Unaltra strategia chiamata trigger strategy (o strategia di ritorsione o di minaccia) per il giocatore i : gioca R i allo stadio 1, e al t esimo stadio, se il risultato di ognuno degli t-1 stadi precedenti è stato ( R 1, R 2 ); altrimenti, gioca L i.

19 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte18 Esempio: SNE perfetto Controllate se esiste un SNE perfetto nel quale il giocatore i gioca L i ad ogni stadio (o ad ognuno dei suoi insiemi informativi). Questo può essere fatto seguendo i due passaggi di seguito elencati:. Passo 1: controllare se la combinazione delle strategie è un NE del gioco ripetuto allinfinito. Se player 1 gioca L 1 ad ogni stadio, la risposta ottima per player 2 è giocare L 2 ad ogni stadio. Se player 2 gioca L 2 ad ogni stadio, la risposta ottima per player 1 è di giocare L 1 ad ogni stadio. Quindi, è un NE del gioco ripetuto allinfinito.

20 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte19 Esempio: SNE perfetto Passo 2: controllate che lNE del gioco ripetuto allinfinito induca un NE in ogni sottogioco del gioco ripetuto allinfinito. Ricordate che ogni sottogioco del gioco ripetuto allinfinito è identico al gioco ripetuto allinfinito Ovviamente, indurrà quindi un NE in ogni sottogioco Quindi, potremo parlare di SNE perfetto.

21 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte20 Esempio: sottogioco 1 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R (1, 1) (5, 0) (0, 5) (4, 4) Allinfinito

22 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte21 StrategieTrigger (di ritorsione o minaccia) La strategia trigger per il giocatore i : gioca R i allo stadio 1, e allo stadio t esimo, se il risultato di tutti i t-1 stadi precedenti è ( R 1, R 2 ) allora gioca R i ; altrimenti gioca L i. Controllate se cè un SNE perfetto nel quale ogni giocatore gioca la sua strategia di ritorsione. Ciò può essere fatto in due passi: Passo 1: controllate se le trigger strategy sono un NE nel gioco ripetuto allinfinito Passo 2: se si, controllate che lNE induca un NE in ogni sottogioco

23 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte22 Trigger strategy: passo 1 Stadio 1: (R 1, R 2 ) Stadio 2: (R 1, R 2 ) Stadio t-1: (R 1, R 2 ) Stadio t: (R 1, L 2 ) Stadio t+1: (L 1, L 2 ) Stadio t+2: (L 1, L 2 )

24 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte23 Trigger strategy: passo 1 Stadio 1: (R 1, R 2 ) Stadio 2: (R 1, R 2 ) Stadio t-1: (R 1, R 2 ) Stadio t: (R 1, L 2 ) Stadio t+1: (L 1, L 2 ) Stadio t+2: (L 1, L 2 )

25 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte24 Trigger strategy: passo 2 Passo 2: controllare se il NE induce un NE in ogni sottogioco del gioco ripetuto allinfinito. Vi ricordo che ogni sottogioco del gioco ripetuto allinfinito è identico al gioco ripetuto allinfinito completo. Stadio 1: (R 1, R 2 ) Stadio 2: (R 1, R 2 ) Stadio t-1: (R 1, R 2 ) Stadio t: (R 1, R 2 ) Stadio t+1: (R 1, R 2 ) Stadio t+2: (R 1, R 2 )

26 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte25 Passo 2: sottogioco 1 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R2 L1L1 R1R1 2 L2L2 R2R2 2 L2L2 R2R (1, 1) (5, 0) (0, 5) (4, 4) Allinfinito

27 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte26 Trigger strategy: continuazione passo 2 Noi abbiamo due classi di sottogiochi: Sottogiochi che seguono una storia nella quale il risultato degli stadi precedenti sono tutti (R 1, R 2 ) Sottogiochi che seguono una storia nella quale il risultato degli stadi precedenti NON sono tutti (R 1, R 2 ) Lequilibrio di Nash del gioco ripetuto allinfinito induce un NE nel quale ogni giocatore continua a giocare la sua trigger strategy per la prima classe di sottogiochi Lequilibrio di Nash del gioco ripetuto allinfinito induce un NE nel quale si gioca (L 1, L 2 ) per sempre per la seconda classe di sottogiochi.

28 Teoria dei giochi - D'Orio - seconda parte27 Riassunto Giochi ripetuti nel tempo finito Giochi ripetuti allinfinito Prossimo argomento Giochi ripetuti allinfinito Giochi statici ad informazione incompleta


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