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1 Monica Bianchini Dipartimento di Ingegneria dellInformazione La rappresentazione dei dati e laritmetica degli elaboratori.

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1 1 Monica Bianchini Dipartimento di Ingegneria dellInformazione La rappresentazione dei dati e laritmetica degli elaboratori ENIAC (1946 ca.) ENIAC Electronical Numerical Integrator And Calculator Il primo calcolatore elettronico, lENIAC Electronical Numerical Integrator And Calculator nacque per esigenze belliche (per il calcolo di tavole balistiche). Venne commissionato dal Dipartimento di Guerra degli Stati Uniti allUniversità della Pennsylvania, ed il suo prototipo fu realizzato alla fine della seconda guerra mondiale, nel LENIAC, per la cui costruzione furono usate valvole termoioniche, occupava una stanza lunga più di 30 metri e dissipava una quantità enorme di energia elettrica. Limpiego di componenti elettroniche, tuttavia, lo rendeva capace di eseguire 300 moltiplicazioni al secondo, molte più dei precedenti calcolatori elettromeccanici. ENIAC Electronical Numerical Integrator And Calculator Il primo calcolatore elettronico, lENIAC Electronical Numerical Integrator And Calculator nacque per esigenze belliche (per il calcolo di tavole balistiche). Venne commissionato dal Dipartimento di Guerra degli Stati Uniti allUniversità della Pennsylvania, ed il suo prototipo fu realizzato alla fine della seconda guerra mondiale, nel LENIAC, per la cui costruzione furono usate valvole termoioniche, occupava una stanza lunga più di 30 metri e dissipava una quantità enorme di energia elettrica. Limpiego di componenti elettroniche, tuttavia, lo rendeva capace di eseguire 300 moltiplicazioni al secondo, molte più dei precedenti calcolatori elettromeccanici.

2 2 Introduzione il calcolo automatico dalla preistoria ai giorni nostri Lalgebra di Boole da Analisi Matematica della Logica (1847) al progetto degli elaboratori digitali Sistemi di numerazione da decimale a binario, a esadecimale: lalfabeto dellelaboratore La rappresentazione dei datie laritmetica degli elaboratori La rappresentazione dei dati e laritmetica degli elaboratori dai bit ai numeri, ai testi, alle immagini, alla musica, ai video in digitale Sommario UNIVAC (1951) UNIVAC Il primo calcolatore concepito ed impostato come prodotto commerciale, fu realizzato da Eckert e Mauchly (gli stessi costruttori dellENIAC) per lUfficio Centrale di Statistica degli Stati Uniti. Lalgebra di Boole truefalse Fu teorizzata dal matematico inglese George Boole ( ) nel lavoro Analisi Matematica della Logica, pubblicato nel Include un insieme di operazioni su variabili logiche (o variabili booleane), che possono assumere i due soli valori true e false, indicati da 1 e 0. Le tecniche sviluppate nellalgebra booleana possono essere applicate allanalisi ed alla progettazione dei circuiti elettronici, poiché essi sono realizzati con dispositivi che possono assumere solo due stati. tabella di verità Su insiemi di costanti e variabili logiche possono essere definite funzioni che hanno esse stesse la caratteristica di assumere due soli valori. La definizione di una funzione booleana può essere effettuata per mezzo di una tabella di verità, che indica il valore della funzione in corrispondenza di ogni possibile configurazione dei valori degli argomenti. Le funzioni booleane possono essere scritte e manipolate anche con metodi algebrici, dato un insieme di funzioni (o operazioni) elementari tramite le quali poter esprimere ogni altra funzione. UNIVAC Il primo calcolatore concepito ed impostato come prodotto commerciale, fu realizzato da Eckert e Mauchly (gli stessi costruttori dellENIAC) per lUfficio Centrale di Statistica degli Stati Uniti. Lalgebra di Boole truefalse Fu teorizzata dal matematico inglese George Boole ( ) nel lavoro Analisi Matematica della Logica, pubblicato nel Include un insieme di operazioni su variabili logiche (o variabili booleane), che possono assumere i due soli valori true e false, indicati da 1 e 0. Le tecniche sviluppate nellalgebra booleana possono essere applicate allanalisi ed alla progettazione dei circuiti elettronici, poiché essi sono realizzati con dispositivi che possono assumere solo due stati. tabella di verità Su insiemi di costanti e variabili logiche possono essere definite funzioni che hanno esse stesse la caratteristica di assumere due soli valori. La definizione di una funzione booleana può essere effettuata per mezzo di una tabella di verità, che indica il valore della funzione in corrispondenza di ogni possibile configurazione dei valori degli argomenti. Le funzioni booleane possono essere scritte e manipolate anche con metodi algebrici, dato un insieme di funzioni (o operazioni) elementari tramite le quali poter esprimere ogni altra funzione.

3 3 Introduzione

4 4 Cenni storici 1 Anche se la presenza invasiva dellinformatica nella vita di tutti i giorni è un fenomeno relativamente recente, non recente è la necessità di avere a disposizione strumenti e metodi per contare rapidamente, elaborare dati, calcolare Le prime testimonianze di strumenti per contare risalgono a anni fa I primi esempi di algoritmi procedure di calcolo automatico sono stati ritrovati in Mesopotamia su tavolette babilonesi risalenti al a.C. Il sogno di costruire macchine capaci di effettuare calcoli automatici affonda le radici nel pensiero filosofico del 600: Pascal e Leibniz non solo affrontarono il problema, già studiato da Cartesio, di automatizzare il ragionamento logico matematico, ma si cimentarono nella realizzazione di semplici macchine per calcolare (capaci di effettuare somme e sottrazioni)

5 5 Cenni storici 2 macchina alle differenze La macchina alle differenze, concepita da Babbage nel 1833, rappresenta il primo esempio di macchina programmabile di utilità generale La prima programmatrice nella storia dellinformatica è Ada Augusta Byron, contessa di Lovelace macchina analitica In seguito, lo stesso Babbage progetta la macchina analitica (mai realizzata, troppo complessa e critica la sua costruzione per le tecnologie meccaniche dellepoca)

6 6 Cenni storici 3 macchina a schede perforate Fu Herman Hollerith, nel 1890, a sviluppare la macchina a schede perforate, per compiere le statistiche del censimento decennale degli Stati Uniti I dati venivano immessi su schede di cartone opportunamente perforate, le stesse schede che sono state usate fino a due decenni or sono Le schede venivano successivamente contate da una sorta di pantografo che permetteva diversi tipi di elaborazioni (totali, medie, statistiche, etc.) Si impiegarono due anni e mezzo ad analizzare i dati (contro i sette anni del censimento del 1880), nonostante lincremento di popolazione da 50 a 63 milioni

7 7 Cenni storici 4 Computing Tabulating Recording Company International Business MachineIBM Successivamente la macchina a schede perforate venne utilizzata con successo per i censimenti in Austria, Norvegia e Russia, tanto che Hollerith decise di fondare una società: la Computing Tabulating Recording Company che, nel 1923, divenne lInternational Business Machine, o IBM Nel 1932, il tedesco Konrad Zuse realizza una macchina elettromeccanica in grado di eseguire calcoli con controllo programmato, ed introduce il sistema di numerazione binario (la cui algebra era stata definita da Leibniz e da Boole)

8 8 Cenni storici 5 Durante la seconda guerra mondiale, fioriscono i progetti di elaboratori da utilizzarsi per scopi bellici Enigma Enigma, realizzata dai tedeschi per codificare le comunicazioni militari Red Purple Red Purple, di costruzione giapponese Computer Colossus Alan Turing Computer Colossus, costruito dagli inglesi per la decifrazione dei messaggi tedeschi, alla cui progettazione e realizzazione collaborò Alan Turing, permise la vittoria anglo americana sullAtlantico La macchina Enigma

9 9 Cenni storici 6 tubo a vuototransistor circuiti integrati Con linvenzione del tubo a vuoto (1904), del transistor (1947) e, infine, dei circuiti integrati (1969), levoluzione dei computer divenne inarrestabile Attualmente la potenza di calcolo degli elaboratori decuplica ogni 5 6 anni (ma non può durare… la tecnologia attuale ha ormai pressoché raggiunto i suoi limiti)

10 10 Cenni storici 7 ENIAC Mark I La costruzione dei primi calcolatori risale allinizio degli anni 40, grazie alla tecnologia elettronica; i primi esemplari venivano programmati mediante connessioni elettriche e commutatori (ENIAC, Mark I) EDSACWhirlwindIASUNIVAC Il nome di Von Neumann è legato invece ai primi calcolatori a programma memorizzato realizzati alla fine degli anni 40 (EDSAC, Whirlwind, IAS, UNIVAC) unitarietà di rappresentazione di dati e istruzioni Per la prima volta, vige il principio di unitarietà di rappresentazione di dati e istruzioni, che vengono rappresentati, allinterno dellelaboratore, in maniera indistinguibile La diffusione dei calcolatori a livello mondiale è avvenuta negli anni 60 e 70

11 11 Cenni storici 8 EDSAC (1949) ENIAC (1946) Mark I (1948) UNIVAC (1952) Whirlwind (1949) IAS (1952)

12 12 Cenni storici 9 Personal Computer Tuttavia, lesplosione dellinformatica come fenomeno di massa è datata 1981, anno in cui lIBM introdusse un tipo particolare di elaboratore: il Personal Computer (PC) La particolarità dei PC consisteva nellessere assemblati con componenti facilmente reperibili sul mercato (e quindi a basso costo) Possibilità per qualsiasi casa produttrice di costruire cloni microprocessore Attualmente i PC, o meglio il loro componente fondamentale il microprocessore è utilizzato in tutti i settori applicativi (non solo per elaborare dati): Telefoni cellulari Ricevitori satellitari digitali Bancomat e carte di credito Lavatrici e forni a microonde...

13 13 Cenni storici 10 Lesigenza di realizzare sistemi di elaborazione dotati di più processori operanti in parallelo è stata sentita fin dalla preistoria dellinformatica In una relazione dello scienziato, generale e uomo politico italiano Menabrea, datata 1842, sulla macchina analitica di Babbage, si fa riferimento alla possibilità di usare più macchine dello stesso tipo in parallelo, per accelerare calcoli lunghi e ripetitivi CDC6600IlliacCray Solo la riduzione dei costi dellhardware ha consentito, verso la fine degli anni 60, leffettiva costruzione dei primi supercalcolatori, come le macchine CDC6600 e Illiac e, successivamente, il Cray e le macchine vettoriali reti neurali Recentemente, gli ulteriori sviluppi della microelettronica hanno permesso la realizzazione di calcolatori a parallelismo massiccio e a grana fine, caratterizzati dallinterconnessione di decine di migliaia di unità di elaborazione estremamente elementari: le reti neurali, capaci di simulare il comportamento del cervello umano, sulla base degli studi di McCulloch e Pitts (1943)

14 14 Cenni storici 11 CDC 6600 (1963) Illiac (1955) PC IBM (1981) Portatile e Palmare (oggi) Cray 1 (1976) Cray X1 (2002)

15 15 Frasi celebri ed altro… Penso che ci sia mercato nel mondo per non più di cinque computer. (Thomas Watson, Presidente di IBM, 1943) Ho girato avanti e indietro questa nazione (USA) e ho parlato con la gente. Vi assicuro che questa moda dellelaborazione automatica non vedrà lanno prossimo. (Editor di libri scientifici di Prentice Hall, 1947) Nel futuro i computer verranno a pesare non più di una tonnellata e mezzo. (Popular Mechanichs, 1949) New York TimesLa scienza nel ventesimo secolo Nel 1976, il New York Times pubblicò un libro dal titolo La scienza nel ventesimo secolo, nel quale il calcolatore veniva menzionato una sola volta e indirettamente, in relazione al calcolo delle orbite dei pianeti Non cè ragione perché qualcuno possa volere un computer a casa sua. (Ken Olson, fondatore di Digital, 1977)

16 16 Che cosè linformatica 1 Informatica informazione automatica Informatica fusione delle parole informazione e automatica linsieme delle discipline che studiano gli strumenti per lelaborazione automatica dellinformazione e i metodi per un loro uso corretto ed efficace Linformatica è la scienza della rappresentazione e dellelaborazione dellinformazione Laccento sull informazione fornisce una spiegazione del perché linformatica stia rapidamente diventando parte integrante di tutte le attività umane: laddove deve essere gestita dellinformazione, linformatica è un valido strumento di supporto Il termine scienza sottolinea il fatto che, nellinformatica, lelaborazione dellinformazione avviene in maniera sistematica e rigorosa, e pertanto può essere automatizzata

17 17 Che cosè linformatica 2 Linformatica non è, quindi, la scienza e la tecnologia dei calcolatori elettronici: il calcolatore è lo strumento che la rende operativa elaboratore digitaleelettronicaautomatica Lelaboratore (computer, calcolatore) è unapparecchiatura digitale, elettronica ed automatica capace di effettuare trasformazioni sui dati: Digitale digit Digitale: i dati sono rappresentati mediante un alfabeto finito, costituito da cifre (digit), che ne permette il trattamento mediante regole matematiche Elettronica Elettronica: realizzazione tramite tecnologie di tipo elettronico Automatica Automatica: capacità di eseguire una successione di operazioni senza interventi esterni La disumanità del computer sta nel fatto che, una volta programmato e messo in funzione, si comporta in maniera perfettamente onesta. (Isaac Asimov)

18 18 Larchitettura alla Von Neumann memoria La capacità dellelaboratore di eseguire successioni di operazioni in modo automatico è determinata dalla presenza di un dispositivo di memoria dati Nella memoria sono registrati i dati e... programma...la descrizione delle operazioni da eseguire su di essi (nellordine secondo cui devono essere eseguite): il programma, la ricetta usata dallelaboratore per svolgere il suo compito unità di controllo Il programma viene interpretato dallunità di controllo Modello diVon Neumann Modello di Von Neumann

19 19 La macchina universale Programma Programma: sequenza di operazioni atte a predisporre lelaboratore alla soluzione di una determinata classe di problemi algoritmo Il programma è la descrizione di un algoritmo in una forma comprensibile allelaboratore Algoritmo Algoritmo: sequenza finita di istruzioni attraverso le quali un operatore umano è capace di risolvere ogni problema di una data classe; non è direttamente eseguibile dallelaboratore macchina universale Lelaboratore è una macchina universale: cambiando il programma residente in memoria, è in grado di risolvere problemi di natura diversa (una classe di problemi per ogni programma)

20 20 Ancora sullinformatica... Linformatica è lo studio sistematico degli algoritmi che descrivono e trasformano linformazione: la loro teoria, analisi, progetto, efficienza, realizzazione (ACM Association for Computing Machinery) Nota Nota: È possibile svolgere unattività concettualmente di tipo informatico senza lausilio del calcolatore, per esempio nel progettare ed applicare regole precise per svolgere operazioni aritmetiche con carta e penna; lelaboratore, tuttavia, è uno strumento di calcolo potente, che permette la gestione di quantità di informazioni altrimenti intrattabili

21 21 Lalgebra di Boole

22 22 Algebra Booleana 01falsovero Contempla due costanti 0 e 1 (falso e vero) Corrispondono a due stati che si escludono a vicenda Possono descrivere lo stato di apertura o chiusura di un generico contatto o di un circuito a più contatti ANDORNOT Si definiscono delle operazioni fra i valori booleani: AND, OR, NOT sono gli operatori fondamentali 01 Le operazioni AND e OR sono operazioni binarie, loperazione NOT è unaria. Nella valutazione delle espressioni booleane esiste una relazione di precedenza fra gli operatori NOT, AND e OR, nellordine in cui sono stati elencati; le parentesi vengono utilizzate nel modo consueto.

23 23 Loperazione di OR somma logica Si definisce loperazione di somma logica (OR): il valore della somma logica è il simbolo 1 se il valore di almeno uno degli operandi è il simbolo

24 24 Loperazione di AND prodotto logico Si definisce loperazione di prodotto logico (AND): il valore del prodotto logico è il simbolo 1 se il valore di tutti gli operandi è il simbolo

25 25 La negazione NOT negazione Si definisce loperatore di negazione (NOT): loperatore inverte il valore della costante su cui opera Dalla definizione…

26 26 Variabili binarie Una variabile binaria indipendente può assumere uno dei due valori 0 e 1 Date n variabili binarie indipendenti, la loro somma logica (OR) è x 0 1 x 1 + x 2 + … + x n 1 se almeno una x i vale 1 0 se x 1 x 2 … x n 0

27 27 Date n variabili binarie indipendenti, il loro prodotto logico (AND) è La negazione di una variabile x è AND e NOT con variabili binarie x 1 x 2 … x n 0 se almeno una x i vale 0 1 se x 1 x 2 … x n 1 x 0 se x 1 x 1 se x 0 complemento elemento neutro Lelemento x = NOT( x ) viene detto complemento di x. Il complemento è unico. 0 è lelemento neutro per loperazione di OR; 1 è lelemento neutro per lAND. Gli elementi neutri sono unici.

28 28 Si verificano le uguaglianze Ad esempio… Alcune identità x x + 0 x x + x x x 1 x x 0 0 x x x x 1 x x 0 x 1 OK! Legge dellidempotenza Legge dellidempotenza

29 29 Per gli operatori AND e OR valgono le seguenti proprietà: Per loperatore NOT si provano le seguenti identità: Altre proprietà commutativa commutativa x 1 + x 2 x 2 + x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 associativa associativa x 1 + x 2 + x 3 x 1 + ( x 2 + x 3 ) x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 2 x 3 ) distributiva delprodotto rispetto alla somma distributiva del prodotto rispetto alla somma x 1 x 2 + x 1 x 3 x 1 ( x 2 + x 3 ) x + x 1 x x 0 x x

30 30 Date n variabili binarie indipendenti x 1, x 2, …, x n, queste possono assumere 2 n configurazioni distinte Una configurazione specifica è individuata univocamente da un AND (a valore 1) di tutte le variabili, dove quelle corrispondenti ai valori 0 compaiono negate Configurazioni delle variabili Ad esempio per n =3 si hanno 8 configurazioni x1x2x3x1x2x x1x2x3x1x2x3 010

31 31 Una variabile y è una funzione delle n variabili indipendenti x 1, x 2, …, x n, se esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2 n configurazioni delle x i un valore di y tabella di verità Una rappresentazione esplicita di una funzione è la tabella di verità, in cui si elencano tutte le possibili combinazioni di x 1, x 2, …, x n, con associato il valore di y Funzioni logiche y = F(x 1,x 2,…,x n ) x 1 x 2 y y = x 1 +x 2

32 32 Una tabella di verità Date tre variabili booleane ( A,B,C ), si scriva la funzione F che vale 1 quando solo due di esse hanno valore 1 A B C F Si può scrivere la funzione come somma logica delle configurazioni corrispondenti agli 1 F(A,B,C) ABC ABC ABC Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND) Forma canonica: somma di prodotti (OR di AND) tutte le funzioni logiche si possono scrivere in questa forma

33 33 Un esempio: lo XOR La funzione XOR verifica la disuguaglianza di due variabili Lespressione come somma di prodotti è quindi... x 1 x 2 XOR XOR = x 1 x 2 + x 1 x 2ESEMPI legge dellassorbimento 1)La legge dellassorbimento x 1 + x 1 · x 2 = x 1 leggi di De Morgan 2)Le leggi di De Morgan (x 1 + x 2 ) = x 1· x 2 ( x 1 · x 2 ) = x 1+ x 2 ( un modo alternativo per indicare la negazione). Dalle leggi di De Morgan si evince che la scelta delle funzioni OR, AND e NOT, come funzioni primitive, è ridondante. Loperazione logica AND può essere espressa in funzione delle operazioni OR e NOT; in modo analogo, loperazione OR può essere espressa tramite AND e NOT. 3)Le relazioni stabilite sono generalmente applicate nelle trasformazioni di funzioni booleane in altre equivalenti, ma di più facile realizzazione circuitale.ESEMPI legge dellassorbimento 1)La legge dellassorbimento x 1 + x 1 · x 2 = x 1 leggi di De Morgan 2)Le leggi di De Morgan (x 1 + x 2 ) = x 1· x 2 ( x 1 · x 2 ) = x 1+ x 2 ( un modo alternativo per indicare la negazione). Dalle leggi di De Morgan si evince che la scelta delle funzioni OR, AND e NOT, come funzioni primitive, è ridondante. Loperazione logica AND può essere espressa in funzione delle operazioni OR e NOT; in modo analogo, loperazione OR può essere espressa tramite AND e NOT. 3)Le relazioni stabilite sono generalmente applicate nelle trasformazioni di funzioni booleane in altre equivalenti, ma di più facile realizzazione circuitale.

34 34 Un circuito con due interruttori I due interruttori corrispondono a due variabili ( A,B ) a valori booleani le variabili assumono i due valori 0 e 1 che corrispondono alle due posizioni dellinterruttore L A B A B A B A B A=1 B=0 L A B A B A=1 B=1 L A B A B A=0 B=1 L A B A B A=0 B=0 L

35 35 Un esercizio Progettare un circuito per accendere e spegnere una lampada da uno qualsiasi di tre interruttori indipendenti A B C A BC Cambia lo stato di un interruttore qualsiasi L = 0 L = 1

36 36 Analisi delle combinazioni Si considera cosa accade a partire dalla configurazione di partenza, cambiando lo stato di un interruttore per volta A BC 000 L = 0 L = 1 ABC 0 10 A BC 001 ABC 1 00 L = 0 ABC 101 A BC 111 L = ABC L = ABC

37 37 Scrittura della funzione logica tabella di verità Dalle otto combinazioni si ottiene la tabella di verità della funzione logica somma logica di prodotti logici Si può scrivere la funzione L come somma logica di prodotti logici A B C L L A B C A B C A B C A B C

38 38 Come collegare gli interruttori Si può manipolare lespressione di L usando la proprietà distributiva dellAND rispetto allOR L A (B C B C) A (B C B C) L A B C A B C A B C A B C A A B B C C C C B B A A B B C C C C B B

39 39 Esercizi Esercizio 1 Siano a 2, a 1, b 2, b 1 i bit che rappresentano due numeri interi positivi (A a 2 a 1 e B b 2 b 1 ). Sia r una variabile booleana che vale 1 se e solo A è maggiore di B (A B). Ad esempio, quando A 11 e B 10, allora a 2 1, a 1 1, b 2 1, b 1 0 e r 1. Si scriva la forma canonica che definisce r come funzione di a 2, a 1, b 2, b 1. Esercizio 2 Esercizio 2 I signori A, B, C e D fanno parte di un consiglio di amministrazione. Sapendo che hanno a disposizione le seguenti quote di possesso azionario A 40%, B 25%, C 20%, D 15%, formalizzare tramite tabella di verità (con successiva estrazione della forma canonica) la funzione booleana che decide quando il consiglio di amministrazione è in grado di approvare una mozione.

40 40 Esercizi (continua) Esercizio 3 Il direttore di una squadra di calcio vuol comprare 4 giocatori dal costo di 2, 5, 6 e 8 milioni di euro, ma ha a disposizione solo 8 milioni. Siano a 2, a 5, a 6, a 8 variabili booleane che valgono 1 se e solo se si acquistano, rispettivamente, i giocatori da 2, 5, 6, 8 milioni. Sia r una variabile che è vera se e solo se linsieme di giocatori che si decide di comprare costa meno della cifra disponibile. Ad esempio, se a 2 1, a 5 1, a 6 0, a 8 0, allora r 1. Si scriva la forma canonica che definisce r come funzione delle variabili a 2, a 5, a 6, a 8.

41 41 Sistemi di numerazione

42 42 Ancora un po di preistoria… I primi esempi di utilizzo di sistemi di numerazione risalgono al neolitico, ovvero a circa anni fa In epoca preistorica, le più utilizzate furono le basi 2, 5, 10, 20, 12, e 60 Mentre le basi 2, 5 10 e 20 sono suggerite dalla fisiologia umana, 12 e 60 sembrano suggerite da scopi utilitaristici: 12 è divisibile per 1, 2, 3, 4, 6 e 12 mentre 60 per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 15, 20, 30 e 60 Da notare che il 7 non compare mai nelle basi di numerazione e, in effetti, ebbe significati particolari, anche religiosi, presso i popoli antichi La base 12 è ancora utilizzata in certe misure di tempo, 60 nella misurazione di angoli e tempo

43 43 …E di storia Tra le prime testimonianze certe dellutilizzo di concetti numerici avanzati vi sono le tavole numeriche babilonesi, elenchi di numeri utilizzati per calcoli astronomici e di agrimensura, risalenti al X secolo a.C. Tuttavia nelle culture dellantica Mesopotamia esistevano tabelle per le addizioni e le sottrazioni già durante il regno di Sargon I, intorno al 2350 a.C. Il documento più significativo dellantico Egitto è il papiro di Ahmes o Ahmose, dal nome dello scriba che lo compose nel 1650 a.C. Lo stesso Ahmes sostiene inoltre che il suo materiale è tratto da un documento anteriore, e fa risalire loriginale ad Imhotep, medico e architetto del faraone Djoser della III dinastia, e quindi al 2650 a.C. circa

44 44 I numeri nellantico Egitto 1 La matematica egizia utilizzava la base 10, ed impiegava simboli diversi per rappresentare le diverse potenze del 10, da 1 a 10 6 I geroglifici utilizzati erano: Rotolo di fune Uomo a braccia levate, simbolo del dio Heh Bastoncino Girino o rana Dito Pastoia per bestiame o giogo Ninfea o fiore di loto

45 45 I numeri nellantico Egitto 2 I numeri venivano formati raggruppando i simboli, generalmente posti in ordine dal più piccolo al più grande, da sinistra a destra Il sistema di numerazione non è, tuttavia, posizionale Lordine dei simboli che rappresentano le potenze del 10 può essere alterato senza cambiare il valore della quantità rappresentata Lordine è una sorta di convenzione linguistica, senza significato matematico

46 46 I numeri nellantico Egitto 3 =

47 47 I numeri nellantico Egitto 4 Esempi di operazioni Addizione Addizione: si effettua sommando i simboli uguali e, qualora si superi il valore 10, sostituendo i dieci simboli con il simbolo opportuno (quello subito superiore nella gerarchia) Moltiplicazione Moltiplicazione: utilizza un sistema che sottindende la base due si scompone il moltiplicatore in potenze di 2, poi si raddoppia il moltiplicando tante volte quante necessario, e infine si esegue la somma

48 48 I numeri nellantico Egitto 5 Esempio Esempio: =91

49 49 I numeri in Mesopotamia 1 Sumeri Appartengono alla civiltà dei Sumeri varie tavolette che contengono i più antichi segni numerali usati dalluomo e risalgono al a.C. I simboli fondamentali usati nella numerazione sumera corrispondono ai numeri 1, 10, 60, 600, 3600, La numerazione è additiva, cioè i numeri si scrivono disponendo uno accanto allaltro i simboli fondamentali

50 50 I numeri in Mesopotamia 2 Un ruolo speciale spetta ai numeri 10 e 60: caratteristica ereditata dal sistema babilonese Babilonesi I Babilonesi usavano infatti la scrittura cuneiforme, con due simboli fondamentali, un cuneo verticale per le unità e una parentesi uncinata per le decine: si rappresentavano i numeri da 1 a 59 Per i numeri successivi, si ha la prima testimonianza delluso di una notazione posizionale Non si introducevano infatti altri simboli, ma si affiancavano gruppi di cunei per indicare le successive potenze del 60 Si tratta dunque di un sistema di numerazione posizionale in base 60

51 51 I numeri in Mesopotamia 3

52 52 I numeri in Mesopotamia 4 Ad esempio: Il sistema di spaziatura consentiva di risolvere le ambiguità di interpretazione dei raggruppamenti Ai tempi di Alessandro Magno era però invalso anche luso di un simbolo (due cunei obliqui) per indicare un posto vuoto; questo simbolo svolgeva alcune funzioni del nostro zero, ma non tutte: veniva usato fra colonne e mai per indicare colonne vuote alla fine della sequenza = 7322

53 53 I numeri nellantica Grecia 1 Nella civiltà greca classica sono noti due principali sistemi di numerazione attico Il primo, più antico, è noto come attico ed è per molti aspetti simile a quello in uso presso i Romani; utilizzava infatti accanto ai simboli fondamentali per l1 e le potenze di 10 fino a 10000, un simbolo speciale per il 5, che combinato con i precedenti, dava altri simboli anche per 50, 500, 5000, ionico alfabetico Compaiono testimonianze di questo sistema dal V al I secolo a.C. ma, a partire dal III secolo, si diffonde anche il sistema detto ionico o alfabetico

54 54 I numeri nellantica Grecia 2 Il sistema ionico si serve di ventisette simboli alfabetici (alcuni dei quali arcaici e non più usati nella Grecia classica) per indicare le unità da 1 a 9, le decine da 10 a 90, le centinaia da 100 a 900 Si usavano poi nuovamente le prime nove lettere precedute da un apice in basso per indicare i multipli di 1000, e per esprimere numeri ancora più grandi si ricorreva al simbolo M (iniziale di miriade) che indicava la moltiplicazione per del numero che seguiva Sistema di numerazione decimale additivo Sistema di numerazione decimale additivo

55 55 I numeri nellantica Grecia 3 Ad esempio: =

56 56 I numeri nellantica Roma 1 Nel sistema di numerazione romano, a base decimale, ci si serviva, come è noto, anche di simboli speciali per indicare 5, 50, 500 Alcune antiche epigrafi inducono a ritenere che i segni usati fossero inizialmente segni speciali, forse di origine etrusca, che solo successivamente furono identificati con le lettere I, V, X, L, C, D, M IVXLCDM

57 57 I numeri nellantica Roma 2 La scrittura dei numeri avveniva combinando additivamente i segni Per agevolare scrittura e lettura si diffuse più tardi un sistema sottrattivo già utilizzato, ad esempio, dagli Assiri (che ha traccia anche nelle forme verbali come ad esempio undeviginti, stessa cosa di decem et novem) Un simbolo posto alla sinistra di un simbolo di quantità maggiore viene sottratto, così IX e VIIII indicano entrambi il numero 9 Ancora in epoca tarda, un segno che prese laspetto di una linea orizzontale posta sopra le lettere serviva per indicarne la moltiplicazione per 1000

58 58 DallIndia… il sistema decimale 1 La civiltà indiana, più antica delle civiltà classiche, è già documentata dal 3000 a.C. Sebbene luso della matematica dovesse essere ben sviluppato già in epoca arcaica, i primi testi che ci sono giunti risalgono al V secolo d.C. Arabi Non è però ancora chiaro dove e quando si sia sviluppato il sistema di notazione decimale posizionale che, in seguito, attraverso gli Arabi, si è diffuso in Europa

59 59 DallIndia… il sistema decimale 2 Tale sistema viene utilizzato nellopera del matematico indiano vissuto attorno al 500 d.C. Aryabhata, la più antica che ci è pervenuta se si eccettuano frammenti sparsi di matematici anteriori, dove però manca ancora luso di un simbolo zero Testimonianze di scritture in forma posizionale si registrano anche prima del manuale di Aryabhata, mentre per avere datazioni sicure di forme complete in cui compare anche il simbolo zero occorre arrivare al IX secolo d.C.

60 60 DallIndia… il sistema decimale 3 Indiani Lidea di usare un numero limitato di simboli a cui dare valore diverso a seconda della posizione occupata può essere stata, secondo alcuni studiosi, sviluppata dagli Indiani per conoscenza diretta o ereditata dai Greci del sistema sessagesimale babilonese Brahmi Gli Indiani avrebbero allora iniziato ad utilizzare solamente i primi 9 simboli del loro sistema decimale in caratteri Brahmi, in uso dal III secolo a.C.

61 61 DallIndia… il sistema decimale 4 I simboli assumono forme diverse a seconda delle zone e dei periodi, ma sono comunque quelli che gli Arabi più tardi utilizzarono e che, dalla forma araba, sono passati in Europa, fino alla forma definitiva resa uniforme dalla stampa nel XV secolo

62 62 Sistemi di numerazione posizionali Sistemi di numerazione posizionali: base La base del sistema di numerazione cifre Le cifre del sistema di numerazione posizione relativa Il numero è scritto specificando le cifre in ordine ed il suo valore dipende dalla posizione relativa delle cifre Esempio Esempio: Il sistema decimale (Base 10) Cifre : = 5· · · ·10 0 Posizione:

63 63 Sistemi in base B La base definisce il numero di cifre diverse nel sistema di numerazione La cifra di minor valore è sempre lo 0; le altre sono, nellordine, 1,2,…,B 1; se B>10 occorre introdurre B 10 simboli in aggiunta alle cifre decimali N = c n B n +c n 1 B n c 2 B 2 +c 1 B 1 +c 0 B 0 frazionario Un numero frazionario N si rappresenta come (0,c 1 c 2 …c n ) B intero Un numero intero N si rappresenta con la scrittura (c n c n 1 …c 2 c 1 c 0 ) B N = c 1 B 1 +c 2 B c n B n c n cifra più significativac 0 meno significativa c n è la cifra più significativa, c 0 la meno significativa

64 64 Numeri interi senza segno Con n cifre in base B si rappresentano tutti i numeri interi positivi da 0 a B n 1 (B n numeri distinti) Esempio Esempio: base 10 2 cifre: da 0 a = … Esempio Esempio: base 2 2 cifre: da 0 a = = 100 valori 2 2 = 4 valori

65 65 Il sistema binario (B=2) La base 2 è la più piccola per un sistema di numerazione bitbinary digit Cifre: 0 1 bit (binary digit) Esempi Esempi: (101101) 2 = = = (45) 10 (0,0101) 2 = = 0 + 0, ,0625 = (0,3125) 10 (11,101) 2 = = , ,125 = (3,625) 10 Formapolinomia

66 66 byte Un byte è un insieme di 8 bit (un numero binario a 8 cifre) Con un byte si rappresentano i numeri interi fra 0 e = 255 È lelemento base con cui si rappresentano i dati nei calcolatori Si utilizzano sempre dimensioni multiple (di potenze del 2) del byte: 2 byte (16 bit), 4 byte (32 bit), 8 byte (64 bit)… Dal bit al byte b7b6b5b4b3b2b1b0b7b6b5b4b3b2b1b …………… = 256 valori distinti

67 67 Dal byte al kilobyte Potenze del 2 Cosa sono KB (Kilobyte), MB (Megabyte), GB (Gigabyte)? 2 4 = = = = 1024 (K=Kilo) 2 20 = (M=Mega) 2 30 = (G=Giga) 1 KB = 2 10 byte = 1024 byte 1 MB = 2 20 byte = byte 1 GB = 2 30 byte = byte 1 TB = 2 40 byte = byte (Terabyte)

68 68 Da decimale a binario Numeri interi intero Si divide ripetutamente il numero intero decimale per 2 fino ad ottenere un quoziente nullo; le cifre del numero binario sono i resti delle divisioni; la cifra più significativa è lultimo resto Esempio Esempio: convertire in binario (43) : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = resti bit più significativo (43) 10 = (101011) 2

69 69 frazionario Si moltiplica ripetutamente il numero frazionario decimale per 2, fino ad ottenere una parte decimale nulla o, dato che la condizione potrebbe non verificarsi mai, per un numero prefissato di volte; le cifre del numero binario sono le parti intere dei prodotti successivi; la cifra più significativa è il risultato della prima moltiplicazione Da decimale a binario Numeri razionali Esempio Esempio: convertire in binario (0,21875) 10 e (0,45) 10 0,45 2 = 0,9 0,90 2 = 1,8 0,80 2 = 1,6 0,60 2 = 1,2 0,20 2 = 0,4 etc. (0.45) 10 ( ) 2 0, = 0,4375 0, = 0,875 0,875 2 = 1,75 0,75 2 = 1,5 0,5 2 = 1,0 ( ) 10 = ( ) 2

70 70 Da binario a decimale forma polinomia Oltre allespansione esplicita in potenze del 2 forma polinomia… …si può operare nel modo seguente: si raddoppia il bit più significativo e si aggiunge al secondo bit; si raddoppia la somma e si aggiunge al terzo bit… si continua fino al bit meno significativo Esempio Esempio: convertire in decimale (101011) 2 bit più significativo (101011) 2 = = (43) 10 1 x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = x 2 = = 43 (101011) 2 = (43) 10 Esercizio Si verifichino le seguenti corrispondenze: a)(110010) 2 =(50) 10 b)( ) 2 =(102) 10 c)(1111) 2 =(17) 10 d)(11011) 2 =(27) 10 e)(100001) 2 =(39) 10 f)( ) 2 =(237) 10Esercizio Si verifichino le seguenti corrispondenze: a)(110010) 2 =(50) 10 b)( ) 2 =(102) 10 c)(1111) 2 =(17) 10 d)(11011) 2 =(27) 10 e)(100001) 2 =(39) 10 f)( ) 2 =(237) 10

71 71 Sistema esadecimale La base 16 è molto usata in campo informatico Cifre: A B C D E F Esempio Esempio: (3A2F) 16 = = = (14895) 10 La corrispondenza in decimale delle cifre oltre il 9 è A = (10) 10 D = (13) 10 B = (11) 10 E = (14) 10 C = (12) 10 F = (15) 10

72 72 Da binario a esadecimale Una cifra esadecimale corrisponde a 4 bit Si possono rappresentare numeri binari lunghi con poche cifre (1/4) La conversione da binario ad esadecimale è immediata, raggruppando le cifre binarie in gruppi di 4 (da destra) e sostituendole con le cifre esadecimali secondo la tabella precedente A B C D E F F corrisponde a 4 bit a 1 0 corrisponde a 4 bit a 0

73 73 Dai bit allhex Un numero binario di 4n bit corrisponde a un numero esadecimale di n cifre Esempio Esempio: 32 bit corrispondono a 8 cifre esadecimali D 9 1 B F (D91B437F) 16 Esempio Esempio: 16 bit corrispondono a 4 cifre esadecimali F F (00FF) 16

74 74 Da esadecimale a binario La conversione da esadecimale a binario si ottiene espandendo ciascuna cifra con i 4 bit corrispondenti Esempio 0x Esempio : convertire in binario il numero esadecimale 0x0c8f Notazione usata in molti linguaggi di programmazione (es. C e Java) per rappresentare numeri esadecimali 0 c 8 f Il numero binario ha 4 x 4 =16 bit

75 75 Esempi 1 posizionale In qualsiasi base, lessere il sistema di numerazione posizionale impone che combinazioni diverse di cifre uguali rappresentino numeri diversi; ad esempio: (319) 10 (193) 10 (152) 6 (512) 6, infatti... (152) 6 = = =(68) 10 (512) 6 = = =(188) 10 Numeri che hanno identica rappresentazione, in basi diverse, hanno valori diversi; ad esempio, (234) 10 (234) 8, infatti... (234) 8 = = = = (156) 10 Osservazione Osservazione: più piccola è la base, minore è il valore del numero rappresentato dalla stessa sequenza di cifre

76 76 Esempi 2 La notazione posizionale si applica anche per il calcolo del valore dei numeri frazionari, infatti... (0,872) 10 = = 8/10 + 7/ /1000 = 0,8 + 0,07 + 0,002 Quante cifre occorreranno per rappresentare il numero decimale 36 in base 2? Sappiamo che con n cifre si rappresentano i numeri da 0 a 2 n 1, quindi... per n=1 (con una cifra) si rappresentano ,1 per n=2: per n=3: per n=4: per n=5: per n=6: Effettivamente possiamo verificare che (100100) 2 =(36) 10, infatti = = = 36 6 con 6 cifre necessarie per la codifica del numero in base 2

77 77 Esempi 3 Quesito Quesito: Per quale base B risulterà vera luguaglianza = 102 ? Se i numeri sono rappresentati in base B, sappiamo che: (17) B = 1 B 1 +7 B 0 = B+7 (41) B = 4 B 1 +1 B 0 = 4B+1 (22) B = 2 B 1 +2 B 0 = 2B+2 (102) B = 1 B 2 +0 B 1 +2 B 0 = B 2 +2 da cui...B+7+4B+1+2B+2 = 7B+10 = B 2 +2 Si ottiene unequazione di 2° grado:B 2 7B 8 = 0 Risolvendo: = = 81 B = (7 )/2 = (7 9)/2 = 1 (7+9)/2 = 8 È la soluzione! Non può essere una base

78 78 La rappresentazione dei dati e laritmetica degli elaboratori

79 79 Numeri interi positivi I numeri interi positivi sono rappresentati allinterno dellelaboratore utilizzando un multiplo del byte (generalmente 4/8 byte) Se lintero si rappresenta con un numero di cifre minore, vengono aggiunti zeri nelle cifre più significative Esempio Esempio: 12 viene rappresentato in un byte come…

80 80 Numeri con segno Per rappresentare numeri con segno, occorre utilizzare un bit per definire il segno del numero Si possono usare tre tecniche di codifica Modulo e segno Complemento a 2 Complemento a 1

81 81 Modulo e segno Il bit più significativo rappresenta il segno: 0 per i numeri positivi, 1 per quelli negativi Esiste uno zero positivo (00…0) e uno zero negativo (10…0) Se si utilizzano n bit si rappresentano tutti i numeri compresi fra (2 n 1 1) e +2 n 1 1 Esempio Esempio : con 4 bit si rappresentano i numeri fra 7 ( (2 3 1)) e +7 (2 3 1) positivi negativi

82 82 Complemento a 2 Il complemento a 2 di un numero binario (N) 2 a n cifre è il numero Il complemento a 2 si calcola… Effettuando il complemento a 1 del numero di partenza (negazione di ogni cifra): si trasforma ogni 0 in 1 e ogni 1 in 0 Aggiungendo 1 al numero ottenuto Oppure: a partire da destra, lasciando invariate tutte le cifre fino al primo 1 compreso, quindi invertendo il valore delle rimanenti complemento a N N+1 2 n (N) 2 = 10……0 (N) 2 { n

83 83 Interi in complemento a 2 numeri positivi I numeri positivi sono rappresentati (come) in modulo e segno numeri negativi I numeri negativi sono rappresentati in complemento a 2 la cifra più significativa ha sempre valore 1 Lo zero è rappresentato come numero positivo (con una sequenza di n zeri) Il campo dei numeri rappresentabili è da 2 n 1 a +2 n 1 1 Esempio Esempio : numeri a 4 cifre Nota:

84 84 Interi a 16 bit Numeri interi rappresentati su 16 bit in complemento a 2: Il numero intero positivo più grande è =(32767) x 7 F F F Il numero intero negativo più piccolo è 2 15 =( 32768) x Il numero intero –1 è rappresentato come x F F F F

85 85 Addizione binaria Le regole per laddizione di due bit sono Lultima regola è… (1) 2 +(1) 2 = (10) 2 … (1+1=2) 10 !! = = = = 0 con riporto di 1 Esempio riporti

86 86 Sottrazione binaria 1 Le regole per la sottrazione di due bit sono La sottrazione può divenire complicata: quando si ha una richiesta sulla cifra precedente a sinistra, che è uno 0, loperazione si propaga a sinistra fino alla prima cifra ad 1 del sottraendo 0 0 = = = = 1 con prestito di 1 dalla cifra precedente a sinistra Esempio

87 87 Sottrazione binaria – 2 Utilizzando la rappresentazione in complemento a 2, addizione e sottrazione sono trattate come ununica operazione N 1 N 2 = N 1 +(2 n N 2 ) 2 n complemento a 2 di N 2 : rappresentazione di ( N 2 ) si trascura il bit n +1 Si calcola il complemento a 2 di N 2 Si somma N 1 con il complemento a 2 di N 2 Si trascura il bit più significativo del risultato Esempio Esempio : (010001) 2 (000101) 2 = (17) 10 (5) (12) 10 {

88 88 Sono utili perché loperazione di somma può essere realizzata non curandosi del bit di segno In complemento a 1 (più semplice da calcolare)… Zero ha due rappresentazioni: e La somma bit a bit funziona quasi sempre In complemento a 2… Zero ha una sola rappresentazione La somma bit a bit funziona sempre Rappresentazioni in complemento ( 6) = ( 5) ( 12) (6) = ( 10) ( 4)

89 89 Overflow overflow Loverflow si ha quando il risultato di unoperazione non è rappresentabile correttamente con n bit Per evitare loverflow occorre aumentare il numero di bit utilizzati per rappresentare gli operandi Cè overflow se cè riporto al di fuori del bit di segno e non sul bit di segno, o se cè riporto sul bit di segno, ma non al di fuori Esempio Esempio : 5 bit [ 16,+15] Punteggio nei vecchi videogame… sorpresa per i campioni! = = 32768

90 90 Moltiplicazione binaria Le regole per la moltiplicazione di due bit sono Moltiplicare per 2 n corrisponde ad aggiungere n zeri in coda al moltiplicando 0 0 = = = = 1 Esempio x x = = 2 4

91 91 La divisione binaria di A per B viene calcolata in modo analogo alla divisione decimale, così da ottenere un quoziente Q ed un resto R, tali che A = B Q + R La divisione binaria si compone di una serie di sottrazioni Dividere per 2 n equivale a scorrere il numero a destra di n posizioni; le cifre scartate costituiscono il resto Divisione binaria ( ^ ^^ 51:16 = 3 con resto = 11 con resto =

92 92 Esempio Quesito Quesito: Data una base B, si consideri il numero x ( C 5 C 4 C 3 C 2 C 1 C 0 ) B, dove le singole cifre valgono: C 5 = B 1, C 4 = B 1, C 3 = B 1, C 2 = 0, C 1 = 0, C 0 = 0 Qual è la rappresentazione in base B del risultato dellespressione ( x / B 3 ) 1? Dividere per B 3, che per qualsiasi base si rappresenta come 1000, equivale a shiftare il numero di tre cifre a sinistra Rimangono quindi le tre cifre più significative, tutte uguali a B 1 Sommando 1, a causa dei riporti, si ottiene quindi come risultato dellespressione 1000 B 3, qualsiasi sia il valore della base B

93 93 Esercizi Esercizio 1 Assumendo che un elaboratore rappresenti i numeri interi con segno su quattro bit in complemento a 2, si calcolino entrambi i membri della seguente identità: (A C)+B = (A+B) C (A C)+B = (A+B) C, A=7B=5C=7 con A=7, B=5, C=7. Si ottiene lo stesso risultato dal calcolo dei due membri? Discutere le motivazioni della risposta. Esercizio 2 a) Si determini, se esiste, la base b di un sistema di numerazione tale che (842) b = (1202) 10 b) Si determini, se esiste, la base b 16 di un sistema di numerazione tale che (725) b (626) b = (224) 10

94 94 Numeri in virgola mobile notazione scientifica La rappresentazione dei numeri in virgola mobile è in relazione con la notazione scientifica (es =120) La IEEE ha previsto uno standard per la rappresentazione in virgola mobile singola precisione singola precisione (32 bit = 4 byte) doppia precisione doppia precisione (64 bit = 8 byte) quadrupla precisione quadrupla precisione (128 bit = 16 byte) Singola precisione bit8 bit Mantissa (o Caratteristica) Segno Il valore è ( 1) S 1.M 2 E 127 se E 0 ( 1) S 0.M se E=0 Esponente Eccesso Eccesso : vale 2 t 1 1, se t è il numero di cifre riservate alla caratteristica rappresentazione interna dellesponente sempre positiva

95 95 Singola precisione Il numero più grande rappresentabile è ( ) Il più piccolo numero positivo è In totale si rappresentano 2 32 numeri distinti, metà positivi, metà negativi Circa metà dei numeri sono compresi fra 1 e 1 (E 127<0) valori

96 96 Metodo per il calcolo delladdizione 1. Se le caratteristiche dei numeri sono diverse, si considera il numero con caratteristica minore e… 1.1 Si trasla la mantissa di un posto a destra 1.2 Si incrementa la caratteristica di 1, fino a quando le due 2. La mantissa del risultato è ottenuta dalla somma delle due mantisse 3. Se laddizione comporta un riporto oltre la cifra più significativa, si trasla la mantissa del risultato a destra di un posto, il riporto nel bit più significativo, e si incrementa la caratteristica di 1 Laritmetica floating point: addizione caratteristiche sono uguali, e corrispondono alla caratteristica del risultato

97 97 Supponiamo che per la rappresentazione floating–point vengano utilizzati otto bit, di cui uno per il segno, tre per la caratteristica e quattro per la mantissa La caratteristica del secondo operando è più piccola di una unità, quindi la mantissa deve scorrere di una posizione a destra La caratteristica del risultato è 110 e la mantissa è = 10001; la caratteristica deve essere aumentata di 1 e portata a 111, e la mantissa del risultato traslata a destra di una posizione: Un esempio di addizione errore di troncamento Codifica il numero 4 (dato che la caratteristica si rappresenta in eccesso a 4), ma il risultato corretto è 4.375: errore di troncamento N = ( 1) s 0.M 2 E 4

98 98 Metodo per il calcolo della moltiplicazione 1. Si moltiplicano le due mantisse 2. Si addizionano le due caratteristiche 3. Si trasla a sinistra il prodotto delle due mantisse fino ad ottenere un 1 come cifra più significativa; si diminuisce la caratteristica di 1 per ogni traslazione eseguita 4. Si tronca la mantissa al numero di bit utilizzati nella rappresentazione; la mantissa del prodotto è il risultato del troncamento 5. Si sottrae leccesso alla somma delle caratteristiche, ottenendo la caratteristica del prodotto Laritmetica floating point: moltiplicazione

99 99 Supponiamo che per la rappresentazione floating–point vengano utilizzati otto bit, di cui uno per il segno, tre per la caratteristica e quattro per la mantissa Moltiplicando le mantisse e sommando le caratteristiche si ottiene: La mantissa del risultato deve essere traslata di un posto a sinistra, e la somma delle caratteristiche deve essere decrementata di 1; infine la mantissa deve essere troncata alle 4 cifre significative e leccesso (100) sottratto alla caratteristica: Un esempio di moltiplicazione M= E= errore di troncamento Codifica il numero , ma il risultato corretto è : errore di troncamento N = ( 1) s 0.M 2 E 4

100 100 Laritmetica interna degli elaboratori differisce notevolmente dallaritmetica classica Sebbene le stesse operazioni possano essere realizzate secondo modalità diverse su elaboratori diversi, si riscontrano alcune caratteristiche comuni: Rappresentazione binaria dei numeri Rango finito dei numeri rappresentabili Precisione finita dei numeri Operazioni espresse in termini di operazioni più semplici Laritmetica degli elaboratori 1

101 101 Rango finito dei numeri rappresentabili Qualunque sia la codifica utilizzata, esistono sempre il più grande ed il più piccolo numero rappresentabile I limiti inferiore e superiore del rango di rappresentazione dipendono sia dal tipo di codifica, sia dal numero di bit utilizzati underflow Se il risultato di unoperazione non appartiene al rango dei numeri rappresentabili, si dice che si è verificato un overflow (un underflow, più precisamente, se il risultato è più piccolo del più piccolo numero rappresentabile) Laritmetica degli elaboratori 2

102 102 Precisione finita dei numeri precisione La precisione della rappresentazione di un numero frazionario è una misura di quanto essa corrisponda al numero che deve essere rappresentato floating–point Negli elaboratori, i numeri frazionari sono rappresentati in virgola mobile (floating–point), utilizzando un numero finito di bit È plausibile che un numero reale non ammetta una rappresentazione finita, quindi dovrà essere codificato in maniera approssimata Negli elaboratori si rappresentano soltanto numeri razionali (fino ad una data precisione) Laritmetica degli elaboratori 3

103 103 Operazioni espresse in termini di operazioni più semplici La maggior parte degli elaboratori non possiede circuiti in grado di eseguire direttamente tutte le operazioni: La sottrazione si realizza per mezzo di una complementazione e di unaddizione shift La moltiplicazione si realizza per mezzo di una successione di addizioni e di shift (traslazioni) La divisione si realizza per mezzo di una successione di shift e sottrazioni hardware firmware Le operazioni più semplici sono eseguite direttamente da appositi circuiti (in hardware); le operazioni più complesse sono realizzate mediante lesecuzione di successioni di operazioni più semplici, sotto il controllo di programmi appositamente realizzati, e generalmente memorizzati permanentemente (in firmware) Laritmetica degli elaboratori 4

104 104 Codifica dei caratteri alfabetici – 1 Oltre ai numeri, molte applicazioni informatiche elaborano caratteri (simboli) Gli elaboratori elettronici trattano numeri Si codificano i caratteri e i simboli per mezzo di numeri Per poter scambiare dati (testi) in modo corretto, occorre definire uno standard di codifica A $

105 105 Codifica dei caratteri alfabetici – 2 Quando si scambiano dati, deve essere noto il tipo di codifica utilizzato La codifica deve prevedere le lettere dellalfabeto, le cifre numeriche, i simboli, la punteggiatura, i caratteri speciali per certe lingue (æ, ã, ë, è,…) codice ASCII American Standard Code for Information Interchange Lo standard di codifica più diffuso è il codice ASCII, per American Standard Code for Information Interchange

106 106 Codifica ASCII 7 bit Definisce una tabella di corrispondenza fra ciascun carattere e un codice a 7 bit (128 caratteri) 1 byte I caratteri, in genere, sono rappresentati con 1 byte (8 bit); i caratteri con il bit più significativo a 1 (quelli con codice dal 128 al 255) rappresentano unestensione della codifica caratteri di controllo caratteri stampabili La tabella comprende sia caratteri di controllo (codici da 0 a 31) che caratteri stampabili I caratteri alfabetici/numerici hanno codici ordinati secondo lordine alfabetico/numerico A 65 B 66 ……. Y 89 Z 90 a 97 b 98 ……. y 121 Z …… cifre maiuscole minuscole

107 107 Caratteri di controllo ASCII I caratteri di controllo (codice da 0 a 31) hanno funzioni speciali Ctrl+carattere Si ottengono o con tasti specifici o con una sequenza Ctrl+carattere Ctrl Dec Hex Code Nota 0 0 NULL carattere nullo ^A 1 1 SOH partenza blocco …… … … …… ………………… ^G 7 7 BEL beep ^H 8 8 BS backspace ^I 9 9 HT tabulazione orizzontale ^J 10 A LF line feed (cambio linea) ^K 11 B VT tabulazione verticale ^L 12 C FF form feed (alim. carta) ^M 13 D CR carriage return (a capo) …… … … …… …………………… ^Z 26 1A EOF fine file ^[ 27 1 B ESC escape …… … … …… ……… ^_ 31 1F US separatore di unità

108 108 Caratteri ASCII stampabili Dec Hx Chr Dec Hx Chr Dec Hx Chr SPACE P96 60 ` p ! A81 51 Q97 61 a q B82 52 R98 62 b r # C83 53 S99 63 c s $ D84 54 T d t % E85 55 U e u & F86 56 V f v G87 57 W g w ( H88 58 X h x ) I89 59 Y i y 42 2A *58 3A :74 4A J90 5A Z106 6A j122 7A z 43 2B +59 3B ;75 4B K91 5B [107 6B k123 7B { 44 2C,60 3C <76 4C L92 5C \108 6C l124 7C | 45 2D -61 3D =77 4D M93 5D ]109 6D m125 7D } 46 2E.62 3E >78 4E N94 5E ^110 6E n126 7E ~ 47 2F /63 3F ?79 4F O95 5F _111 6F o 127 7F DEL Nota Nota: il valore numerico di una cifra può essere calcolato come differenza del suo codice ASCII rispetto al codice ASCII della cifra 0 (es. 5 0 = = 5)

109 109 Tabella ASCII estesa I codici oltre il 127 non sono compresi nello standard originario


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