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Filosofia della matematica Riassunti tratti principalmente da: la filosofia della matematica del 900 di Ettore Casari.

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Presentazione sul tema: "Filosofia della matematica Riassunti tratti principalmente da: la filosofia della matematica del 900 di Ettore Casari."— Transcript della presentazione:

1 Filosofia della matematica Riassunti tratti principalmente da: la filosofia della matematica del 900 di Ettore Casari

2 Rinascita del rigore matematico nell800 Oltre alla novità di alcuni oggetti e contenuti dellindagine matematica, cambiano le modalità di questultima: laffermarsi di un atteggiamento rigoristico che si manifesta attraverso lemergere progressivo di unesigenza profonda di chiarezza e determinazione dei propri concetti e dei propri metodi e poi, via via, di fondazione delle varie discipline e di tutta la matematica.

3 Rinascita del rigore matematico nell800 Riduzionismo ottocentesco Rivoluzione assiomatica

4 Riduzionismo ottocentesco Wessel, Argand e Gauss: interpretazione geometrica dei complessi 1843 Hamilton: moderna definizione dei complessi Cauchy: Reimpianto teoria funzioni di variabile complessa Riconduzione teoria dei numeri complessi teoria dei numeri reali Determinazione logicamente soddisfacente dei fondamentali concetti dellanalisi Aritmetizzazione dellanalisi Logicizzazione dellaritmeticaTeoria dei numeri transfiniti Cauchy, Weierstrass, Abel, Bolzano: Limite, convergenza, continuità, derivata, integrale, … Inizia con Weierstrass e culmina con 1872 Cantor, Dedekind: classiche fondazioni del sistema dei reali Kronecker : Vuole eliminare dalla matematica concetti come funzione o insieme Frege : Riporta il concetto di numero naturale ad una combinazione di concetti puramente logici Cantor

5 Caratteri fondamentali Il processo di riduzione fu concepito come un processo di analisi contenutisticamente determinato. Espulsione graduale dellintuizione dalla matematica, in quanto la si riteneva incapace di cogliere lintero contenuto razionale dei concetti. Il processo riduttivo non mise mai in dubbio la validità della logica che sovrintendeva ad esso; se si eccettua la fase più schiettamente logicista, tale logica era considerata talmente piana e pacifica che non si sentiva nemmeno il bisogno di esplicitarla.

6 Russell, al contrario di Frege, conosce bene lopera di Cantor Lincontro con Peano al Congresso di Parigi del 1900 lo mette in contatto con le grandi possibilità contenute nel patrimonio logico elaborato dalla scuola torinese Allinizio del 900 il filone riduzionista assume, attraverso le idee ed il lavoro del filosofo e matematico Bertrand Russell, caratteri di globalità e di onnicomprensività Russell affronta quindi in tutta generalità il problema della riduzione della matematica alla logica logicistadi RussellProgramma

7 logicista E in questo contesto che egli fa nel 1902 una memorabile scoperta destinata ad influenzare profondamente la problematica e la tematica della logica e della filosofia della matematica del nostro secolo. Lavorando su una delle grandi intuizioni cantoriane, Russell scope che il sistema generale di logica proposto da Frege quale base della riduzione è in realtà contraddittorio di RussellProgramma Russell, convinto comè della sensatezza di fondo della prospettiva logicista, intraprende uno studio intenso e approfondito alla ricerca delle radici più riposte della sua antinomia e delle analoghe contraddizioni che nel frattempo emergono da ogni parte

8 Involgendosi nelle difficoltà delle soluzioni al problema delle antinomie che egli vagheggia, fa emergere la possibilità di costruzioni logico-matematiche alternative, legate a scelte e posizioni filosofiche diverse circa la natura degli enti matematici. Russell si avvede del fatto che in ognuna di queste antinomie è usato un procedimento definitorio (che verrà poi detto impredicativo) che consiste nel definire un ente facendo anche riferimento a delle totalità alle quali lente da definire appartiene. Gli insiemi devono quindi essere costituiti a loro volta dalle nostre definizioni. Ma come faccio a costituire una proprietà se, nel farlo, uso una totalità che già la presuppone? Russelle le definizioni impredicative

9 Le vie duscita sembrano essere solo due: Russell e le definizioni impredicative a)Persevero nella mia idea che le proprietà dei numeri sono il risultato di un atto costitutivo della mia attività razionale; quindi devo abbandonare quel tipo di definizione perché in realtà esso è vuoto b)Rinuncio a questa mia convinzione e mi rassegno allidea che le proprietà dei numeri sono in qualche modo date indipendentemente dalla mia attività razionale e allora (trovata altrove la vera radice delle antinomie) posso senzaltro usare quelle definizioni Concezione descrittiva (platonismo) Concezione costitutiva Russell tenta di soddisfare entrambe le esigenze attraverso laggiunta dell assioma di riducibilità alla teoria ramificata dei tipi. Gli studiosi successivi hanno aspramente criticato questo tentativo impossibile di mediazione tra due posizioni inconciliabili Mondo di Idealità oggettive a noi esterno, di cui siamo pazienti scopritori Patrimonio matematico sottoposto a mutilazioni e restrizioni

10 Concezione costitutiva IntuizionismoPredicativismo Per il concettualismo predicativista è accettabile la considerazione della totalità degli enti costituibili attraverso un determinato processo. Da qui laccettazione della totalità attualmente infinita e in sé completa dei numeri naturali, in quanto totalità degli enti che si possono generare a partire dallo zero attraverso il procedimento di passaggio al successivo Più radicale la posizione degli intuizionisti, eredi diretti di coloro che nellOttocento rappresentavano il punto di vista costitutivo nel contesto del problema delle entità matematiche (Kronecker il più significativo). Per gli intuizionisti (fra cui domina Brouwer) il processo e le sue possibilità sono lunica cosa che cè. Linfinità dei risultati è solo potenziale, mai attuale. Esistenza di un ente non può significare sua eventuale possibilità ma solo sua avvenuta costituzione. Dimostrazioni indirette (per assurdo) non sono quindi valide. La stessa logica proposizionale è da rivedere: non può essere accettata la legge del terzo escluso.

11 La questione degli universali e la matematica Le tre grandi prospettive emerse da alcuni tratti presenti negli atteggiamenti riduzionisti dellottocento non risultano essere soltanto delle possibilità alternative offerte alla riflessione filosofica in generale, ma si traducono presto in proposte alternative sul piano stesso della riflessione matematica. La matematica compatibile con una concezione circa la natura degli enti astratti non è in generale compatibile con unaltra. La nuova disputa degli universali ha messo in luce implicazioni scientifiche e teoretiche che non potevano certo venire immaginate in una situazione culturale nella quale linfinito matematico non aveva particolare rilevanza.

12 Rinascita del rigore matematico nell800 Riduzionismo ottocentesco Rivoluzione assiomatica

13 Rivoluzione assiomatica Orizzonte tematiche algebriche AlgebraGeometria Teoria equazioni algebriche

14 1.Si introducono i termini tecnici fondamentali del discorso (termini primitivi) e se ne chiarisce il significato. 2.Viene fornito un elenco di enunciati primari (assiomi) che riguardano i termini primitivi. Affinché il sistema non sia vuoto di senso per il lettore, egli dovrà trovare questi enunciati accettabili, in quanto veri, in base alle spiegazioni fornite in 1. 3.Tutti gli altri termini tecnici (termini definiti) sono definiti sulla base di termini già introdotti. 4.Tutti gli altri enunciati del discorso (enunciati derivati o teoremi) sono dedotti logicamente da enunciati già accettati o dimostrati Fin dal tempo dei pitagorici (430 a.C.) i matematici si sono abituati a seguire la logica e a non fidarsi dellintuizione. Questo non vuol dire che essa sia bandita dalla matematica; al contrario, gli asserti fondamentali su cui ogni ramo della matematica si sviluppa (gli assiomi) sono accettati senza dimostrazione sostanzialmente per il loro contenuto intuitivo. Lintuizione ha un ruolo importante anche nella scoperta dei teoremi. Ma non si accetta levidenza intuitiva come conclusiva. Gli Elementi di Euclide rappresentano larchetipo del trattato scientifico e sono lesempio più antico di quello che oggi viene chiamato Preambolo Sistema assiomatico materiale

15 Il problema ora è: Siamo sicuri che tutti quelli che abbiamo accettato come enunciati indimostrabili, siano effettivamente tali? Lo status di assioma del V° postulato di Euclide non solo era matematicamente poco elegante (lenunciato inverso è un teorema), ma anche filosoficamente discutibile (non è autoevidente). Posidonio di Rodi (135 a.C.) Euclide (300 a.C.) J. Wallis (1663) Cristoforo Clavio (1574) G. Vitale (1680) Proclo (V° secolo) J. Playfair (XVIII° secolo) Nasir al-Din (XIII° secolo) Pietro Antonio Cataldi (1603) L. N. M. Carnot (1803) A. M. Legendre (1824) G. Saccheri (1733) J. H. Lambert (1766) J. F. Lorenz (1791) K. F. Gauss (1799) B. F. Thibaut (1809) F. Bolyai (XIX secolo) Euclides ab omni naevo vindicatus

16 1763 Klügel, studente, avanza lipotesi che il V° postulato non è dimostrabile. E quindi logicamente possibile una geometria alternativa a quella di Euclide Gauss (e indipendentemente Schweikart nel 1818) ha una chiara visione di una geometria coerente in cui il V° postulato è sostituito dalla sua negazione Nicolaj Ivanovič Lobačevskij pubblica un articolo sulla geometria non euclidea 1832 János Bolyai pubblica un trattato sulla geometria non euclidea Riemann scrive che sostituire il V° postulato con la sua negazione non è lunico modo per modificare la geometria euclidea. La nascita delle geometrie non euclidee

17 Sistema assiomatico materiale Sistema assiomatico formale a. Vengono introdotti i termini primitivi e si chiarisce il loro significato. b. Viene fornito un elenco di assiomi accettabili in quanto veri in base alle spiegazioni fornite in a. a. Vengono introdotti i termini tecnici fondamentali del discorso (termini primitivi), non definiti. b. Viene fornito ed accettato un elenco di assiomi privi di giustificazione. c.I termini definiti sono definiti sulla base di termini già introdotti. d.I teoremi sono dedotti logicamente da enunciati già accettati o dimostrati c. I termini definiti sono definiti sulla base di termini già introdotti. d. I teoremi sono dedotti logicamente da enunciati già accettati o dimostrati Significato e realtà sono scomparsi, lasciando solo lo scheletro logico. La matematica è quella disciplina in cui non si sa mai di che cosa si stia parlando, né se ciò che si dice sia vero Russell La geometria iperbolica sfugge ad ogni tentativo di rappresentazione intuitiva

18 Avendo a che fare con termini non interpretati, è meno facile farsi trarre in inganno da dimostrazioni fasulle: meno materiale la nostra immaginazione ha a disposizione, meno è probabile che accetti accidentalmente qualcosa che non sia logicamente certo. Tali sistemi sono suscettibili di più interpretazioni. Vantaggi dei sistemi assiomatici formali

19 Va maturando una distinzione fra una geometria matematica, la cui significatività specifica è sempre meno rilevante, ed una geometria fisica, che descrive e organizza razionalmente un ambito dellesperienza sensibile -quello spaziale. Similmente si sdoppia il problema della verità delle proposizioni geometriche: la verità matematica è identificata con lessere conseguenza logica degli assiomi; il problema della verità empirica confluisce nel più generale problema epistemologico del rapporto fra il mondo dellesperienza sensibile e le proposizioni che pretendono di descriverlo.

20 Algebra (I) Protagonista è Evariste Galois, morto nel Le sue geniali intuizioni furono conosciute dopo il 1846, ma faticarono a farsi apprezzare. Solo alla fine degli anni sessanta, per merito di Jordan, lacquisizione delleredità di Galois è completa. Ambiente culturale essenzialmente francese Sistemazione e organizzazione praticamente definitiva della teoria delle equazioni algebriche, che aveva costituito per secoli il tema precipuo (per non dire esclusivo) dellindagine algebrica Sviluppando alcune idee di Lagrange, di Abel e di Ruffini, Galois associò ad ogni equazione algebrica un sistema di permutazioni (il gruppo di Galois dellequazione) il quale è legato allequazione in modo tale che questa è risolubile mediante radicali se e solo se quello soddisfa una certa condizione strutturale. Per rispondere al problema di risolubilità delle equazioni, Galois era ricorso a punti di vista strutturali che, per la loro generalità, cominceranno presto a essere coltivati e studiati a prescindere dal particolare caso nel quale essi erano sorti e per il quale essi sono stati elaborati.

21 Parentesi: Teoria di Galois La nascita della teoria di Galois è stata motivata originariamente dal teorema di Abel-Ruffini: Non esiste alcuna formula per esprimere le radici di un polinomio razionale f di quinto grado (o superiore) in funzione dei coefficienti del polinomio, usando solo le normali operazioni algebriche e l'applicazione di radicali" La teoria di Galois rende chiaro ed evidente il perché sia possibile risolvere le equazioni di grado quattro o inferiore, specificando un criterio generale affinché una particolare equazione polinomiale di un qualsiasi grado abbia le soluzioni esprimibili mediante operazioni algebriche e radicali.

22 Algebra (II) Peacock: Attraverso un principio di permanenza delle forme equivalenti estende le leggi dellalgebra aritmetica allalgebra simbolica, che viene concepita come unalgebra delle grandezze in generale Isola proprietà strutturali fondamentali delle operazioni aritmetiche e le colloca alla base di uno sviluppo essenzialmente algoritmico-deduttivo. Algebra aritmetica Algebra simbolica ! Quaternioni ! Algebre Algebra della logica Hamilton Scoperta di certi enti che, pur avendo ragionevoli titoli per essere considerati delle grandezze, non si comportano sempre come vorrebbe lalgebra simbolica Grassmann, Cayley e altri: Graduale emancipazione del concetto di algebra di un sistema di grandezze dallidea unitaria teorizzata da Peacock Boole: Peacock: Trattazione algebrica anche di enti che non sono grandezze (proposizioni, classi, trasformazioni in un insieme, …)

23 Parentesi: i quaternioni I quaternioni sono scoperti da Hamilton nel 1843; egli era alla ricerca di un metodo per estendere i numeri complessi (punti su un piano) su un numero maggiore di dimensioni spaziali Un quaternione è rappresentato da una quaterna di numeri reali Q = (a,b,c,d) e si può esprimere tramite matrici 2x2 di numeri complessi; oppure matrici 4x4 di numeri reali; oppure come Q = a + b·i + c·j + d·k con o Possiamo facilmente verificare che non soddisfano la proprietà commutativa della moltiplicazione: ·1ijk 11ijk iik-j jj-ki kkj-i Tabella moltiplicativa per le unità dei quaternioni

24 Rappresentazione matriciale dei quaternioni Le unità u, i, j, k, nella forma 2x2 e 4x4 sono: Il quaternione a + bi + cj + dk è rappresentato quindi da Oppure da

25 Caratteri fondamentali E dissolta la funzione fondante dellintuizione La garanzia della legittimità razionale del sistema deve essere cercata in una non-contraddittorietà degli assiomi Che cosa trasmettano le definizioni e le dimostrazioni non è più ben chiaro Se prima assiomi e concetti primitivi erano solo il residuo ultimo di un lavoro definitorio e dimostrativo che veniva concepito come un lavoro riduttivo, adesso assiomi e relativi concetti, a significato largamente indeterminato, diventano sempre più il vero punto di partenza, non soltanto logico ma anche epistemologico, del lavoro del matematico. La funzione creativa dellorganizzazione assiomatica viene sempre più esaltata. Lalgebra astratta, che sta imparando a trattare unitariamente sistemi eterogenei di enti, fa gradualmente intravedere la possibilità di concepire le operazioni logiche del definire e del dimostrare come quelle operazioni capaci di generare i costrutti concettuali possibili e le proposizioni vere in ogni possibile sistema di enti che si trovi a verificare gli assiomi

26 Sviluppi nel Novecento La scoperta delle antinomie mostra la necessità di garantirsi anche dalle contraddizioni che possono venire introdotte dallo stesso apparato logico-deduttivo. Ciò spinge verso una formalizzazione completa delle teorie matematiche: Simbolizzazione Esplicitazione del bagaglio linguistico ammesso (simboli) Esplicitazione delle possibili regole di combinazione e manipolazione di questo bagaglio linguistico La non-contraddittorietà di una teoria viene ora identificata con limpossibilità di ottenere una dimostrazione che termina con una proposizione congiunta con la sua negazione

27 Hilbert e lintuizione Le teorie matematiche che ammettono modelli finiti possono venire dimostrate non-contraddittorie ostensivamente, cioè manovrando direttamente opportuni enti materiali (simboli). Il pensiero che si esprime nella costruzione e nella manipolazione di tali oggetti finiti è chiamato finitario. La sua giustificazione è di tipo kantiano, a priori. I veri problemi della intuizione e della evidenza si collocano in rapporto alle teorie che hanno solo modelli infiniti. finitaria infinitaria Secondo Hilbert la proprietà di essere non-contraddittorio è una proprietà di certi sistemi simbolici. I simboli, le formule, le dimostrazioni delle teorie formalizzate sono oggetti concreti, finiti; le regole di manipolazione dei simboli sono prescrizioni di tipo finitario. Dunque sarà impegnata la sola intuizione finitaria nella dimostrazione del fatto che applicando quelle regole non si riesce a generare una configurazione simbolica rappresentante una contraddizione.

28 Programma hilbertiano Queste idee si concretizzano nel programma hilbertiano per la auto fondazione della matematica. 1.Tutte le teorie della matematica classica devono essere formalizzate. 2.La Matematica è il complesso di questi sistemi formali. 3.Giustificare la matematica vuol dire dimostrare la non-contraddittorietà della Matematica e… 4.…essa viene dimostrata nella metamatematica, la quale dispone di quegli strumenti logici e deduttivi che sono ammessi nella matematica finitista (cioè che poggia sullintuizione finitaria)

29 Gödel Nel 1928 Hilbert aveva sollevato la questione circa la completezza della teoria dei numeri. Gödel dimostrò che non solo non era completa ma che era anche, in un senso ben definito, incompletabile Il teorema di Gödel non portò al tramonto bensì alla riformulazione del programma hilbertiano (oggi continuato col nome di proof theory).

30 Bibliografia La filosofia della matematica del 900 di E. Casari Filosofia della matematica di G. Lolli I principi della matematica di B. Russell La scienza e lipotesi di J.-H. Poincaré Le geometrie non euclidee di E. Agazzi e Palladino La rivoluzione non euclidea di R. Trudeau


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