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1 Quarks e gluoni; colore, QCD e violazione dello scaling; la running coupling constant s (q 2 ). Capitolo III Bibliografia: - F.Halzen, A.D.Martin, Quarks.

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1 1 Quarks e gluoni; colore, QCD e violazione dello scaling; la running coupling constant s (q 2 ). Capitolo III Bibliografia: - F.Halzen, A.D.Martin, Quarks & leptons, Wiley & Sons, 1984 cap. 9 e 10 - P. Renton, Electroweak interactions, Cambridge Univ.Press,1990 cap. 7 - W.E. Burcham, M.Jobes, Nuclear and Particle Physics, Longman 1995, cap R. Devenish, A. Cooper-Sarkar, Deep Inelastic Scattering, Oxford Univ. Press, 2004, cap. 3

2 2 QCD e violazione dello scaling I nucleoni sono stati legati di quarks che interagiscono fortemente [ in aggiunta cioe all interazione e.m., che e piccola; essa e responsabile, ad esempio, della piccola differenza di massa tra il neutrone: n = |ddu> ed il protone p = |uud>: m n -m p (939.6 – 938.3) MeV 1.3 MeV l energia di legame e.m. (negativa) necessaria per tenere insieme i quark nel volume del nucleone, e in valore assoluto maggiore per il protone (cariche dei quark q=2/3,2/3,-1/3) che per il neutrone (cariche q= -1/3,-1/3,2/3) ]. Linterazione forte tra quark, portatori di una carica forte detta convenzionalmente di colore (per distinguerla dal fIavour, sapore, che e associato all interazione debole) avviene attraverso lo scambio di mediatori, detti gluoni (elettricamente neutri: essi non sono visti dallo scattering eN) portatori anchessi di carica forte: i gluoni sono cioe colorati (a differenza del fotone, che non ha carica e.m.)

3 3 Storicamente, la necessita di un ulteriore numero quantico di colore (che differenzia cioe tre ulteriori possibili stati per un quark up o down: u R, u Y, u B, d R, d Y, d B rosso, giallo, blu ) era sorta dall interpretazione degli adroni osservati nella spettroscopia adronica (includendo le particelle dotate di numero quantico di stranezza, come mesoni K) come multipletti del gruppo di simmetria SU (3) flavor (che generalizza la simmetria SU(2) di isospin): QCD e violazione di scaling Modello a quark degli adroni ( eightfold way, che prende il nome dal multipletto, un ottetto, di stati con masse piu basse), proposto inizialmente da Gell-Mann [Phys.Lett.8(1964), 214] e indipendentemente da Zweig [CERN report TH401,1964]: Gli adroni (mesoni: spin intero: 0, 1; barioni: spin semintero: 1/2, 3/2 ) sono stati quantici appartenenti a rappresentazioni del gruppo di simmetria SU(3), costruiti a partire da un tripletto di stati di quark : up (u), down (d), stange (s).

4 4 La simmetria SU(3) flavor estende a due numeri quantici (l isospin I e la Stranezza S ) il concetto di invarianza delle interazioni forti osservata rispetto alla carica elettromagnetica (invarianza di isospin: il protone: |p> (I 3 =1/2) e il neutrone |n> (I 3 =-1/2) hanno la stessa interazione forte all interno dei nuclei, ed hanno la stessa massa (a parte piccole correzioni di origine e.m.). Ad esempio, gli 8 barioni di spin ½ piu leggeri osservati in natura, stabili rispetto all interazione forte ( a parte il protone, decadono tutti per interazione debole con vita media > s): p, n, sono membri di un unico ottetto rappresentazione di SU(3) QCD e violazione di scaling I3I3 Y=B+S 1 0 ddu=nuud=p 0, m 940 m 1150 m 1320 numero barionico stranezza

5 5 QCD e violazione di scaling La simmetria SU(3) flavor e rozzamente rotta, nel senso che membri di uno stesso multipletto hanno masse molto diverse (mentre membri dello stesso multipletto di SU(2), le linee orizzontali ad ipercarica Y = costante nei diagrammi, hanno masse circa uguali); tuttavia lo schema di assegnazione dei numeri quantici funziona molto bene e il modello ha avuto un notevole potere predittivo nello stabilire l esistenza di nuovi stati quantici. -3/ /2 0 1/2 1 3/2 I Y - =ddd ++ =uuu (1232) (1380) (1530) (1670) dds sss dss uus uss La particella - (scoperta nel 1964) fu predetta sulla base del modello a quark e della differenza di massa costante ( 150 MeV) tra i multipletti costituiti da particelle di egual stranezza. Ad esempio, i barioni di spin 3/2 (essi non sono stabili rispetto alle interazioni forti (a parte - ): decadono con vita media s ) appartengono ad un decupletto

6 6 Il modello pero prevede stati (effettivamente osservati) ai vertici del decupletto nel diagramma (I 3,Y) : ++ (1232) = |uuu>, - (1232) = |ddd>, - (1672) = |sss> nei quali i tre quark indistinguibili sono tutti nello stesso stato quantico (con spin allineati s z =+1/2). Cio e in contrasto con il principio di esclusione di Pauli, e richiede l introduzione di un ulteriore numero quantico (la carica di colore) per differenziare i fermioni costituenti; per cui, ad esempio: ++ (1232) = |u R u Y u B > QCD e violazione dello scaling Evidenze sperimentali dell esistenza del colore provengono dalla misura del rapporto R alle alte energie dei collisori e+e- : (come vedremo in seguito: R N C, numero di cariche di colore) e dalla misura della frequenza di decadimento del mesone 0.

7 7 La teoria di campo che descrive linterazione forte e la Cromo Dinamica Quantistica (QCD), sviluppata in stretta analogia con la QED, ma ponendo alla base della teoria il gruppo di simmetria (non abeliano) SU(3) color al posto del gruppo abeliano U(1) rispetto al quale e invariante la QED. QCD e violazione dello scaling La QED e invariante rispetto alla trasformazione locale di gauge [cfr. (1.5), (1.5)]: (dove, ricordiamo, e e la carica elettrica del fermione e A e il campo del fotone ) e la dinamica e introdotta dalla derivata covariante inserita nella lagrangiana del sistema: (1.5) La QCD postula l invarianza per la trasformazione di gauge: (3.1) ( i=1,2,3 indice di colore a=1,2..8 indice dei campi gluonici ) (la somma sugli indici ripetuti a e b e sottintesa)

8 8 QCD e violazione dello scaling l invarianza della QED rispetto ad una moltiplicazione di fase (gruppo di simmetria U(1)) e generalizzata in QCD all invarianza rispetto ad una rotazione nello spazio dei 3 gradi di liberta di colore. Le quantita i in (3.1) sono 3 campi spinoriali: (q e il quark di sapore generico: q =u, d, s …) e la matrice U e la generica matrice di rotazione 3X3 del gruppo SU(3): dove le matrici 3x3 a sono gli 8 generatori del gruppo SU(3): a (x) sono funzioni arbitrarie delle 4-coordinate e e la carica forte (analogo della carica elettrica in QED). (3.2)

9 9 QCD e violazione dello scaling Al posto del fotone, associato all unico generatore del gruppo U(1), esistono 8 campi mediatori gluonici G a (x) associati agli 8 generatori del gruppo SU(3) e le costanti f abc che compaiono nella trasformazione di gauge dei campi [seconda eq. in (6.1)] sono le costanti di struttura di SU(3), che definiscono completamente l algebra dei generatori di SU(3): [ a, b ] = i c f abc c [per una piu dettagliata discussione, si veda ad es. Renton, cap.2 e 7]. q i (x) q j (x) G a (x) ig a ij La derivata covariante che introduce, garantendo l invarianza di gauge della lagrangiana, l interazione tra i campi spinoriali dei quark ed i gluoni e ora: I quarks interagiscono scambiandosi gluoni colorati; al vertice di interazione la quantita ig a ij sostituisce i e che compare in QED [cfr. (1.10)] i,j=R,Y,B a=1,..8 (3.3) QCD: e- A (x) ie QED: e-

10 10 QCD e violazione dello scaling Una fondamentale differenza tra la teoria abeliana di QED e le teorie di gauge non abeliane (QCD per linterazione forte, QEWD (vedi dopo) per l interazione elettro-debole) e l esistenza in queste ultime di auto-interazione tra i mediatori, con vertici, ad esempio, a 3 gluoni: G a (x) igf abc [ g (p 1 -p 2 ) + g (p 2 -p 3 ) +g (p 3 -p 1 ) ] G b (x) G c (x) e a 4 gluoni [ per maggiori dettagli, vedi Renton, app.C] G a (x) G b (x) G d (x) G c (x)

11 11 QCD e violazione dello scaling L esistenza di gluoni e la dinamica gluoni-quark descritta dalla QCD modifica lo scenario di invarianza di scala delle funzioni di struttura del nucleone predetto dal modello a partoni. Nel DIS, la collisione head-on tra il fotone (virtuale) di momento q 2 ed il quark: viene sostituito da un processo piucomplesso, che implica la radiazione di gluoni e la produzione di jets con p T non nullo rispetto alla direzione del fotone. nucleone q2q2 xP * P quark Un quark q(x) visto con momento xP dal fotone virtuale puo provenire da un altro quark di momento frazionario y > x che ha irradiato un gluone di momento (y-x)P. processo di scattering Compton: *q q g nucleone q2q2 zyP=xP * P quark yP G

12 12 QCD e violazione dello scaling q2q2 zyP=xP * quark yP G Puo inoltre accadere che ad un gluone di momento yP occorra un processo di scattering su un quark di momento (x-y)P, prima che questi venga diffuso dal fotone (x-y)P In definitiva, le densita partoniche q(x) dipendono dalle densita dei quark e dei gluoni per momenti frazionari y>x e dalle probabilita dei processi di radiazione P qq (x/y) e di diffusione gluone-quark P gq (x/y), dette funzioni di splitting. Queste sono determinate dalla dinamica dell interazione e quindi calcolabili nell ambito della QCD perturbativa. Esse dipendono ovviamente dalla costante di accoppiamento forte s (q 2 ) g 2, che e funzione del momento trasferito q 2 (tale funzione e anchessa calcolabile dalla QCD, utilizzando le equazioni del gruppo di rinormalizzazione, come vedremo in seguito).

13 13 QCD e violazione dello scaling Possiamo riscrivere le funzioni di struttura del modello a partoni nella forma [cfr. (2.6)]: che rende evidente il fatto che nella sezione durto totale viene selezionato, tra tutti i possibili momenti frazionari y del quark nel nucleone, quello tale da soddisfare la condizione di elasticita per lo scattering partonico: y=x=-q 2 /M Le funzioni sono modificate dalla sezione durto per un quark di momento y>x di subire un processo di scattering Compton gluone-quark tale da fornirgli esattamente il momento finale zy=x : (3.4)

14 14 QCD e violazione dello scaling In processo di scattering Compton gluone-quark e simile al processo di diffusione Compton e.m.: *q q e puo essere calcolato a partire dalla sezione d urto di QED: p * quark p kk p * p q kgluone k q k p *(k) q(p) *(k) q(p) *(q) q(p) q(p)g(k) u=(k-p) 2 t=(q-p) 2 con C F = 3 fattore di colore processo con propagatore fermionico [vedi Halzen, cap.7; cfr. scattering Mott eq eq, processo con propagatore fotonico, dato da (1.16) : ] (3.5) s=(p+q) 2

15 15 QCD e violazione dello scaling Considerando l angolo di scattering del quark rispetto al fotone, per il momento trasverso del quark (a un fissato p) si ha: dp T 2 =d(p 2 sin 2 )=2p 2 sin cos d =2p 2 d(cos )=(s/2)dcos p * quark gluone 1 ( piccoli, t<

16 16 QCD e violazione dello scaling Integrando su p T 2, si ottiene: cut-off per divergenza infrarossa che va inserita nella espressione (3.4) per la funzione di struttura : (3.7) dove si e ridefinito: valore fissato z=x/y quark yP xP=zyP = p 2 Tmax e Q 2 = -q 2

17 17 QCD e violazione dello scaling In definitiva la QCD prevede che la funzione di struttura F 2 (x)/x sia funzione sia di x che di Q 2 =-q 2, e levoluzione delle densita partoniche con Q 2 sia: Questa equazione integro-differenziale e incompleta, perche non tiene conto del processo di gluon-quark splitting: q2q2 zyP=xP * quark yP gluone (x-y)P ma solo di quello di quark-gluon bremstrahlung: p * quark p q k gluone

18 18 QCD e violazione dello scaling Considerando entrambi i processi, si ottiene leq. completa integro- differenziale di Altarelli-Parisi: dove si e introdotta, insieme alla densita partonica q(x,Q 2 ), anche la densita gluonica g(x,Q 2 ); la funzione di splitting gluone-quark e data da: (3.8) La (3.8) va complementata da un equazione di evoluzione analoga per g(x,Q 2 ): (3.8) [ per le espressioni complete delle funzioni di splitting P qg e P gg, si veda Renton, cap.7 ]

19 19 QCD e violazione dello scaling La QCD prevede dunque la violazione dell invarianza di scala di Bjorken; cio e confermato dalle misure sperimentali nello scattering eN: e da quelle relative allo scattering N: [dall esperimento BCDMS, Phys.Lett.223B,490] [dall esperimento CDHS al Cern, De Groot et al.(1979); si ricordi: ] F 2 eN F 2 N

20 20 Running coupling constant: S (Q 2 ) La costante di accoppiamento S che compare nelle equazioni di evoluzione delle densita partoniche di Altarelli-Parisi e dipendente dal momento trasferito nel processo: S = S (Q 2 ). Tale dipendenza e dovuta alle correzioni perturbative di ordine superiore (nella costante di accoppiamento) al propagatore del mediatore dell interazione (il gluone, per la QCD): gluone L effetto e analogo alla rinormalizzazione della carica elettrica in QED, ma con alcune importanti differenze che vedremo.

21 21 Rinormalizzazione della carica elettrica in QED: QED (Q 2 ) In QED, l ampiezza di scattering, ad esempio, e-e- e-e-, completa a tutti gli ordini perturbativi e data dai diagrammi: ~ e 2 ~ e 6 ~ e 4 [nella teoria perturbativa per lo scattering e.m. sviluppata nel cap. I, abbiamo considerato solo il primo diagramma] Il propagatore nell elemento di matrice di transizione viene modificato; limitandoci al 2 o termine in 2 : p p q e e e e k dove il loop fermionico nel propagatore e calcolabile integrando su tutti i possibili 4-impulsi k del fermione

22 22 Rinormalizzazione della carica elettrica in QED: QED (Q 2 ) Si ottiene [ per maggiori detagli, vedi Devenish, cap. 3]: con: ( 0 =e 2 /4 ) Lintegrale diverge per |k| (divergenza ultravioletta) e viene controllato da un parametro di cut-off, che verra riassorbito, come vedremo, nella ridefinizione (rinormalizzazione) della carica elettrica. In definitiva, si ha la seguente modifica nel propagatore introdotta dal 2 o termine perturbativo: e l ampiezza di transizione e esprimibile in termini dell ampiezza A 0 (q 2 ) calcolata dal diagramma lowest order (anche detto tree-level) dove per comodita si e introdotto:

23 23 Rinormalizzazione in QED: QED (Q 2 ) Inserendo i contributi negli ordini successive (diagrammi a piu loops), si ottiene la serie geometrica: L ampiezza completa a tutti gli ordini perturbativi e esprimibile tramite l ampiezza al primo ordine in, moltiplicata per la costante di accoppiamento rinormalizzata: (3.9) ossia: (3.9) L espressione (3.9) non include tutte le possibili correzioni al propagatore, ma la classe di correzioni piu importanti, detta leading logs (LL).

24 24 Rinormalizzazione in QED: QED (Q 2 ) Va notato inoltre che a priori la ridefinizione della carica elettrica e affetta anche dai contributi esterni al propagatore fotonico: Tuttavia si dimostra, come conseguenza della invarianza di gauge della teoria, che i contributi (b) + (c) si cancellano col contributo (a) (identita di Ward- Takashi in QED; estesa alle teorie di gruppo non abeliane (e.g. la QCD) da Slavnon-Taylor) L invarianza di gauge di una teoria di campo e essenziale per garantirne la rinormalizzabilita, ossia la possibilita di riassorbire le divergenze ultraviolette in un unica ridefinizione della costante di accoppiamento.

25 25 Rinormalizzazione in QED: QED (Q 2 ) Negli esperimenti, cio che si misura e (Q 2 ) ad una certa scala di momento trasferito (ad esempio, nello scattering Thomson e-e- e-e- o nell esperimento che misura il Lamb-shift nella struttura iperfina dell atomo di idrogeno : (Q 2 = 2 1eV)=1/137 ). Queste misure vanno correlate con le misure a scale diverse (ad esempio Q 2 =M Z 2 = (91 GeV) 2 ); dalla (3.9): La relazione tra i due valori e dunque esattamente predetta dalla teoria ed e indipendente dalla divergenza ultravioletta (il valore di cut-off nell integrale dei loop fermionici interni al propagatore del fotone) che e riassorbita nella costante di accoppiamento rinormalizzata. Dalla (3.10): (3.10)

26 26 Rinormalizzazione in QED: QED (Q 2 ) La costante di accoppiamento equindi una running coupling constant; In QED, essa cresce logaritmicamente con l impulso trasferito. [ Qualitativamente, la cosa puo essere spiegata dalla polarizzazione del vuoto: le coppie virtuali e+e- che si formano agiscono come i dipoli di un dielettrico, schermando la carica elettrica nuda. Quanto piu ci si avvicina ad essa, aumentando il momento trasferito nello scattering, tanto maggiore e la carica elettrica vista nell interazione.] e- e+ e- A Q 2 =M Z GeV 2 :

27 27 QCD: s (Q 2 ) In QCD il meccanismo e analogo, ma con l importante differenza che i gluoni sono portatori di carica di colore: non esiste il corrispettivo in QED Risulta che il loop gluonico contribuisce per un fattore (11/4 )ln(Q 2 / ) e per ognuno degli n f quarks che alla scala di Q 2 considerata possono essere creati (m f 2 < Q 2 /2) vi e un fattore –(1/6 ln(Q 2 / ). In definitiva per la costante di accoppiamento forte si ha: (3.11) dove si e posto n f =5 (ci sono 5 flavours di quark: q = u,d,s,c,b, se si considerano le scale 2,Q 2 >m b 2 25 GeV 2 )

28 28 QCD: s (Q 2 ) La costante S decresce col momento trasferito (liberta asintotica), e varia molto piu rapidamente di QED. Dallo studio dello spettro degli stati legati del charmonio (stati legati ): S (m c 2 (3GeV) 2 ) 0.25 Allora: Tale predizione e verificata molto bene sperimentalmente (dalle misure di S (M Z 2 ) ottenute, ad esempio, dalla forma degli eventi di decadimento adronico della Z: Z qq ; tale forma dipende dal numero di gluoni irradiati dai quarks nello stato finale, che dipende da S ). [ in realta si dovrebbe calcolare una doppia propagazione: (m c 2 ) (m b 2 ) con b 0 (n f =4)=0.66, e (m b 2 ) (m Z 2 ) con b 0 =0.61; la differenza e piccola ]

29 29 s (Q 2 ) e QCD La dipendenza (3.11) di S (Q 2 ) puo essere riformulata introducendo il parametro dimensionale QCD : (3.11) dove: ovvero: Con tale definizione, la (3.11) da: In definitiva: relazione che permette di calcolare S senza alcun riferimento ad una scala prefissata 2 (ovviamente QCD viene determinata dalla misura di ( 2 ) ad una certa scala; il best fit ai dati da : QCD = (205 15) MeV)

30 30 DIS: targhetta fissa vs collisori La regione cinematica nel piano (x,Q 2 ) accessibile agli esperimenti e limitata, ad alti Q 2, dall energia disponibile nel CM; a bassi valori di x, dal minimo valore misurabile dell angolo di diffusione dell elettrone. La regione fisica accessibile e quella al di sotto della retta che da il limite cinematico y= (E-E)/E = 1 (ossia, la linea dell urto massimamente anelastico in cui E=0, E adr =E) In tale situazione: E importante salire con l energia nel CM gli esperimenti con due fasci collidenti permettono di sondare momenti trasferiti molto maggiori che non gli esperimenti con targetta fissa. Esperimenti al collisore e-p HERA Esperimenti su targhetta fissa eN CERN, FNAL ( N)

31 31 DIS al collisore e-p HERA Confrontiamo diverse situazioni sperimentali: CERN, FNAL: scattering su N, E beam =200 GeV HERA (Desy, Amburgo): Collisore e-p, E p =920 GeV, E e = 27.5 GeV SLAC: scattering eN, E e =20 GeV

32 32 Hadron-Electron Ring Accelerator (HERA) lunghezza 6.3 Km E e = 27.5 GeV, E p =920 GeV 2 esperimenti principali: ZEUS, H1 Il CM viaggia nel sistema del laboratorio => rivelatori asimmetrici Il rivelatore ZEUS [Z.Phys. C72, 399] e- p 22 m

33 33 Evento di DIS in H1: Il rivelatore H1 [Nucl.Instr.Meth. A386, 310 (1997)] DIS a HERA Distribuzioni cinematiche in ZEUS: angolo del jet adronico

34 34 DIS a HERA La estensione della misura delle densita partoniche rispetto agli esperimenti a targhetta fissa e notevole: Importante per: -verifiche di QCD a piu alta scala -determinazione delle funzioni di densita partoniche (PDF) dei quarks anche a bassi valori di x (importante per le predizione dei processi di fisica, ad esempio pp-> tt, pp->Z/W+ X, pp -> Higgs+ X… ai collisori adronici come il Tevatrone e LHC (vedi seguito) esperimenti con targhetta fissa (SLAC,CERN,FNAL)

35 35 Evoluzione delle PDF L evoluzione delle PDF predetta dalla QCD con l ausilio delle eq. integro-differenziali di Altarelli-Parisi (eq.3.8) sono confrontabili con i risultati sperimentali in un largo intervallo di Q 2 e x; il confronto e buono in regime di QCD perturbativa (Q 2 >> QCD )

36 36 S (Q 2 ) e multi-jets La produzione di multi-jets e sensibile al valore di S S (Q 2 ) Evento di di-jets in H1: Cosi pure la sezione durto differenziale d /dE T jet : buon accordo con le misure di LEP negli eventi Z qq

37 37 S (Q 2 ) e multi-jets La molteplicita dei jets e stata misurata anche ai collisori e+e-: Evento e + e - Z q q + gluone al LEP ( ; esperimento DELPHI) e+e+ e-e- Z/ g S La definizione di jets (e quindi di eventi a jets) dipende dall algoritmo e dai parametri che regolano la clusterizzazione delle particelle (gli oggetti misurati sono gli adroni che emergono dal processo di frammentazione del quark o del gluone originario)

38 38 Frammentazione dei jets Il processo di produzione degli adroni, con la frammentazione dei jets primari (i quarks e i gluoni), comprende varie fasi: Processo elettro -debole (QEWD), ben noto (vedi seguito) Processo di QCD, trattabile a livello perturbativo informazione su s adronizzazione (formazione degli adroni in regime non perturbativo), descritto da modelli fenomenologici (es.parton shower); non modifica sostanzialmente le distribuzioni dei jets primari decadimenti deboli degli adroni instabili

39 39 S (Q 2 ) e multi-jets Esempio: algoritmo di ricombinazione basato sulla variabile: energia totale visibile nellevento ij Le particelle vengoni ricombinate, attuando la sostituzione (p i,p j ) p k =p i +p j recursivamente, finche tutte le pseudo-particelle hanno y km > y cut parametro fissato a priori Le pseudoparticelle rimanenti sono i jets dell evento; Le frequenze R(n-jets) = N(n-jets)/N tot eventi sono funzione di y cut

40 40 S (Q 2 ) e multi-jets Ai diversi collisori e+e- (PEP, PETRA, TRISTAN, LEP) che hanno operato a diverse energie, la frequenza di eventi a 3-jets per un fissato valore del parametro di ricombinazione varia con lenergia nel CM della collisione Cio e diretta conseguenza della dipendenza di S (q 2 )


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