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1 Lezione 2 Caratteristiche fondamentali delle particelle: massa momento angolare e spin carica e momento magnetico.

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Presentazione sul tema: "1 Lezione 2 Caratteristiche fondamentali delle particelle: massa momento angolare e spin carica e momento magnetico."— Transcript della presentazione:

1 1 Lezione 2 Caratteristiche fondamentali delle particelle: massa momento angolare e spin carica e momento magnetico

2 2 Particelle elementari Le particelle elementari possono essere classificate sulla base di diverse loro caratteristiche: Massa Spin o momento angolare intrinseco classificazione in bosoni e fermioni ( simmetria della funzione donda associata) carica elettrica momento di dipolo magnetico tipo/i di interazione a cui è soggetta una particella classificazione in bosoni mediatori e particelle di materia (leptoni, adroni, quark)

3 3 La massa di una particella o di un nucleo è definita come la sua energia nel sistema di riferimento in cui essa/o è a riposo: E = mc 2 Un sistema composto da più particelle (come un nucleo) ha una massa pari a: Mc 2 = (m i c 2 ) + E int dove E int è lenergia di interazione del sistema. Per un nucleo che contiene Z protoni e N neutroni avremo: M(Z,N) c 2 = (Zm p + N m n )c 2 – B perchè lenergia di un sistema legato è negativa. Massa

4 4 Momento angolare orbitale e spin Lo spin o momento angolare intrinseco è un concetto puramente quantistico che non ha un equivalente classico. Il momento angolare orbitale è cosi definito: Classicamente esso può assumere qualunque valore. Quantisticamente invece può assumere solo determinati valori e orientazioni nello spazio. Ricordiamo che, poichè loperatore impulso è rappresentabile come: allora gli operatori quadrato e terza componente del momento angolare saranno dati dalle espressioni seguenti:

5 5 Tali operatori soddisfano alle regole di commutazione seguenti: [ L x,L y ] = i L z [ L z,L x ] = i L y in breve: [ L i,L j ] = i ijk L k [ L y,L z ] = i L x [ L 2,L i ] = 0 i=x,y,z La funzione donda di una particella avente momento angolare definito è autofunzione di L 2 e di L z e ha i seguenti autovalori: L 2 Y lm = ħ 2 l(l+1) Y lm l Є N L z Y lm = ħ m Y lm m Є Z e –l m +l Pertanto i valori accessibili al momento angolare e alla sua terza componente sono quantizzati. La condizione che le funzioni sulle quali si applicano tali operatori siano periodiche per φ φ+ 2 porta ad escludere momenti angolari semiinteri. Momento angolare orbitale (continua)

6 6 Quando il sistema è composto da più particelle, i momenti angolari si sommano tra loro in un unico momento angolare le cui componenti sono date dalla somma delle singole componenti dei momenti angolari individuali. Per la somma vale la regola seguente: dalla composizione dei momenti angolari di due particelle descritte rispettivamente dai numeri quantici: L 1 M 1 e L 2 M 2 possiamo ottenere uno stato con i numeri quantici seguenti: L M tali che: L 1 - L 2 L L 1 + L 2

7 7 Spin Se invece consideriamo un operatore vettoriale S dotato di relazioni di commutazione identiche a quelle delloperatore L, ma che sia rappresentato da matrici che operano su uno spazio con base discreta, è possibile ottenere anche valori semiinteri. Le regole di commutazione delloperatore sono quelle usuali: [ S x,S y ] = i S z [ S z,S x ] = i S y in breve: [ S i,S j ] = i ijk S k [ S y,S z ] = i S x [ S 2,S i ] = 0 i=x,y,z Le matrici di Pauli sono una possibile rappresentazione e servono a rappresentare il numero quantico dello spin per le particelle a spin ½:

8 8 Spin (continua) m s = ± ½ S i = ½ i S 2 ha autovalore s(s+1) = ½ ( ½ +1) = ¾ ed S 3 (o S z ) ha due autovalori possibili: Loperatore di spin sarà cosi definito: Per ogni valore di s (intero o semiintero) è possibile trovare una rappresentazione matriciale di dimensione 2s+1. Lo spin è dunque considerabile come un momento angolare intrinseco in quanto è unosservabile avente tutte le caratteristiche di un momento angolare ma che non opera sullordinario spazio tridimensionale. Lo spin si somma al momento angolare orbitale a dare il momento angolare totale J della particella: J = L + S

9 9 Spin (continua) La composizione di due particelle di spin 1/2 fornisce due stati possibili, uno di tripletto di spin e uno di singoletto di spin: S 1 = 1/2 M S1 = 1/2 S 2 = 1/2 M S2 = 1/2 S = S 1 + S 2 - S 1 - S 2 S S 1 + S 2 1) S = 0 -S M S +S M S = 0 un solo stato possibile: STATO DI SINGOLETTO DI SPIN 2) S = 1 -S M S +S M S = 0, 1 tre stati possibili: STATO DI TRIPLETTO DI SPIN 0101

10 10 Quantizzazione dello spin Lelettrone sarà soggetto pertanto a una forza F diretta lungo z: F z = - U/ z = B/ z Lesperimento dimostra che gli elettroni vengono separati in due fasci discreti, uno diretto in alto e laltro in basso. Questo indica che il momento magnetico è quantizzato e poichè il momento magnetico è proporzionale allo spin, ciò significa che anche lo spin può assumere solo valori discreti. La quantizzazione del momento angolare è stata dimostrata dallesperimento di Stern e Gerlach (1922). Un fascio di elettroni (nel caso dellesperimento originario si trattava di atomi dAg) di energia nota vengono fatti passare attraverso un campo magnetico non uniforme in intensità ma di direzione costante (ad esempio lungo z). Lenergia potenziale del momento magnetico dellelettrone nel campo magnetico B, diretto lungo z è: U = - · B

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12 12 Classificazione delle particelle in base allo spin BOSONI: particelle a spin intero, lo sono tutte le particelle mediatrici di forza e i mesoni Es. fotone mediatore dellinterazione elettromagnetica (S=1) bosoni Z 0, W ± mediatori dellinterazione debole (S=1) gluoni (i=1,…,8;mediatori dellinterazione forte S=1) mesoni: pioni ( ) e Kaoni (S=0),, (S=1) FERMIONI: particelle a spin semi-intero; tutte le particelle materiali stabili sono fermioni; esistono anche fermioni non stabili Es. elettrone, protone, neutrone, quarks (S= ½) particelle stabili particella instabile

13 13 Funzione donda - Spin Esiste un importante legame tra lo spin e il comportamento della funzione donda che descrive un sistema a N particelle. La funzione donda che descrive N bosoni è simmetrica per scambio di due particelle, quella che descrive N fermioni è invece antisimmetrica: (1,2) = + (2,1) simmetrica – bosoni (1,2) = - (2,1) antisimmetrica – fermioni Da ciò consegue il principio di esclusione di Pauli per i fermioni. Preso un sistema di N fermioni identici (= con gli stessi numeri quantici), la funzione (1,2) dovrebbe essere uguale allopposto di se stessa e pertanto un simile sistema non può esistere. I fermioni devono avere almeno un numero quantico che li differenzia (ad es. la terza componente dello spin, spin up e spin down).

14 14 Carica elettrica La carica elettrica è quantizzata, in multipli interi della carica elementare che è quella dell'elettrone (q e = C) La carica della particella fa sì che essa venga accelerata da un campo elettrico e, se essa è anche in moto, deflessa da un campo magnetico in seguito alla forza di Lorentz: Parte elettrica: Parte magnetica: la componente v rimane inalterata la componente v viene modificata in direzione non in modulo

15 15 Momento di dipolo magnetico Una particella carica dotata di momento angolare L, si comporta ruotando come una spira percorsa da corrente e genera pertanto un campo magnetico, descritto da un momento di dipolo magnetico : n r iSn

16 16 In meccanica quantistica, loperatore di momento angolare L 2 applicato ad un autostato fornisce autovalori ħ 2 l(l+1); quindi L è esprimibile in unità di ħ, che può essere fattorizzata. Lavorando inoltre in unità di Gauss, la costante di proporzionalità tra e L diventa quindi: (q=Ne dove e è la carica dellelettrone) Momento di dipolo magnetico (continua) Se m è la massa dellelettrone, prende il nome di magnetone di Bohr ( B ) e ha il valore: = e ħ / 2m e c = · MeV Gauss -1 MAGNETONE DI BOHR Se m è la massa del protone prende il nome di magnetone nucleare ( N ) e ha il valore: = e ħ / 2m p c = · MeV Gauss -1 MAGNETONE NUCLEARE MAGNETONE

17 17 Momento di dipolo magnetico (continua) Prendiamo ora una particella carica dotata solo di spin e con momento angolare orbitale nullo. Se lo spin potesse essere immaginato come un semplice moto di rotazione di un corpo rigido su se stesso, allora ci si potrebbe attendere che la stessa relazione dovrebbe legare il momento magnetico e lo spin, cioè: S = S Non è invece cosi e la relazione che lega S e S è : S = g S S dove g S è chiamato rapporto giromagnetico della particella. Per particelle di spin 1/2 senza struttura tale rapporto può essere ricavato dallequazione di Dirac. Uno dei maggiori successi della teoria di Dirac fu appunto la predizione del rapporto giromagnetico dellelettrone (g S = ) misurato successivamente.

18 18 In generale per una particella dotata di momento angolare orbitale e di spin, il momento di dipolo è dato dalla relazione: g L L + g S S ) dove g L = q/e = N Esso dipende pertanto non soltanto da L e da S ma anche dalla loro orientazione relativa. Il momento di dipolo magnetico della particella ci fornisce laccoppiamento con un campo magnetico esterno B attraverso una hamiltoniana: H int = - B Momento di dipolo magnetico (continua)


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