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1 Risposta dinamica degli strumenti (PRONTEZZA) Esprime la capacità di uno strumento a seguire e misurare una grandezza variabile nel tempo. comportamento.

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1 1 Risposta dinamica degli strumenti (PRONTEZZA) Esprime la capacità di uno strumento a seguire e misurare una grandezza variabile nel tempo. comportamento ideale

2 2 esempio di comportamento reale -1,5 -0,5 0 0,5 1 1,5 123 tempo x(t),y(t)/k x(t) y(t)/k 0

3 3 COMPORTAMENTO DINAMICO DEGLI STRUMENTI idealmente: y(t) = k x(t)idealmente: y(t) = k x(t) in realtà: lo strumento insegue le variazioni del misurando, riproducendole con un certo grado di approssimazione, che dipende dalle sue caratteristiche dinamichein realtà: lo strumento insegue le variazioni del misurando, riproducendole con un certo grado di approssimazione, che dipende dalle sue caratteristiche dinamiche

4 4 Si suppone lo strumento LINEARE, dunque è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. In questa situazione non è necessaria la taratura per tutti i segnali possibili: ognuno può essere scomposto in somma o integrale di segnali semplici. Data lipotesi di linearità, la risposta al segnale complesso è la somma delle risposte ai segnali semplici in cui quello complesso è scomponibile.

5 5 s = segnale r = risposta s s semplice r r semplice

6 6 Segnali semplici più comuni: sinusoide sinusoide gradino gradino impulso impulso rampa rampa t t t t

7 7 Studio del comportamento dinamico degli strumenti: due possibilità ANALITICA: è nota lequazione dello strumento (si tratta comunque di un modello, di una semplificazione, non è una descrizione completa dello strumento) SPERIMENTALE: non è nota lequazione dello strumento o è troppo complessa; è comunque la via più sicura per eseguire una TARATURA DINAMICA

8 8 Se lo strumento è lineare lequazione che lo descrive è unequazione differenziale a coefficienti costanti: Ove: q o = output q i = input t = tempo a,b = coefficienti costanti (1) Studio analitico: presuppone la creazione di un modello

9 9 Definendo per semplicitàsi ha: La soluzione di questa equazione è stata studiata in modo sistematico con diversi metodi (ad es. la trasformata di Laplace). Secondo lapproccio classico la soluzione è del tipo: q o =q og +q op q og = integrale generale dellomogenea associata q op = integrale particolare dellequazione completa (2)

10 10 q og ha n costanti iniziali che si ricavano imponendo altrettante condizioni iniziali. E la soluzione della: Ove loperatore D è trattato come unincognita algebrica. Il metodo per trovare q og è universale. q op è lintegrale particolare. Il metodo per ricavarlo non è universale, dipende da q i. Si possono cercare dei valori di q i tali per cui sia facile trovare q 0p. Assegnato q i lespressione a destra delluguale in (1) è una f(t).

11 11

12 12 Si può derivare ripetutamente questa funzione. Se le derivate non crescono in valore oltre un certo ordine si può scrivere: Ove A, B, C si ricavano imponendo che la (1) sia unidentità (non contano le condizioni iniziali).

13 13 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (TF) TF IN OUT La TF che lega qo a qi è definita trattando lequazione (2) come se fosse una relazione algebrica e facendo il rapporto Sottolinea che è una relazione generale e non riguarda solo un dato istante

14 14 10 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (TF) IN OUT qiqiqiqi qoqoqoqo Questo è un discorso di validità generale. Vale solo se limpedenza di ingresso del blocco a valle è >> dellimpedenza di uscita di ciò che sta a monte

15 15 La funzione di trasferimento può assumere espressioni diverse a seconda delle tecniche di analisi impiegate per ottenerla e valutarla. Le due vie più percorse sono quelle della TRASFORMATA DI LAPLACE più utilizzata in ambito elettronico TRASFORMATA DI FOURIER più utilizzata in ambito meccanico, che vede, sotto ipotesi abbastanza larghe, ogni segnale come somma di sinusoidi. Se vale quanto già detto sulla linearità del sistema considerato, ci si può concentrare sulla risposta alla singola sinusoide

16 16 FUNZIONE DI TRASFERIMENTO SINUSOIDALE La funzione di ingresso (input) è del tipo: q i =A i sin t se si aspetta un tempo sufficiente (gli effetti del transitorio svaniscono), anche q o è unonda sinusoidale. Cambia però lampiezza e ci può essere ritardo. La risposta del sistema è proprio individuata da queste due quantità. Si può agire a) cercando la soluzione particolare dellequazione dello strumento ponendo: f

17 17 12 b) sfruttando la funzione di trasferimento in frequenza: Per ogni pulsazione è un numero complesso del tipo tale che: Con A o =ampiezza output A i =ampiezza input è la fase tra i due segnali è la fase tra i due segnali

18 18 funzione di trasferimento in frequenza (armonica): ReIm Acos Acos Asin Asin ReIm A i e i t t A o e (i t)+ A o e (i t)+ Lobiettivo ideale sarebbe, dato un certo ingresso sinusoidale, avere unuscita pure sinusoidale con un fattore di amplificazione costante al variare della frequenza e con sfasamento nullo (si vedrà poi che sulla fase è possibile adottare regole meno restrittive) qiqiqiqi qoqoqoqo

19 19 BANDA PASSANTE si definisce banda passante di uno strumento di misura il campo di frequenze (f 1, f 2 ) entro cui il segnale non risulta distorto: il modulo della risposta in frequenza si mantieneil modulo della risposta in frequenza si mantiene costante entro una specificata tolleranza; costante entro una specificata tolleranza; la fase é nulla entro una specificata tolleranza.la fase é nulla entro una specificata tolleranza.

20 20 Criterio di progetto: la banda di interesse del fenomeno misurando deve essere interamente contenuta nella banda passante dello strumento: f 1 f min f max f 2 f f AoAoAoAo AiAiAiAi CASO IDEALE

21 21 OSSERVAZIONI E emerso come uno strumento si possa dire pronto quando non distorce il segnale di ingresso. Un segnale non viene distorto quando tutte le armoniche in esso presenti vengono moltiplicate per un fattore (modulo della funzione di trasferimento) costante e lo sfasamento delle armoniche in uscita, rispetto a quelle del segnale di ingresso, è pari a: -0° -180° -proporzionale allordine dellarmonica ossia: n =0 n = n =n 1

22 22 Mentre sono ovvie le considerazioni sul modulo e le prime due sulla fase, la terza merita qualche spiegazione: n =n 1 =cost n =n 1 =cost Si ha che 1 /2 =t 1 /TT periodo della 1 a armonica Dunque n =n 1 = n t 1 2 /T= n t 1 cost, con 1 = sfasamento della prima armonica (fondamentale) 1 = sfasamento della prima armonica (fondamentale) Allora, se q o è composto da più armoniche : fase iniziale dellarmonica n = fondamentale = fondamentale n =n armonica di ordine n n =n armonica di ordine n

23 23 Si dimostra che sfasamento proporzionale allordine dellarmonica equivale ad un ritardo costante nel tempo Periodo n volte più piccolo T=periodo prima armonica

24 24 In definitiva: sfasamento proporzionale allordine dellarmonica significa traslare lasse dei tempi di t 1 secondi; non si ha distorsione ma solo ritardo t prima armonica t seconda armonica = Fai vedere il segnale somma

25 25 RISPOSTA AD UN SEGNALE PERIODICO Funzione periodica: f(t+T)=f(t)T=periodo Se sono rispettate le condizioni di Dirichlet, ossia se la funzione è ad un sol valore, è finita ed ha un numero finito di discontinuità e di massimi e minimi in un ciclo, può essere rappresentata con la serie di Fourier: =fondamentale =fondamentale E una serie con infiniti termini, tutti occorrenti per una ricostruzione perfetta del segnale di partenza. Per fortuna in campo ingegneristico non è richiesta una riproduzione perfetta.

26 26 Spesso meno di 10 armoniche sono sufficienti. Di conseguenza è necessario ce lo strumento si mostri pronto solo per queste armoniche.

27 27 Risposta ad un segnale periodico Passando al dominio delle frequenze: k =k k =k Il prodotto tra Q i (i k ) e dà Q o (i k )

28 28 Se si ripete per tutte le frequenze e si sommano i Q o (i k ) si ha lo spettro del segnale di uscita Q o (i ) Se lo strumento è pronto, q i (t) e q o (t) hanno allincirca la stessa forma. Il fatto che i segnali reali siano di questo tipo giustifica i discorsi sin qui fatti: se qi fosse composto da una sola armonica basterebbe correggere le distorsioni su quellarmonica senza necessità di uno strumento pronto.

29 29 RISPOSTA AD UN TRANSITORIO Transitorio: q i (t)=0 identicamente per tutti i valori di tempo maggiori di un valore finito t 0. Se q i è uno dei segnali semplici visti, si può procedere secondo i metodi classici validi per quei segnali semplici. Se q i è qualsiasi, occorre un procedimento più generale, la trasformata di Fourier. Spettro Con che assume tutti i valori da - a + Con che assume tutti i valori da - a +

30 30 q i periodicaspettro discreto q i transitoriospettro continuo ESEMPIO Questi argomento saranno ripresi in maggiore dettaglio nel seguito

31 31 Strumento di ordine 0 Se in (1) tutti gli ai e i bi esclusi a 0 e b 0 sono nulli, si degenera in una equazione algebrica a o q o =b o q i Poiché lequazione è algebrica è chiaro che, indipendentemente da come varia q i, q o lo seguirà perfettamente senza distorsione o ritardo di fase. E lo strumento con la risposta ideale. Esempio: potenziometro che misura la posizione

32 32 Esempio: potenziometro che misura la posizione

33 33 Esempio: potenziometro che misura la posizione In realtà questo è un caso ideale. Per misurare, nellesempio visto, si inserisce un voltmetro che fa circolare corrente. Se ci fosse una resistenza pura tutto andrebbe bene, ma se appena il cursore si muove un po più in fretta, ci sono effetti capacitivi ed induttivi che danno errori (viene modificato il rapporto x i e 0 ). Inoltre il cursore avrà sempre una massa, dunque uninerzia, che impedisce limpiego di un modello di strumento di ordine zero. Tutte le volte che ci sono inerzie (cioè nella maggioranza dei casi) questo modello viene messo in crisi.

34 34 Strumento del PRIMO ORDINE Ci sono tre parametri fondamentali, ossia a 1, a 0, b 0, ma solo 2 sono essenziali. k = sensibilità statica: è loutput per unità di inpu in condizioni statiche (derivate tutte nulle) = costante di tempo = costante di tempo Il problema della determinazione del comportamento dello strumento si riduce ad una identificazione di parametri, ossia k e t

35 35 (t) (t) s(t) A Q

36 36 Esempio: termometro a liquido (t)= temperatura del fluido termometrico (funzione del tempo) (t)= temperatura del fluido termometrico (funzione del tempo) s(t) = temperatura del liquido (funzione del tempo, uniforme in tutto lambiente di misura) k = coefficiente di trasmissione del calore fra liquido e fluido termometrico (non ha niente a che vedere con la sensibilità statica appena definita) Si trascurano le variazioni di energia cinetica della massa di liquido in moto nel capillare, quelle di energia potenziale, gli effetti della capillarità, della viscosità.. Q = calore scambiato tra liquido e fluido A=superficie interessata allo scambio di calore

37 37 c = calore specifico m = massa di liquido nel termometro dQ =mcds il calore entrante nel termometro ne innalza la temperatura Calore entrante nel termometro Se si pone s = q o e = q i si ritrova la forma generale già scritta

38 38 Il fatto che il termometro sia considerato uno strumento del primo ordine è subordinato al modello scelto, che a sua volta è fissato sulla base dellutilità del modello stesso. In dipendenza da particolari esigenze è possibile pensare al termometro come ad uno strumento del secondo ordine (vedi Doeblin)

39 39 Purché sia: La funzione di trasferimento è la seguente: Lo studio di tale funzione nei vari casi di segnale semplice verrà illustrato nel seguito.

40 40 Strumenti del secondo ordine: Equazione Parametri fondamentali: Sensibilità statica Pulsazione propria Frequenza propria Parametro adimensionale di smorzamento

41 41 Dallequazione: Si arriva a:

42 42 2° ordine ESEMPI:Bilancia (MD 2 +BD+K s )x o =f i M KsKsKsKs B

43 43 23 Strumenti del secondo ordine: Galvanometro

44 44 N S BOBINA MOBILE INDICE SU SCALA GRADUATA MOLLE TORSIONALI ANTAGONISTE

45 45 PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO: BOBINA PERCORSA DA I FORZA SU FILO F = B L I I N S F NS I F I F B

46 46 BOBINA PERCORSA DA I FORZA SU FILO F = B L I COPPIA SU FILO T 1 = F D/2 = B L D I / 2 COPPIA SU SPIRAT 1 = 2 T 1 = B L D I COPPIA SU N SPIRET N = N B L D I COPPIA RESISTENTET M = k COPPIA RESISTENTET M = k I N S F

47 47 EQUILIBRIO MECCANICO T N = T M da cui = ( N B L D / k ) I = k I POSIZIONE INDICE I Strumento lineare SENSIBILITA k = N B L D / k OBIETTIVO: sensibilita k ALTA per misurare I basse CASO STATICO

48 48 SENSIBILITA k - k MOLLA CEDEVOLE - N, L, D BOBINA GRANDE RISPOSTA DINAMICA: SISTEMA DEL II° ORDINE (cè linerzia della spira e vi sono forze smorzanti anche per stabilizzare lindice su una determinata posizione della scala riducendo i transitori). Lequilibrio meccanico alla rotazione si scrive allora come J +r +k =T N =ki(t)... J = momento di inerzia dellequipaggio mobile del galvanometro attorno al suo asse di rotazione

49 49 J +r +k =T N =ki(t)... r = smorzamento del sistema assunto di tipo viscoso (in tale termine si può far rientrare la f.c.e.m.: dalla legge di Lenz e=-d /dt k = costante elastica della molla di richiamo q = rotazione dellequipaggio mobile del galvanometro (q o ) i(t) = corrente che percorre le spire della bobina

50 50 PULSAZIONE NATURALE ALTA SENSIBILITA J e k N ALTA SENSIBILITA J e k N Si ha che sensibilita e frequenza propria si muovano in direzioni opposte (tipico in sistemi del II ordine). Si vedrà tra poco come, in genere, una pulsazione propria bassa sia poco desiderabile ai fini di una buona risposta in frequenza N kJ tante spire k elevato

51 51 Si affronta ora la risposta degli strumenti del primo e secondo ordine ai segnali semplici, ossia il gradino, la sinusoide limpulso..., entrando nel merito degli aspetti matematici, legati al modello, fin qui visti solo per definire le equazioni e discutere aspetti generali e qualitativi.

52 52 STRUMENTO DEL PRIMO ORDINE RISPOSTA AL GRADINO qiqiqiqi qoqoqoqo grande grande piccolo piccolo q is kq is t t Allinizio: q i =q o =0. Istante t=0: q i cresce istantaneamente di una quantità q is (il termometro viene posto in un ambiente diverso da quallo in cui si trovava)

53 53 Condizioni iniziali: q o =0 per t=0 + Integrale generale q og =Ce -t/ Integrale generale q og =Ce -t/ Allinizio: q i =q o =0. Istante t=0: q i cresce istantaneamente di una quantità q is (il termometro viene posto in un ambiente diverso da quello in cui si trovava) Integrale particolare q op =k q is q op = Ce -t/ +k q is Applicando le condizioni iniziali: q o = k q is (1-e -t/ )

54 54 Nel caso visto del termometro: s= 0 (1-e -t/ ) Ove 0 è il valore del gradino di temperatura s/ 0 è la risposta al gradino unitario: è lAMMETTENZA INDICIALE La risposta al gradino si può adimensionalizzare giungendo alla forma generale : Questo fatto è del tutto generale e vale per qualsiasi terna di valori k, q is, Questo fatto è del tutto generale e vale per qualsiasi terna di valori k, q is,

55 e m = scostamento tra input e output FORME ADIMENSIONALIZZATE

56 56 SIGNIFICATO DELLA COSTANTE DI TEMPO dimensionalmente è un tempo. Si stabilisce un certo errore percentuale al di sotto del quale si può assumere che dimensionalmente è un tempo. Si stabilisce un certo errore percentuale al di sotto del quale si può assumere che oppure = (valore del gradino) pensando allesempio del termometro Il tempo di risposta è allora quello oltre il quale la temperatura del temometro e dellambiente differiscono meno dellerrore prefissato. Ad esempio, per t=, lerrore è 1/e (circa il 30%); se t=2, lerrore è 1/e 2 (circa il 15%) uno strumento pronto ha basso

57 57 STRUMENTO DEL PRIMO ORDINE RISPOSTA IN FREQUENZA La definizione di risposta in frequenza era: Lequazione di strumento del primo ordine è: Allora sarà, a regime e con q i armonica:

58 58 Modulo della funzione di trasferimento: Fase della funzione di trasferimento: Uno strumento del primo ordine si avvicina alla perfezione se ha la risposta ideale dello strumento di ordine 0. Questo succede se è piccolo, ossia, fissato, esiste una di output sotto la quale la misura è corretta. In alternativa se si deve misurare una q i con alta lo strumento deve avere bassa.

59 59 Anche in questo caso è possibile la scrittura in forma adimensionalizzata della risposta in frequenza di uno strumento del primo ordine come segue

60 60 Altra possibilità di raprresentazione della funzione di trasferimento è il diagramma di Nyquist (diagramma polare in modulo e fase)

61 61 ESEMPIO: Prontezza di uno strumento del primo ordine segnale di ingresso: q i =sin(2t)+0.3 sin(20t) =0.2 s Il sistema è lineare e quindi vale il principio di sovrapposizione degli effetti. q o =1(0.93k)sin(2t-21.8°)+0.3(0.24k)sin(20t-76°) q o /k=0.93 sin(2t-21.8°) sin(20t-76°) La situazione ideale sarebbe q o /k=q i, dunque nel caso in esame vi è una forte distorsione

62 TF Modulo TF Fase t qiqi t q o /k

63 63 Se invece fosse stato = s q o /k=1.00 sin(2t-0.23°)+0.3 sin(20t-2.3°) In questo caso lo strumento è molto pronto

64 TF Modulo TF Fase qiqi q o /k

65 65 Tornando allesempio del termometro si è visto come sia seguendo la via della risposta al gradino, sia quella della risposta in frequenza, si sia giunti a dire che lo strumento pronto ha piccola. Nel caso del termometro: c = il calore specifico, una volta scelto il materiale è costante. k = coefficiente di scambio termico: dipende dallambiente. Per alterarlo si dovrebbe, ad esempio, creare dei moti convettivi Si può agire su m/A. In generale Termometri piccoli sono intrinsecamente più pronti


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