BIOINGEGNERIA S. Salinari Lezione 1. Richiami sui filtri digitali Filtri non recorsivi La stima y*(k) è la somma pesata del segnale in k e degli n-1 campioni.

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1 BIOINGEGNERIA S. Salinari Lezione 1

2 Richiami sui filtri digitali Filtri non recorsivi La stima y*(k) è la somma pesata del segnale in k e degli n-1 campioni precedenti: TTT 12n y(k) y(k-1) h(2)h(n-2)h(n-1) h(1) y(k-2)y(k-n+2)y(k-n+1) y*(k) h(0)

3 Richiami sui filtri digitali Filtri recorsivi Ta y(k)y*(k) y*(k-1) + + La stima y*(k) è uguale alla stima al passo precedente pesata con il coefficiente a sommata allultimo campione y(k) a deve essere minore di uno per la stabilità del filtro

4 Richiami sui filtri digitali Risposta impulsiva e risposta armonica Sia y(k)=0 per k 0 e y(k)=1 per k=0. Si consideri il filtro costituito da due soli campioni h(0)=1 e h(1)=1/2 si ha allora: y*(0)= h(0)y(0) +h(1)y(0-1) = h(0)y(0)=1 y*(1)= h(0)y(1) + h(1)y(0) = h(1)y(0)=1/2 y*(2)= h(0)y(2) + h(1)y(1) = 0.................................. y*(k)= 0 I filtri non recorsivi hanno risposta impulsiva finita Filtri non recorsivi 1 1 kk 01 Per il filtro recorsivo, assunto a=1/2 e y*(k)=0 per k<0 si ha: y*(0)= ay*(-1)+y(0) = 1 y*(1)= ay*(0)+y(1) = a y*(2)= ay*(1) +y(2) = a 2.............................................................. y*(k)= ay*(k-1)+y(k)= a k I filtri recorsivi hanno risposta impulsiva infinita Filtri recorsivi 1 1 k k 012

5 Richiami sui filtri digitali Risposta impulsiva e risposta armonica Si consideri il fitro non recorsivo la cui risposta è : y*(k)= i h(i)y(k-i) i=0,...,n-1 Consideriamo in particolare un caso analogo allesempio precedente in cui h(0)=1, h(1)=1. Si ha quindi: y*(k) = 1·y(k)+1·y(k-1). Trasformando si ottiene: Y*(j ) = k y(k) e -jk T + k y(k-1) e -jk T k= -.........+ Il secondo termine può essere scritto: k y(k-1) e -jk T = e -j T n y(n) e -jn T n=k-1 n= -.........+ Da cui: Y*( ) = Y( )+ e -j T Y( ) H(w)=Y*( )/Y( )=1+ e -j T Filtri non recorsiviFiltri recorsivi Si consideri il fitro recorsivo la cui risposta è : y*(k) = y(k) + a y*(k-1) Traformando seguendo la stessa procedura del caso non recorsivo si ottiene: Y*( ) = Y( ) + aY*( )e -j T H(w)=Y*( )/Y( )=1/(1+a e -j T ) H(w) w /T /2T 1 2 a=0.5 Filtro non recorsivo

6 Richiami sui filtri digitali y(k)=x+v(k) E(x)=x 0, E(x 2 )=S= x 2 +[E(x)] 2 E(v)=0, E(v 2 )= v 2 Filtri non recorsivi Si abbiano m campioni di y e si supponga di avere m campioni uguali di h: h(i)=1/m. In questo caso non ha più senso lordine in cui i campioni di y vengono processati per cui possiamo scrivere: y*= i h(i)y(i) i=1,...,m E(y*) = 1/mE( i y(i)) = 1/mE( i x+v(i)) = E(x)= x 0 Con errore quadratico medio pari a: pe = E(e 2 ) = E{1/m( i x+v(i)) –x} 2 = = E{1/m [ i x+ i v(i)] –x} 2 = E[1/m i v(i)] 2 p e = v 2 /m Filtri recorsivi Si consideri il filtro recorsivo y*(k) = y(k) + ay*(k-1). Assumendo y*(k)=0 per k<0 e considerando m campioni di y : y(1)...y(m), si ottiene: y*(0)= y(0)+ay*(-1)=0 y*(1)= y(1)+ay*(0)=y(1) y*(2)= y(2)+ay*(1)=y(2)+ay(1)......... y*(m)= y(m)+ay*(m-1)=y(m)+ay(m-1)+...+a m-1 y(1) Sostituendo il valore di y(k) si ha: y*(m) = (1+a+a 2 +...a m )x+ i a m-i v(i) = (1-a m )/(1-a)x + + i a m-i v(i) Per m grande ( a m <<1) si ha: x* (1-a)y*(m) = x* = (1-a m )x +(1-a) i a m-i v(i) e pe = a 2m S + (1-a 2m )/(1-a) v 2 /(1+a)= v 2 (1+ 2 / ) / Con a m <<1 e = (1+a)/[(1-a)(1- 2 )] (1+a)/(1-a)