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E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico.

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Presentazione sul tema: "E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico."— Transcript della presentazione:

1 E in materia1

2 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico

3 E in materia3 In linea di principio valgono tutti i teoremi che abbiamo visto nel vuoto… (tutti gli esperimenti che hanno portato a tali teoremi sono stati effettuati nella materia)

4 E in materia4 q E = r

5 E in materia5 q E

6 6 q

7 7 Dimensioni atomiche Un fattore equivale a 1cm/100m

8 100 m circa 1 cm

9 E in materia9 q

10 10 …in pratica vi sono molte difficoltà nella loro applicazione.

11 E in materia11 Supponiamo che nel bicchiere ci siano 18 g di acqua (pari ad una grammomolecola). Il numero di molecole sarà quindi (numero di Avogadro) N A = Poiché nell H 2 O vi sono 1 atomo di ossigeno e 2 di idrogeno avremo 10 cariche positive (ed altrettante negative) per molecola, quindi in totale vi sono circa 10* =6*10 24 cariche positive ed altrettante negative Ciascuna di queste concorre al campo elettrico con un termine del tipo:

12 E in materia12 q

13 E in materia13

14 E in materia14 Forza di Coulomb Cariche Geometria Materiale

15 E in materia _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

16 E in materia16 Supponiamo di avere due condensatori uguali nel vuoto: Se metto la stessa carica q su di ognuno di essi trovo ovviamente lo stesso potenziale e posso definire una Capacità

17 E in materia17 Se adesso riempio un condensatore con un dielettrico e vi metto la stessa carica q trovo un potenziale diverso V 1 e di conseguenza una differente capacità

18 E in materia18 Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica

19 E in materia19 Poichè Q è la stessa (e ) dovrà essere variata la capacità C 0 C ' Variando il dielettrico trovo che posso mettere C' = r C 0 con r > 1 dipendente dal dielettrico

20 E in materia20 Materiale r Acqua a 25 0 C78 Aria secca a 1 atm e 25 0 C Carta paraffinata2 Gomma3 Mica Porcellana6 Vetro4-10

21 E in materia21

22 E in materia22 Sperimentalmente si vede che se si mette un dielettrico tra le facce di un condensatore piano sui lati del dielettrico si presenta una densità ± p

23 E in materia

24 E in materia24 Questo porta ad una modificazione del campo elettrico e quindi della differenza di potenziale

25 E in materia25 la carica q est messa dallesterno non cambia, ma ad essa si aggiunge la q pol che ha segno diverso. Quindi la carica totale è q est + q pol < q est Poiché è V=Q est /C se V diminuisce aumenterà la capacità Conseguentemente il campo elettrico e la differenza di potenziale diminuiranno

26 E in materia26 Possiamo considerare il sistema in due modi possibili E = p p r

27 E in materia27 Trattando il condensatore come un doppio strato possiamo scrivere Se invece sostituiamo al condensatore pieno uno vuoto, ma con sulle armature una carica tale da avere lo stesso campo elettrico, avremo un campo E = da cui si ricava = ==> p = - (1- ) = - quindi le p sono di verso opposto e proporzionali alle. che rapporto c'è tra r e p ? r p p

28 E in materia28

29 E in materia29 Campo elettrico e potenziale di un dipolo

30 E in materia30 Campo elettrico e potenziale di un dipolo

31 E in materia31

32 E in materia32 Dipolo in campo elettrico

33 E in materia33

34 E in materia34

35 E in materia35 Il primo termine è nullo se Q=0 cioè se il sistema è neutro. Il secondo termine si può vedere che è nullo se il sistema è simmetrico. Il secondo termine dipende dalle coordinate a meno che il sistema totale abbia carica Q=0 quindi si può parlare di momento di dipolo intrinseco al sistema solo quando questo abbia carica totale nulla (esempi tipici sono atomi e molecole).

36 E in materia36 Conduttori e dielettrici Gli atomi sono costituiti da un nucleo formato (tra laltro) da cariche positive (protoni) circondate da cariche negative (elettroni) che, attratte dal nucleo, costituiscono un sistema stabile

37 E in materia37 Un atomo è un sistema legato, nel senso che è necessaria una data energia (energia di ionizzazione, o, cambiando il segno, energia di legame) per poter estrarre un elettrone e portarlo all infinito. Esso può essere rappresentato come in figura come una buca di potenziale.

38 E in materia38 Ricordiamo adesso che un insieme di cariche (in approssimazione di dipolo ed un atomo è appunto questo), produce un potenziale dato da: quindi ogni atomo produce una variazione del potenziale sugli atomi vicini o, se vogliamo, ogni atomo risente della variazione di potenziale creato da tutti gli atomi circostanti.

39 E in materia39 In alcuni casi questa variazione è maggiore della energia di legame e quindi gli elettroni (esterni) sono messi in comune tra tutti gli atomi, si ha un conduttore. In altri casi questa variazione non è sufficientemente alta e quindi latomo resta un sistema legato e si ha un isolante (dielettrico).

40 E in materia40 Energia di legame

41 E in materia41 Nel caso sia presente un campo elettrico esterno gli elettroni sono liberi di muoversi e si dispongono come in figura in modo che all interno il campo elettrico totale sia nullo CONDUTTORI

42 E in materia42

43 E in materia43 q E

44 E in materia44 q

45 E in materia45

46 E in materia46

47 E in materia47 Sia il momento di dipolo elettrico della molecola. è uguale a zero se la molecola ha una simmetria tale che il centro di massa delle cariche positive coincide con quello delle negative (sostanze non polari ad es elio, neon, ossigeno, idrogeno), è diverso da zero nel caso non vi sia simmetria (sostanze polari ad es. acqua, NaCl).

48 E in materia48

49 E in materia49

50 E in materia50 L ordine di grandezza di ( )si può ottenere moltiplicando il valore di alcune cariche elettroniche (qualche unità in 10 –19 C) per una frazione del diametro della molecola ( m) si ottiene dell ordine di C m.

51 E in materia51 MolecolaP 0 in Cm NaCl AgCl H 2 O H 2 S HCl NO CO SO

52 E in materia52 In generale i momenti di dipolo (delle molecole che lo hanno) sono distribuiti casualmente nel tempo (di osservazione) e nello spazio (in cui avviene la misura) per cui la media è = 0. In presenza di un campo esterno tendono ad orientarsi parallelamente al campo esterno (contrastati dalla agitazione termica)

53 E in materia53

54 E in materia54

55 E in materia55

56 E in materia56

57 E in materia57 Inoltre tutti gli atomi e le molecole, sia che abbiano momento proprio uguale o diverso da zero, tendono a deformarsi, dando luogo a nuovi momenti di dipolo. Per i sistemi con momento proprio diverso da zero, i momenti ottenuti per deformazione si aggiungono a quelli propri.

58 E in materia58 Nel caso dei dielettrici si hanno due effetti: per tutti materiali si ha una dell atomo;

59 E in materia59

60 E in materia60 Per alcuni elementi, i cui atomi o molecole posseggano un momento di dipolo elettrico, si ha anche un

61 E in materia61 RIASSUMENDO Polarizzazione per deformazione ad es Polarizzazione per orientamento ad es. H2,H2,Elio,Neon,Ossigeno,CO 2 in cui il campo elettrico esterno provoca una deformazione che è la causa dell' insorgere di un momento di dipolo proprio. avviene per le molecole che hanno già un momento di dipolo proprio. Acqua,NH 3

62 E in materia62 Polarizzazione di un dielettrico sia un dielettrico polare che uno apolare, quando sottoposti ad un campo elettrico E 0, subiscono polarizzazione, ossia i dipoli interno (propri o indotti da E) tendono ad orientarsi parallelamente ad E, tutti con lo stesso verso

63 E in materia63 Si supponga di mettere tra le piastre di un condensatore un dielettrico: inizialmente i dipoli sono orientati a caso, se però ai capi del condensatore si mette una differenza di potenziale V i dipoli si allineano sotto lazione del campo esterno E est applicato. A seguito dellallineamento, però, i dipoli creano a loro volta un campo E int interno al dielettrico di verso opposto a quello esterno

64 E in materia64 Conseguentemente, il campo elettrico risultante allinterno del dielettrico risulta inferiore rispetto a quello che si avrebbe in assenza del materiale, ossia rispetto al campo elettrico E est E tot = E est + E int < E est

65 E in materia65 Inoltre, sulle superfici del dielettrico che si affacciano sugli elettrodi appare una carica (CARICA DI POLARIZZAZIONE) dovuta ai dipoli che si affacciano su tali superfici

66 E in materia66 Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica

67 E in materia67

68 E in materia68 è il momento elettrico proprio (per orientazione o deformazione di ciascuna molecola). è il momento elettrico medio della molecola (mediato nel tempo e nel numero di molecole presenti nel volume considerato) in una data direzione n = numero di molecole/unità di volume = n è il vettore intensità di polarizzazione momento elettrico dell' unità di volume.

69 E in materia69 In caso di isotropia in un volume si ha la seguente situazione. Le cariche interne si annullano e si vedono solo le cariche sulla superficie.

70 E in materia70 In tal caso dato un volume V= l S questo ha un momento elettrico dato da PV. Ma il momento può essere calcolato come q l quindi si ha PV = q l ==> P(S l ) = q l = ( p S) l da cui p = P p p l

71 E in materia71 Più in generale se il campo elettrico esterno (e quindi, non è normale alla superficie) si ottiene p = Essendo la normale alla superficie.

72 E in materia72 Se la polarizzazione del dielettrico non è uniforme allora su ogni prismetto ci sarà una carica p ds – p ds cioè PdS - P'dS = dQ p e quindi la densità di carica è ma poichè possiamo scrivere abbiamo:

73 E in materia73 Più in generale se i prismetti sono disposti in modo qualsiasi si può dimostrare che sussiste la p = - div

74 E in materia74 la somma delle cariche di polarizzazione deve essere nulla dato che si ha solo uno spostamento di cariche; in effetti si ha: Per il teorema della divergenza si vede che è q p =0 NOTA

75 E in materia75 Nel vuoto il teorema di Gauss si scrive : dove è la densità di carica relativa alle cariche messe dallesterno. Nella materia in cui oltre alle cariche esterne vi sono le cariche di polarizzazione p, possiamo scrivere:

76 E in materia76 e ponendo div = - p ( = vettore di polarizzazione) si ha Cioè

77 E in materia77 se introduciamo il vettore = 0 + questo gode della relazione Div = cioè gode della stessa proprietà di 0 nel vuoto.

78 E in materia78 (vettore di polarizzazione) è proporzionale a.

79 E in materia79 Infatti, per la polarizzazione per deformazione lo spostamento delle cariche, almeno per piccole deformazioni, è proporzionale al campo elettrico esterno ed il momento di dipolo è proporzionale allo spostamento.

80 E in materia80

81 E in materia81 Nel caso poi di Polarizzabilità per orientamento si ha che, dato un momento di dipolo p 0 in un campo elettrico alla temperatura T si può dimostrare che la componente di p 0 nella direzione di è data da:

82 E in materia82 p = p 0 L(a) con L(a) = funzione di Langevin, ove a = con K = costante di Boltzmann= J/k

83 E in materia83 Come si arriva a questa formula? Supponiamo di avere un insieme di molecole, aventi momento proprio, immerse in un campo elettrico esterno…

84 E in materia84 In queste condizioni si raggiunge un equilibrio termico, in cui le molecole aventi il momento p 0 parallelo e nello stesso verso del campo sono un poco di più di quelle aventi la stessa direzione ma verso opposto, e quindi, se si calcola la polarizzazione media delle molecole questa avrà una componente non nulla nella direzione del campo.

85 E in materia85 Una molecola di momento elettrico p 0 orientato a formare un angolo con la direzione di, ha una componente del momento elettrico lungo pari a p 0 cos. p0p0 E p 0 cos

86 E in materia86 Il valore medio, di questa componente sarà: avendo indicato con il valore medio di (cos calcolato su di un gran numero di molecole.

87 E in materia87 Per calcolare faremo uso della distribuzione di Boltzmann la quale ci dice che, in un sistema termodinamico in equilibrio termico, il numero di molecole di energia potenziale U è descritto dalla funzione P(U) di Boltzmann

88 E in materia88 dove A è una costante di normalizzazione U è l energia del dipolo ( = con angolo tra e ) K è la costante di Boltzmann ( JK -1 ) T è la temperatura assoluta del dielettrico

89 E in materia89 e quindi ogni valore dell'angolo comparirà con probabilità proporzionale a

90 E in materia90 Per calcolare il valore medio di cos occorre mediare su tutte le possibili orientazioni delle molecole eseguendo lintegrale:

91 E in materia91 dove lintegrale a denominatore è stato introdotto per normalizzare ad 1 la probabilità totale, e l'integrazione va eseguita sull'elemento di angolo solido d = sen d d, con variabile tra 0 e 2π, variabile tra 0 e π. Le funzioni integrande non dipendono da e quindi lintegrazione in d può essere immediatamente eseguita

92 E in materia92 avendo posto x=cos, dx= -sin d Eseguendo l'integrazione si ha infine il risultato:

93 E in materia93 = L(a) e per il momento elettrico medio delle molecole nella direzione del campo

94 E in materia94 La funzione L (a) è detta funzione di Langevin ed è rappresentata in figura:

95 E in materia95 Per piccoli valori di a L(a)cresce proporzionalmente ad a, cioè cresce proporzionalmente ad ; al crescere di a essa tende ad 1, cioè tutte le molecole si allineano nella direzione del campo e p tende a p o.

96 E in materia96 Nella pratica la zona di interesse è quella dei piccoli valori di a. Infatti possiamo pensare che p o sia dell'ordine della carica dell'elettrone moltiplicata per una lunghezza dell'ordine di m, (cioè circa Cm) - la costante di Boltzmann vale k = 1,38 x J/K; - assumendo temperatura ambiente T = K -e un campo E = 10 6 V/m, si ha che a è dellordine di << 1

97 E in materia97 per a piccoli allora si può sviluppare L(a) in serie e si ottiene che per a <<1 L(a) si riduce a L(a) quindi risulta p=p 0 L(a) 0 polarizzabilità per orientamento o polarizzabilità dipolare, definita come il rapporto, indipendente da E, tra il momento elettrico medio dovuto all'orientamento delle molecole e il campo agente sulla molecola. Quindi 0 =

98 E in materia98 In generale anche le molecole polari subiscono una deformazione della nube elettronica sotto lazione di un campo elettrico e la loro polarizzabilità (detta spesso polarizzabilità molecolare) è quindi la somma di due termini = el + quindi può dipendere ( a seconda dell' approssimazione dato che in genere el è più piccolo di ) da E ed allora si usa mettere sotto la forma

99 E in materia99 anche se spesso (E) = = costante P = E = 0 (E) E

100 E in materia100 se introduciamo il vettore = 0 + vettore induzione elettrica questo gode della relazione Div = cioè gode della stessa proprietà di 0 nel vuoto. RIASSUMENDO

101 E in materia101 (vettore di polarizzazione) è una funzione di. Può quindi essere messo sotto la forma Basta definire

102 E in materia102 anche se spesso (E)= =costante suscettività elettrica inserendola nella si ha cioè P = E = 0 (E) E

103 E in materia103 Nel caso (molto frequente) in cui (E) sia indipendente da E si ha si ricava 1 + = r da cui, ricordando che :

104 E in materia104

105 E in materia105 mentre nel vuoto basta per descrivere tutto lo stato del sistema, nella materia sono necessari due vettori (qualunque tra E,D,P) tradizionalmente si usano e

106 E in materia106 Nel vuoto Nei dielettrici

107 E in materia107 La costante dielettrica relativa R dipende essenzialmente dal grado di polarizzazione (o spostamento del baricentro delle cariche positive e negative) che può avvenire nel materiale. I fenomeni di polarizzazione (che sono strettamente collegati alla costante dielelettrica) possono essere divisi in due categorie: per orientamento o di polare e per deformazione che può a sua volta essere divisa in : elettronica, atomica e ionica. La polarizzazione totale, ad ogni frequenza, è la somma dei contributi che ciascun tipo di polarizzazione può dare a quella frequenza

108 E in materia108 Polarizzazione dipolare

109 E in materia109 Polarizzazione per deformazione elettronica Essa è dovuta ad un leggero spostamento della nuvola elettronica caricata negativamente degli atomi relativamente al nucleo caricato positivamente.

110 E in materia110 Polarizzazione per deformazione atomica Essa è dovuta ad un leggero spostamento relativo di ioni adiacenti di segno opposto, che si riscontra quindi solo in reticoli di sostanze di tipo ionico o covalente-polare.

111 E in materia111 Polarizzazione per deformazione ionica o interfacciale Essa si verifica in materiali che non sono dei dielettrici 'ideali' ma nei quali può avvenire una migrazione di carica su distanze macroscopiche.

112 E in materia112 I meccanismi di polarizzazione non sono istantanei, ma richiedono un certo tempo per raggiungere lequilibrio. Il tempo necessario a raggiungere l'orientazione di equilibrio viene detto tempo di rilassamento, ed il suo reciproco frequenza di rilassamento. Quando la frequenza del campo applicato supera quella di rilassamento di un particolare processo di polarizzazione, i dipoli non possono riorientarsi abbastanza velocemente e quel particolare processo si disattiva.

113 E in materia113 Ogni tipo di polarizzazione è caratterizzato da un suo tempo di rilassamento. Polarizzazione Tempo di rilassamento (sec.) elettronica atomica molecolare ÷ Se questo tempo è relativamente elevato, ad alte frequenze la polarizzazione del materiale non potrà piu seguire le variazioni del campo elettrico. Al contrario a basse frequenze sarà possibile per ogni tipo di polarizzazione seguire l'andamento del campo elettrico e la costante dielettrica raggungerà il suo massimo valore

114 E in materia114

115 E in materia115 Dipolo LF Dipolo MF Dipolo HF

116 E in materia116 Comportamento di nella superficie di separazione tra due dielettrici.

117 E in materia117 Componente tangenziale

118 E in materia118

119 E in materia119 nei tratti 3 e 4 l' integrale è = 0 per due ragioni: 1)perchè sono infinitesimi di ordine superiore. 2) perchè se 1 e 2 sono infinitesimi non c'è ragione perchè l' integrale su 3 debba differire da quello su 4 quindi:

120 E in materia120 da cui E T1 = E T2

121 E in materia121 Componente normale. Si prenda un cilindretto con superficie laterale infinitesima all' ordine superiore rispetto alle basi

122 E in materia122 Q=0 poichè non ci sono cariche esterne all' interno del cilindro si ha e poichè il flusso laterale è = 0 (infinitesimo di ordine superiore) si ha S2 D ) + S2 ( D ) = 0

123 E in materia123 D 1 cos 1 - D 2 cos 2 = 0 D 1n = D 2n poichè è abbiamo 1 E n1 = 2 E n2 che combinate con E T1 = E T2 danno tg 1 = tg 2

124 E in materia124 MISURA DEL CAMPO IN UN DIELETTRICO L intensità del campo elettrico E o in un punto dello spazio vuoto è stata definita dalla relazione dove F indica la forza agente su una carica di prova q posta nel punto in questione.

125 E in materia125 In presenza di dielettrici, la definizione precedente per i punti dello spazio interni al dielettrico non è più valida: infatti, se il dielettrico, è solido, per introdurvi la carica di prova q si deve praticare, una cavità nel dielettrico e sulle pareti della cavità si formano delle cariche di polarizzazione che modificano il campo preesistente e tale modifica, in generale, non tende a zero al diminuire delle dimensioni della cavità; se, invece, il dielettrico è liquido, o aeriforme non c'è difficoltà nell'introdurre il corpicciolo contenente la carica di prova ma questo risente delle forze di superficie dovute al contatto col dielettrico.

126 E in materia126 Se nel dielettrico viene praticato un taglio parallelo alle linee di forza del campo elettrico e di piccolo spessore, lungo i bordi del taglio non si hanno cariche di polarizzazione (infatti è parallelo ai bordi, perciò p = = 0), mentre le cariche di polarizzazione sulle basi (piccole) del taglio contribuiscono in maniera trascurabile al campo elettrico all'interno della cavità. E T1 = E T2

127 E in materia127 CONDENSATORE CON 2 DIELETTRICI (caso condensatore piano) Condensatore con dielettrico

128 E in materia128 CONDENSATORE CON 2 DIELETTRICI (caso condensatore piano) Se si ha un doppio condensatore (con 2 dielettrici 1 e 2 ) si ha: === =

129 E in materia129

130 E in materia130 Sul luogo di separazione si ha D 1n = D 2n cioè 1 E n1 = 2 E n2 inoltre la d.d.p. tra 1 e 3 sarà E 1 d 1 la d.d.p. tra 3 e 2 sarà E 2 d 2 e quindi si avrà: V 2 -V 1 = E 1 d 1 + E 2 d 2 Abbiamo quindi due equazioni lineari in E 1 e E 2 che risolte danno:

131 E in materia131

132 E in materia132 RIGIDITA' DIELETTRICA L' atomo è un sistema legato: occorre una certa energia per portare l' elettrone all' infinito; questa energia è chiamata energia di ionizzazione. Metodi per ionizzare (cioè cedere energia sufficiente all' atomo) sono: 1) Calore (sorgenti di ioni a filamento caldo(attenzione, normalmente sono sorgenti di elettroni), stelle,….) 2) Luce (=energia) => effetto fotoelettrico, occorrono normalmente sorgenti X o ) 3) Particelle di alta energia da acceleratori o anche ioni accelerati da campi elettrici.

133 E in materia133 Normalmente nell' aria ci sono sempre ioni (provenienti da urti di radiazione cosmica) Se il campo elettrico è alto, ma non troppo, essi vengono accelerati ed urtano altri atomi producendo solo passaggio di cariche ed aumento termico. Se il campo elettrico supera un dato valore, nell' intervallo tra un urto ed un altro lo ione guadagna sufficiente energia da ionizzare l' atomo contro cui urta; si ha quindi un nuovo ione e, continuando, una reazione a catena e quindi una scarica.

134 E in materia134 Il campo elettrico necessario per iniziare la scarica (= rigidità dielettrica) dipende dal mezzo (massa dello ione), dallo stato del materiale (distanza tra le molecole) e da condizioni iniziali (umidità od altro) che fanno variare la meccanica del processo. ( Nell'aria in condizioni normali è 31 KV/cm)

135 E in materia135

136 E in materia136 Esempio si consideri un condensatore piano in aria ( d= 2 cm) a cui è applicata la tensione di V. Allora risulta E= V/cm e non avviene la scarica.

137 E in materia137 Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica

138 E in materia138 Inseriamo adesso 0.2 cm di cartone presspan (rigidità 200 kV/cm ed r =4) Allora si ha nel cartone E 1 = = = = V/cm nell' aria E 2 = = = = V/cm

139 E in materia139 Quindi scocca la scintilla nell' aria che diviene conduttrice e tutta la tensione viene allora applicata al cartone cioè /0.2 = V/cm e quindi superando la rigidità dielettrica del cartone si ha la scarica.

140 E in materia140

141 E in materia141 CONDENSATORE REALE Il caso del condensatore nel vuoto è poco diffuso. Molto meglio il condensatore con dielettrico perchè: 1)la capacità aumenta di r quindi di valore anche alti (casi particolari con r dell ordine di ) 2) dato che spesso d deve essere piccola il dielettrico serve ad impedire che le armature vengano a contatto. 3) il dielettrico può avere una alta rigidità dielettrica e quindi il condensatore può avere una alta d.d.p. sulle armature.

142 E in materia142

143 E in materia cm = F

144 E in materia144

145 E in materia145 ENERGIA DEL CAMPO ELETTROSTATICO Nel vuoto avevamo trovato per la energia del campo elettrico la formula: che per un condensatore piano da che nel dielettrico può essere scritta come

146 E in materia146 poichè all esterno E = 0 mentre all interno del condensatore è Da cui, poiché il modulo della induzione dielettrica D è D = = q/S si ricava ed essendo Sd il volume in cui è compreso il campo elettrico, ricordando che è parallelo a si ricava per

147 E in materia147 la densità di energia l espressione e quindi per l energia in un volume V

148 E in materia148


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