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Soluzioni esercizi Corso di Matematica Discreta I Anno.

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Presentazione sul tema: "Soluzioni esercizi Corso di Matematica Discreta I Anno."— Transcript della presentazione:

1 Soluzioni esercizi Corso di Matematica Discreta I Anno

2 Insiemi Esercizio 1. A B=(A B)- (A B). Esercizio 2. 1.Idempotenza. Ipotesi A A=A. Tesi A A=A. Dim. Lipotesi è vera per qualunque insieme A. In particolare per linsieme complemento di A. Possiamo quindi scrivere A A =A. Applicando loperazione di complemento ad ambo i membri delluguaglianza possiamo scrivere: (A A ) =A. Dalle proprietà del complemento si ha che A A = A ed infine A A=A. Cvd

3 Insiemi Esercizio Commutativa Ipotesi: A B = B A. Tesi: A B = B A. Dim Lipotesi vale per qualunque insieme, quindi A B = B A. Si ha ancora (A B ) = (B A ) cioè (A B )= (B A ) cioè A B = B A. 3. Associativa Ipotesi (A B) C= A (B C) (A B ) C = A (B C ). Allora ((A B ) C ) =(A (B C )). Quindi (A B ) C =A (B C ). Ancora

4 Insiemi (A B ) C = A (B C ) cioè (A B) C = A (B C). Cvd. Distributiva. Ipotesi A (B C)=(A B) (A C). Dim A (B C )=(A B ) (A C ). Allora (A (B C )) = ((A B ) (A C )). Quindi A ((B C ) = (A B ) (A C ). Ancora A (B C )=(A B ) (A C ). Infine A (B C)=(A B) (A C).

5 Insiemi Esercizio Assorbimento Ipotesi A (A B)=A Dim. A (A B )=A. Allora ( A (A B )) = A E A ((A B ) =A. Ancora A (A B )=A. Infine A (A B)=A. Cvd.

6 Insiemi Esercizio 3 a a ; a a,b ; a a, a,b ; a ; a a, a,b ; a,b b,a ;. Esercizio 4 E facile vedere che A C. Infatti dobbiamo dimostrare che x A x C. Ma dalle ipotesi (applicando la definizione di e di ) sappiamo che x A x B e y B y C. In particolare x C. Per dimostrare invece che linclusione è propria dobbiamo dimostrare che z C tale che z A. Dalle ipotesi sappiamo che z B / z A. Ma poiché x B x C abbiamo che z C / z A.

7 Applicazioni Esercizio 1 La proiezione canonica non è iniettiva. Infatti le coppie (x,y) e (x,z) con x A ed y,z B, y z sono distinte ma p A (x,y)=x= p A (x,z). Se però |B|=1 cioè B ha un solo elemento h allora ovviamente la proiezione canonica è iniettiva.

8 Applicazioni Esercizio 2 f(X)= y: y B e ( x X / f(x)=y) e f –1 (Y)= x: x A e f (x) Y. f -1 (f(X))= x: x A e f (x) f(X) X. Supponiamo che f -1 (f(X))= X X A. Dimostriamo che f è iniettiva. Supponiamo x,y A / f(x)=f(y)=z. Sia X= x e Y= y. f -1 (z)= f -1 (f(X))=X e f -1 (z)= f -1 (f(Y))=Y cioè X=Y cioè x=y. Viceversa supponiamo che f sia iniettiva. Per assurdo supponiamo che f -1 (f(X)) X Allora y X / y f -1 (f(X)), cioè f (y)=z f(X). Dalla definizione di f(X) si ha che x X / f(x)= z= f (y). Essendo f iniettiva x=y. Contraddizione.

9 Applicazioni 3. f(x)=1-3xg(x)=x-2 g f=g(f(x)=g(1-3x)=1-3x-2=-3x-1 f g=f(g(x))=f(x-2)=1-3(x-2)=1-3x+6=-3x+7 f(x)=x 2 +1g(x)=1/ x 2 +1 g f=g(f(x)=g(x 2 +1)=1/ (x 2 +1) 2 +1 f g=f(g(x))=f(1/ x 2 +1)= (1/ (x 2 +1) 2 )+1


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