Trasformazioni 2D e 3D Daniele Marini.

Presentazione sul tema: "Trasformazioni 2D e 3D Daniele Marini."— Transcript della presentazione:

1 Trasformazioni 2D e 3D Daniele Marini

2 Ambiente Spazio affine, coordinate omogenee 3D Matrici
traslazione, scala, rotazione, shear: prodotto matrice vettore colonna (il punto)

3 Concetti base Spazio vettoriale lineare: operazioni di somma tra vettori Campo scalare e operazioni prodotto vettore x scalare Spazio affine: addizione vettore - punto; l’operazione di sottrazione punto-punto produce un vettore

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6 Matrici

7 Traslazione, Rotazione e Scala sul piano espresse come trasformazioni nello spazio di coordinate omogenee 3D Il vettore trasformato si ottien premoltiplicando il vettore originale per la matrice di trasformazione: v’=Tv

8 traslazione scala

9 rotazione attorno all’origine rotazione attorno al centro dell’oggetto: prima traslare poi ruotare poi contro-traslare

10 x’=r cos(a+b) = r cos a cos b - r sin a sin b = x cos b - y sin b
(x’,y’) (x,y) (x’,y’) a (x,y) a b x=r cosa y=r sina x’=r cos(a+b) = r cos a cos b - r sin a sin b = x cos b - y sin b y’=r sin(a+b) = r cos a sin b - r sin a cos b = x sin b + y cos b

11 Trasformazioni conformi
preservano relazioni angolari considerare punti come numeri complessi anamorfosi conica: z’=r/z

12 Trasformazioni di Mœbius
z’ = (az+b)/cz+d) con: ad-bc ≠ 0 al variare dei coefficienti si hanno: scala, rotazione, traslazione, inversione, ...

13 3D Ambiente: spazio coordinate omogenee 4D
matrici, prodotto vettore per matrice

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15 Rotazione attorno a un punto e a un asse generico:
Composizione di trasformazione come prodotti successivi di matrici. Attenzione all’ordine: non commutatività delle trasformazioni Trasformazioni di modellazione: gerarchia di modello e gerarchia di trasformazioni mediante gestione a stack.