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M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Cinematica differenziale La cinematica differenziale caratterizza i legami tra le velocità dei.

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Presentazione sul tema: "M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Cinematica differenziale La cinematica differenziale caratterizza i legami tra le velocità dei."— Transcript della presentazione:

1 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Cinematica differenziale La cinematica differenziale caratterizza i legami tra le velocità dei giunti e la corrispondente velocità lineare ed angolare dellorgano terminale Tali legami sono descritti tramite una matrice denominata Jacobiano Geometrico Se la postura dellorgano terminale è espressa facendo riferimento ad una rappresentazione in forma minima (angoli di Eulero, Cardano, asse-angolo, quaternioni, …), è possibile calcolare lo Jacobiano direttamente mediante differenziazione rispetto alle variabili di giunto. Quello che si ottiene è lo Jacobiano Analitico (può essere diverso dallaltro) Lo Jacobiano è utile per: lanalisi delle singolarità analisi di ridondanza inversione cinematica determinazione legame tra forze applicate allorgano terminale e le coppie/forze ai giunti

2 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Cinematica differenziale – Jacobiano Geometrico Manipolatore ad n gradi di mobilità, lequazione cinematica diretta: In cui q = [q 1 … q n ] T è il vettore delle variabili di giunto Legami tra le velocità dei giunti e la corrispondente velocità lineare ed angolare dellorgano terminale: In forma compatta: Jacobiano Geometrico funzione delle variabili di giunto q:

3 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Derivata di una matrice di Rotazione Si tratterà di derivare la matrice di trasformazione per cui è ora necessario ricavare come si deriva una componente fondamentale: la matrice di rotazione La matrice di rotazione in una traiettoria generica sarà funzione del tempo, per cui:

4 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Se definiamo la SKEW MATRIX: Ovvero la matrice S(t) è anti-simmetrica (ha gli elementi sulla diagonale nulli e la parte triangolare superiore di segno opposto rispetto alla parte inferiore) Riprendendo il risultato di prima: Derivata di una matrice di Rotazione

5 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Proprietà della Skew Matrix Consideriamo un punto p solidale ad un corpo sottoposto ad un moto rigido di sola rotazione La sua posizione nello spazio è pari a p(t) = R(t) p Dunque la derivata: Che può scriversi: Del resto sappiamo che la rotazione nel tempo di un vettore può essere espressa tramite il vettore velocità angolare (t):

6 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Proprietà della Skew Matrix Dunque la Skew Matrix descrive il prodotto vettoriale tra il vettore velocità angolare e la matrice di rotazione: Tale risultato è di importanza fondamentale in quanto trasforma equazioni in cui è presente la derivata od il prodotto vettoriale in equazioni in cui compare semplicemente il prodotto tra matrici Tale artificio è in qualche modo analogo alluso della trasformata di Fourier nel campo dellanalisi segnali in quanto si trasformano relazioni poco trattabili (in quel caso equazioni differenziali nel dominio del tempo) in equazioni algebriche Poiché la Skew Matrix descrive il prodotto vettoriale tra il vettore velocità angolare e la matrice di rotazione essa sarà pari a:

7 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Esempio - Skew Matrix Si consideri la rotazione elementare attorno allasse z: Supponendo funzione del tempo e che:

8 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Proprietà della Skew Matrix Cerchiamo adesso una proprietà notevole: Consideriamo di nuovo un punto p solidale ad un corpo sottoposto ad un moto rigido di sola rotazione Il risultato del prodotto vettoriale tra due vettori p 1 e p 2 ruotato di R è pari al prodotto vettoriale dei due vettori ruotati di R: (scaturisce da semplici considerazioni geometriche di tipo vettoriale) Si noti come tale proprietà denoti che il prodotto vettoriale non segue affatto le regole di composizione algebrica

9 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion In cui, eliminando lesplicita dipendenza dal tempo: Proprietà della Skew Matrix

10 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Velocità di un braccio - Lineare Nota: si omette lindicazione esplicita dellapice 0 delle grandezze riferite alla terna di base i i-1 0 terna di base Espressione della velocità lineare del braccio i in funzione della velocità lineare ed angolare del braccio i-1 = 0 giunto rotativo 0 giunto prismatico (quando in apice non appare simbolo vuol dire che il vettore è espresso rispetto alla terna di base) derivando

11 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Velocità di un braccio - Angolare Partendo dalla composizione delle rotazioni e derivando: d/dt Dove indica la velocità angolare della terna i rispetto alla i-1 espressa nella terna i-1

12 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Velocità di un braccio - Angolare Espressione della velocità angolare del braccio i in funzione della velocità angolare del braccio i-1 ed angolare relativa tra braccio i ed i-1

13 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion In definitiva: Da cui si nota come leffetto di un giunto j si ripercuota solamente sui giunti successivi (come del resto doveva essere trattandosi di catene cinematiche aperte) Vogliamo adesso calcolare lo Jacobiano definito come: (generalizzando al caso rotativo e prismatico) Calcolo dello Jacobiano

14 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Mediante moltiplicazione matriciale: In cui, evidentemente: rappresenta il contributo della derivata della variabile di giunto j alla velocità lineare dellend-effector (con tutti gli altri giunti fermi) rappresenta il contributo della derivata della variabile di giunto j alla velocità angolare dellend-effector (con tutti gli altri giunti fermi) Il ché vuol dire che per determinare gli elementi dello Jacobiano si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti (del resto loperazione di derivazione porta ad una approssimazione lineare) Nota: dq j /dt è uno scalare J Pj e J Oj sono vettori 3x1 Calcolo dello Jacobiano

15 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Calcolo dello Jacobiano – Contributo Lineare Calcolo di : Solo il braccio j si muove, quindi alcuni termini si annullano Nel giunto prismatico : Nel giunto rotoidale : Poiché leffetto di un giunto j si ripercuote solamente sui giunti successivi:

16 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Giunto Prismatico – Contributo Lineare Calcolo di : Nel giunto prismatico : = 0 poiché gli altri giunti prismatici sono fermi = 0 poiché non ci sono giunti rotoidali in azione Prismatico

17 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Giunto Rotoidale – Contributo Lineare Calcolo di : = 0 poiché non ci sono giunti prismatici in azione Tutte le velocità angolari sono uguali in quanto si ha leffetto del giunto rotoidale anche sugli altri giunti Nel giunto rotoidale : Rotoidale

18 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Calcolo dello Jacobiano – Contributo Rotazionale Calcolo di : Nel giunto prismatico : Nel giunto rotoidale : PrismaticoRotoidale = 0 poiché solo il giunto i_esimo è in azione

19 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Rotoidale Prismatico Calcolo dello Jacobiano In definitiva: Che dipendono da: … e quindi dalla postura del robot

20 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion Tali relazioni consentono il calcolo dello Jacobiano in maniera semplice e sistematica sulla base delle relazioni cinematiche dirette, in particolare: Calcolo dello Jacobiano

21 M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion


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