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1 Il calcolo di radiosity Daniele Marini. 2 Radiosity di superfici finite Sistema lineare di N equazioni in N incognite:

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1 1 Il calcolo di radiosity Daniele Marini

2 2 Radiosity di superfici finite Sistema lineare di N equazioni in N incognite:

3 3 Il sistema lineare riscriviamo il sistema lineare da risolvere: Mb = e dove: M è la matrice dei fattori di forma, b è il vettore incognito delle radiosity di ogni superficie, e è il vettore dei termini noti, emissività delle superfici M i,j = i,j - i F i,j i,j è il delta di Kronecker, =1 per i=j; =0 altrimenti

4 4 in forma esplicita il sistema si scrive come: 0 i < 1 per ragioni fisiche 0 F i,i 1 ; in superfici piane F i,i = 0 (la faccia non può vedere sè stessa) quindi M i,i > 0 e il sistema si può riscrivere:

5 5 Metodo di Jacobi metodo iterativo; si sceglie una stima iniziale del vettore b, a ogni passo k successivo si valuta lequazione risolvente, usando il vettore già calcolato al passo k-1:

6 6 Metodo di Gauss-Seidel Modifica di quello di Jacobi, ad ogni passo k si usa sia la valutazione del passo k-1 sia quella del passo k stesso:

7 7 Gauss-Seidel Vantaggi: più veloce, converge sempre se la matrice è a diagonale dominante (e questo è proprio il caso!):

8 8 guess iniziale I metodi iterativi si basano su una ipotesi iniziale del valore della soluzione, chiamata guess in generale si può usare come valore di b quello del vettore di emissività e

9 9 Gathering vs. Shooting Literazione con G-S o Jacobi produce un risultato solo alla fine il metodo Shooting premette di vedere il risultato in volo la complessità è però analoga: si può vedere il risultato parziale in anticipo, poichè tutte le patch hanno fin dallinizio una radiosità associata

10 10 Shooting: metodo di Southwell Riscriviamo lequazione come: K = dove: K dipende a F j,i invece che F i,j come in M (reciprocità) a ogni passo k di iterazione k) approssima la radiosità con un errore residuo

11 11 Shooting (cont) il residuo al passo k è: al crescere delle iterazioni il residuo tende a 0 il metodo procede generando una approssimazione di al passo k+1 modificando una sola componente del vettore

12 12 Shooting (cont) a ogni passo si sceglie la componente di radiosità cui corrisponde il massimo residuo, altri residui possono crescere ma alla fine ciascuno tende a zero. lordine di aggiornamento non è noto a priori

13 13 Shooting (cont) al passo k si supponga che la componente i dia luogo al residuo massimo r i ; imponendo che esso tenda a zero richiede di risolvere la: solo la i viene modificata, quindi

14 14 Shooting (cont) dalla: si ricava: oppure:

15 15 Shooting (cont) la forma del residuo diventa: poiché una sola componente di k vien modificata, allora il termine ha solo un componente diverso da zero (quello di indice i) e basta una colonna di K per aggiornare il residuo

16 16 Shooting (cont) in conclusione il residuo si calcola:

17 17 Shooting (cont) Date le due equazioni: la prima permette il calcolo di radiosità per la patch i, e i residui sono aggiornati con la seconda fino a una soglia minima. Ad ogni passo si usa una sola colonna della matrice K

18 18 Shooting (cont) il guess per può essere 0; il guess per il residuo può essere il vettore di emissività da qui il significato fisico: si minimizza il residuo massimo, cioè la maggiore sorgente di luce, e la si spara su tutte le patch; quando il residuo è inferiore alla soglia si passa alla sorgente successiva:

19 19 Shooting (cont) infatti: ma: e assumendo F i,i =0: quindi lenergia emessa dalla sorgente si ripartisce su tutte le altre patch

20 20 Calcolo del form factor trascurando occlusioni si può riformulare:

21 21 Analogia di Nusselt

22 22 Soluzione analitica possibile solo per forme semplici, esistono formule per rettangoli, dischi, cilindri lintegrale darea può essere sostituito da un integrale di contorno (teorema di Stokes): dove C i, C j sono i contorni delle patch A i, A j e i due differenziali sono i vettorilungo i contorni –attenzione alle singolarità per r->0

23 23 Integrazione per contorno Nel caso di patch poligonali lintegrale si può calcolare esplicitamente, stimando il fattore di forma tra un punto e la patch:


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