Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso –

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1 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2015-16 ZONE DI DISCONTINUTA’ Lezione 1  DEFINIZIONI  PRINCIPI E METODI DI CALCOLO  Definizione di D-Regions  Metodi di calcolo che fanno uso di codici agli E.F.  I modelli Strut-and-tie  Principi del metodo  Regole generali per la costruzione dei modelli  Accuratezza e ottimizzazione  Resistenze dei materiali e nodi  Esempi 1

2 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Definizioni 2 Il principio di de-Saint Venant permette di individuare nelle travi le zone (dette D-regions) lontano dalle quali la distribuzione delle tensioni non dipende dalla particolare distribuzione dei carichi applicati, ma solamente dalla loro risultante.

3 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Definizioni 3 Le indicazioni presenti in letteratura permettono una progettazione accurata ed attenta delle parti di una struttura non interessate da discontinuità geometriche o statiche (B-Regions). Ad esempio, per la valutazione degli effetti flessionali la valutazione dello stato tensionale è facilmente determinabile a partire dalle seguenti ipotesi (modello di trave): planarità delle sezioni (ipotesi di Bernoulli); resistenza a trazione del calcestruzzo trascurabile; perfetta aderenza acciaio-calcestruzzo; utilizzo di modelli rappresentativi del legame costitutivo (  -  ) dei materiali. Quando oltre alla flessione è presente anche il taglio si fa generalmente uso di modelli Truss, che traducono in maniera semplice l’interazione tra i due fenomeni e permettono di valutare la quantità di armatura necessaria a flessione e taglio.

4 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Definizioni 4 Sfortunatamente nelle zone di discontinuità l’ipotesi di Bernoulli deve necessariamente essere rimossa con la conseguenza che lo stato di tensione all’interno della trave non può essere ricavato semplicemente dalle caratteristiche della sollecitazione (Sforzo normale, T, Momento). L’ Ipotesi di Bernoulli può essere considerata valida Distribuzione delle tensioni Le tensioni hanno un andamento non lineare Trave Alta

5 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Estensione delle D-Regions 5 Per l’applicazione dell’ipotesi di Bernoulli è necessario individuare l’estensione delle B-Regions e conseguentemente delle D-Regions. A tale scopo è utile il principio di De Saint-Venant.

6 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Metodi di progetto che fanno uso di analisi agli E.F. 6 Le zone di disturbo possono essere agevolmente studiate con l’ausilio di modelli per la simulazione di stati di tensione piani, anche se non mancano casi nei quali la distribuzione delle tensioni è tridimensionale. Possono essere condotte due tipi di analisi: Analisi elastica non lineare Analisi non lineari in campo plastico

7 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ E.F. Analisi Lineare 7 Da un punto di vista concettuale l’analisi elastica non richiede grossi sforzi, soprattutto utilizzando programmi agli elementi finiti, e può essere facilmente applicata. Essa però non è affatto esente da problemi: in punti singolari (spigoli, forze concentrate, etc..) la tensione può aumentare considerevolmente, a causa dell’approssimazione del modello.

8 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ E.F. Analisi Lineare 8 non appena il calcestruzzo si fessura e compaiono fenomeni di non linearità meccanica dei materiali le previsioni di un modello elastico possono divenire poco attendibili. Incompatibili

9 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ E.F. Analisi Lineare 9 Per la definizione di modelli agli EF affidabili, occorre inoltre determinare correttamente le condizioni al contorno, sia cinematiche che statiche. Corretta valutazione dei carichi sia distribuiti che concentrati corretta definizione delle condizioni di vincolo

10 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ E.F. Analisi Lineare 10 Per la definizione di modelli agli EF affidabili, occorre inoltre determinare correttamente le condizioni al contorno, sia cinematiche che statiche.

11 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ E.F. Analisi Lineare 11 In alcune occasioni i risultati del metodo possono essere non facilmente interpretabili soprattutto per zone D di dimensioni ridotte, per le quali spesso il modello strut-and-tie si presta ad essere utilizzato più facilmente. E’ questo, ad esempio, il caso dei nodi trave-pilastro

12 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ E.F. Analisi Lineare 12 Un ulteriore problema legato a modelli elastici è l’impossibilità di valutare le forze di ancoraggio necessarie per un buon funzionamento statico, soprattutto in presenza di fessurazione del calcestruzzo e di fenomeni non lineari. Valutare le forze di ancoraggio e di conseguenza le lunghezze di ancoraggio in base a modelli elastici potrebbe provocare gravi errori progettuali

13 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ E.F. Analisi in campo plastico 13 Le analisi in campo plastico risultano di difficile applicazione sia per il non agevole utilizzo di programmi di analisi non lineare, sia per la complessità dei fenomeni in gioco (fessurazione, ancoraggio delle armature, etc..). Per tale motivo, spesso si limita l’utilizzo al solo caso elastico.

14 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Analisi agli E.F 14 Per la determinazione del layout di armatura è necessario indagare l’andamento delle tensioni, in particolare quelle di trazione. Le tensioni di compressione possono essere utilizzate effettuare una verifica sul cls compresso. La difficoltà di queste operazioni sta nell’interpretazione dello stato tensionale.

15 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi) 15 Per valutare l’andamento delle tensioni interne possono essere utilizzate le linee isostatiche che permettono la visualizzazione delle tensioni principali di trazione e compressione e avere così un quadro di come le tensioni si distribuiscono all’interno di una zona. Da esse è possibile ricavare un modello a traliccio composto da puntoni (struts) e tiranti (tie). I primi devono descrivere il tracciato delle linee isostatiche di compressione, mentre i secondi rappresentano l’armatura che serve per assorbire gli sforzi di trazione.

16 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi) 16

17 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi) 17 Un altro esempio è quello di trave alta, illustrato qui accanto. E’ facile dalle isostatiche individuare un flusso di tensioni principali che corrisponda a puntoni e l’equilibrio del modelli anche tiranti in grado di assorbire gli sforzi di trazione

18 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni – A/A 2008-09 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi) 18 In maniera del tutto analoga può essere utilizzato il metodo dei percorsi di carico che fanno uso della analogia meccanica fra il flusso di un liquido e le forze interne. In tal caso si individuano dei percorsi si carico che non sono altro che linee che percorre il carico dal punto di applicazione all’appoggio. Tali linee sono delle linee lungo le quali la componente di forza verticale rimane costante.

19 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi) 19

20 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi) 20

21 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi) 21 La costruzione di un modello a traliccio non è in realtà univoca. Per ogni applicazione sono possibili diversi modelli a traliccio. Ci si chiede allora qual è il principio in base al quale scegliere il modello? Una volta individuato un modello facendo riferimento ai flussi di sforzo ricavati da un'analisi elastica, esso può essere considerato come uno schema iniziale da distorcere in modo parametrico nel tentativo di riuscire a individuare valori ultimi del carico di intensità maggiore. Un modo sistematico per compiere questa ricerca si basa su procedure di ottimizzazione che richiedono l'utilizzo dell'elaboratore elettronico

22 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi) 22 Il fondamento teorico di tale procedura è legato ad uno dei teoremi dell’analisi limite secondo il quale il modello a traliccio costituisce una soluzione “staticamente ammissibile“, il cui moltiplicatore di collasso è approssimato per difetto. Il teorema a cui ci si riferisce è il teorema del limite inferiore

23 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi) 23 teorema del limite inferiore (teorema statico) Il teorema del limite inferiore afferma che se esiste un sistema di forze esterne Fi in equilibrio con lo stato tensionale interno in ogni punto e che non viola in nessun punto il criterio di rottura del materiale, allora il collasso non può avvenire e il livello dei carichi considerati rappresenta un limite inferiore per quello di rottura.

24 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi) 24 Una volta individuato un modello strut-and-tie esso è suscettibile di miglioramenti. In particolare può essere aumentata la sua accuratezza introducendo ulteriori sotto- elementi in grado di valutare più in dettaglio il valore locale delle tensioni.

25 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi) 25

26 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie (principi) 26 I modelli SAT possono essere utilizzati anche per la valutazione della resistenza a collasso di D-regions.

27 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie 27 Le fasi per la costruzione di un modello Strut-and-tie sono: 1)Individuazione delle zone B e D 2)Analisi globale per la determinazione delle forze di interfaccia tra zone B e D 3)Costruzione di un modello a traliccio staticamente ammissibile (SAT) e dimensionamento delle aste compresse e tese 4)Controllo della resistenza dei nodi 5)Distribuzione dell’armatura all’interno della zona D

28 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 28 Le fasi per la costruzione di un modello Strut-and-tie

29 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie Regole generali per la costruzione di modelli SAT 29 Il modello di prima approssimazione deve essere il più semplice possibile con un numero ridotto di puntoni e tiranti. E’ preferibile scegliere tiranti (armature) paralleli ai lati della zona analizzata. In prossimità dei lati della zona è bene infittire le armature e porre il corrispondente tirante nel baricentro delle armature L’angolo tra i puntoni e i tiranti in un nodo deve essere grande e > 45°, ad eccezione dei casi in cui due tiranti a 90° incontrano un puntone per cui al massimo l’angolo può essere 45°.

30 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie Regole generali per la costruzione di modelli SAT 30

31 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie Regole generali per la costruzione di modelli SAT 31 I modelli SAT sono spesso dei meccanismi. Occorre allora cercare quella distribuzione di forze che rende il sistema comunque ammissibile. Modelli SAT iperstatici, sono utilizzabili, a patto che si realizzi un’analisi di ottimizzazione in grado di massimizzare il moltiplicatore di collasso.

32 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie Unicità della soluzione di un modello SAT 32 I tralicci staticamente ammissibili sono più di uno. Dovendo scegliere tra più modelli di traliccio, ci si può orientare secondo vari criteri. Uno di questi è la condizione di minimo dell'energia di deformazione associata al modello che, nell'ipotesi di comportamento elastico di tiranti e puntoni in fase post-fessurata, è determinabile come:  F i l i  mi = minimo dove F i, l i,  mi indicano rispettivamente sforzo assiale, lunghezza e deformazione dell'i-esimo elemento. La formula può essere semplificata limitando la sommatoria alle sole aste tese. Il modello così determinato presenta il minor numero di bielle tese e di minor lunghezza.

33 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie Unicità della soluzione di un modello SAT 33 La realizzabilità del layout di armatura fa anch’esso da guida nella scelta del modello

34 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 34 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie RESISTENZE DEI MATERIALI Per tener conto dell’approssimazione del modello le resistenze degli elementi vengono ridotte mediante opportuni coefficienti di sicurezza. Per il cls l’EC2 prescrive: k=0.85

35 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 35 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie RESISTENZE DEI MATERIALI Per l’acciaio l’EC2 prescrive che la resistenza dei tiranti sia quella delle armature stesse. Per le resistenze dei nodi essa prescrive Nodo interamente compresso

36 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione… Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2012-13 36 TRAVI ALTE E ZONE DI DISCONTINUITA’ Progetto D-Regions con modelli Strut-and-tie RESISTENZE DEI MATERIALI Nodo non interamente compresso