La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

LEZIONE N° 3 – STATO LIMITE ULTIMO DI INSTABILITA Posizione del problema Il problema della stabilità dellequilibrio –aste perfette: Il carico critico euleriano.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "LEZIONE N° 3 – STATO LIMITE ULTIMO DI INSTABILITA Posizione del problema Il problema della stabilità dellequilibrio –aste perfette: Il carico critico euleriano."— Transcript della presentazione:

1 LEZIONE N° 3 – STATO LIMITE ULTIMO DI INSTABILITA Posizione del problema Il problema della stabilità dellequilibrio –aste perfette: Il carico critico euleriano –influenza delle imperfezioni –influenza dei vincoli Aste in c.a.: Il diagramma Momento-Curvatura (M- ) –cenni alla sua determinazione numerica –punti caratteristici del diagramma (M- ) Aste in c.a.: il metodo esatto Aste in c.a.: il metodo della colonna modello Esempio: calcolo sforzo normale ultimo di un pilastro in c.a. snello. Prescrizioni Normative (D.M , EC2) Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

2 Pilastri snelli in c.a. (Posizione del Problema) Il problema della valutazione della capacità portante di pilastri tozzi (pilastri con rapporto tra lunghezza e minima dimensione in sezione è sufficientemente piccola) si riduce al calcolo della capacità portante della sua generica sezione (se di sezione costante). In tal caso le sollecitazioni sono determinate con la teoria del primo ordine, in quanto si ritiene che le sollecitazioni non siano influenzate dalla configurazione deformata essendo gli spostamenti piccoli (teoria del I° ordine) Può però accadere che lentità degli spostamenti non sia così piccola da poter trascurare le sollecitazioni aggiuntive che nascono imponendo lequilibrio nella configurazione deformata. In tal caso si parla di teoria del II° ordine. Nel caso ad esempio di una mensola soggetta a compressione la possibilità che lasta non sia inizialmente rettilinea potrebbe comportare effetti del II° ordine non trascurabili in presenza di snellezza elevata. P P v I° ordine II° ordine Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

3 Pilastri snelli in c.a. (Posizione del Problema) Ci si chiede allora quale sia linfluenza (in genere deleteria) degli effetti del II° ordine sulla capacità portante delle strutture. In particolare ci si chiede quale sia linfluenza degli effetti del secondo ordine sulla capacità portante di pilastri in cemento armato. P u II < P u I v II° ordine PuIPuI I° ordine Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

4 Pilastri snelli in c.a. (Il problema della stabilità delleq.) ASTE PERFETTE (Asta di Eulero) Lesempio classico sulla base del quale la teoria della II° ordine ha avuto il suo sviluppo è il problema dellasta di Eulero. In particolare, considerata una trave semplicemente appoggiata, soggetta a sforzo normale, ci si chiede se esistano configurazioni equilibrate diverse dalla configurazione iniziale. P L E J v Equazione di equilibrio (Eq. differenziale omogenea) Carico critico Euleriano Comportamento reale Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

5 P L E J v Pilastri snelli in c.a. (Il problema della stabilità delleq.) ASTE PERFETTE (Asta di Eulero) Lesempio classico sulla base del quale la teoria della II° ordine ha avuto il suo sviluppo è il problema dellasta di Eulero. In particolare, considerata una trave semplicemente appoggiata, soggetta a sforzo normale, ci si chiede se esistano configurazioni equilibrate diverse dalla configurazione iniziale. Equazione di equilibrio (Eq. differenziale omogenea) Il carico critico Euleriano è il più piccolo carico per il quale sussiste lequilibrio nella configurazione deformata. In corrispondenza di esso sussiste quella che in gergo viene definita biforcazione dellequilibrio. P v Biforcazione dellEquilibrio Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

6 Pilastri snelli in c.a. (Il problema della stabilità delleq.) INFLUENZA DELLE IMPERFEZIONI Dal momento che le condizioni di asta perfetta non sono in genere verificate occorre considerare anche linfluenza delle imperfezioni, in genere rappresentate da una eccentricità iniziale e. Equazione di equilibrio (Eq. diff. non omogenea) P L0L0 E J v P e P v Comportamento reale Lo sforzo Normale massimo è inferiore al carico critico di Eulero Le imperfezioni eliminano il fenomeno della biforcazione dellequilibrio Asta di Eulero con Imperfezioni PyPy PuPu Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

7 Pilastri snelli in c.a. (Il problema della stabilità delleq.) INFLUENZA DEI VINCOLI La formulazione del problema di Eulero riguardava lasta semplicemente appoggiata. In realtà le condizioni di vincolo che possono presentarsi sono in genere diverse e hanno notevole influenza sulla valutazione della stabilità dellequilibrio di elementi strutturali compressi. Per tener conto di ciò lidea è quella di ridursi attraverso condizioni di natura geometrica allasta di Eulero modificando opportunamente la lunghezza della trave con un coefficiente. P L L 0 =2L L 0 = L P L L 0 =0.7 L Esempi L 0 =0.5 L L P Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

8 Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) DEFINIZIONE DEL PROBLEMA Si consideri ora unasta in cemento armato. Poiché il materiale considerato è a comportamento non lineare la ricerca di posizioni equilibrate diverse dalla configurazione iniziale comporta, oltre a non linearità di natura geometrica, anche non linearità meccaniche. In particolare il momento dipende non linearmente dalla curvatura alla quale la sezione considerata è soggetta. f v(x) L P e Occorre quindi valutare il massimo valore di P che soddisfi lequazione di equilibrio nella sezione più sollecitata tenendo conto della non linearità della legge M( ) Nella generica sezione la riserva di resistenza flessionale M( ) è in parte assorbita dal momento esterno del I° ordine M I =Pe e in parte dal momento del II° ordine M II =Pf. Osservazione Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

9 Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) VALUTAZIONE DELLA CURVATURA x v y y u Deformazione della fibra a livello y dx dx+ x dx d r trascurabile Modello Cinematico Legame curvatura-deformazione Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

10 Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) Il DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA Poiché siamo interessati alla valutazione della capacità ultima dellelemento strutturale il diagramma M- può essere ragionevolmente approssimato con una trilatera i cui punti caratteristici sono rappresentati rispettivamente dal punto di prima fessurazione del CLS (I° Stadio), dal punto di primo snervamento dellarmatura (II° Stadio) e dal punto di rottura allo SLU della sezione (III° Stadio). M ( f, M f ) ( y, M y ) ( u, M u ) N=cost Diagramma Momento-Curvatura Semplificato I° Stadio II° Stadio III° Stadio Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

11 Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) PUNTI CARATTERISTCI DEL DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA I° Stadio Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti della sezione si valutano considerando la sezione interamente reagente omogeneizzata a CLS II° Stadio III° Stadio Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti della sezione si valutano considerando la sezione elastica ma parzializzata. Il momento flettente e lo sforzo normale resistenti si valutano considerando per la sezione le condizioni di stato limite ultimo. Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

12 Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) ESEMPIO DI DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA (codice VCASLU) ( f, M f ) ( y, M y ) ( u, M u ) N=374 kN DATI SEZIONE: Dimensioni Sezione b=30 cm, h=30 cm Armatura 3 22 inferiore e superiore. Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

13 Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) METODI DI SOLUZIONE: IL METODO ALLE DIFFERENZE FINITE P L0L0 vivi P e xixi v i+1 x Metodo delle differenze finite Sviluppo in serie di Taylor della legge M( ) Sistema lineare con incognita v i Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

14 Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (D.M ) f v(x) Soluzione approssimata L Curvatura Massima La verifica del pilastro si esegue calcolando il massimo valore dello sforzo normale P u per cui sia ancora possibile lequilibrio nella sezione maggiormente sollecitata. Esso deve risultare minore dello sforzo normale applicato. P e Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

15 Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO Soluzione del sistema M I = P u e P u L 2 /10 ( y, M y ) M II P=P u Soluzione Iterativa Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

16 Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO SOLUZIONE ITERATIVA Lo sforzo normale ultimo P u si valuta in 5 passi: 1) si sceglie un P u di primo tentativo 1) si valuta il diagramma M- 3) si valuta il momento del II° ordine M II 4) si valuta M I 5) se P u e M I il procedimento iterativo termina, altrimenti si utilizza il valore P u =M I /e come ulteriore P u di tentativo e si ripetono i punti dal 1 al 5 fino a che la condizione non risulti verificata MIMI ( y, M y ) P=P u Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

17 Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (ESEMPIO) Materiali Cls Rck 30 Mpa Acciaio FeB44K DATI: Dimensioni Sezione b=30 cm, h=30 cm Armatura 3 22 inferiore e superiore. Eccentricità e = 30 cm Altezza pilastro H=700 cm Nel caso dellesempio considerato sono state necessarie 6 iterazioni per raggiungere la convergenza, ottenendo per lo sforzo normale ultimo il valore P u = kN che corrisponde al momento M I = kNm N.B. il valore di P u in assenza di fenomeni del II° ordine vale 482 kN, valore maggiore del 22% rispetto al caso nel quale gli effetti del II° ordine siano messi in conto Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

18 Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) METODI DI SOLUZIONE: IL METODO DELLA COLONNA MODELLO (ESEMPIO) M I = kNm ( y, M y ) M II =261.8 kNm P=P u = 374 kN Materiali Cls Rck 30 Mpa Acciaio FeB44K DATI: Dimensioni Sezione b=30 cm, h=30 cm Armatura 3 22 inferiore e superiore. Eccentricità e = 30 cm Altezza pilastro H=700 cm Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A

19 Pilastri snelli in c.a. (verifica allo SLU) PRESCRIZIONI NORMATIVE (D.M punto ) Università degli Studi di Roma Tre Facoltà di Ingegneria Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – A/A


Scaricare ppt "LEZIONE N° 3 – STATO LIMITE ULTIMO DI INSTABILITA Posizione del problema Il problema della stabilità dellequilibrio –aste perfette: Il carico critico euleriano."

Presentazioni simili


Annunci Google