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STABILITÀ DELLEQUILIBRIO ELASTICO Per giudicare la sicurezza di una struttura, la sola verifica di resistenza può non essere sufficiente. Un semplice esempio.

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1 STABILITÀ DELLEQUILIBRIO ELASTICO Per giudicare la sicurezza di una struttura, la sola verifica di resistenza può non essere sufficiente. Un semplice esempio chiarirà questa affermazione. Si consideri unasta dacciaio ad asse rettilineo, lunga 5 m e con sezione circolare di diametro pari a 10 cm. Si supponga di incastrarla nel suo estremo superiore e di appendere allestremo libero un peso di 1000 kN in modo che il suo baricentro sia allineato con lasse della trave. Escludendo le zone di estremità, lo sforzo nellasta è costante e pari a = N/A = /( 50 2 ) = 125 N/mm 2. Si tratta di una sollecitazione largamente inferiore allo sforzo di snervamento dellacciaio ( N/mm 2 ), per cui la verifica di resistenza è soddisfatta.

2 Si supponga ora di ribaltare la struttura con unasta soggetta ad una forza di compressione. Essendo il comportamento dellacciaio simmetrico a trazione e compressione, basandosi esclusivamente su considerazioni legate alla resistenza del materiale si dovrebbe concludere che, anche compressa, lasta è sicura. E peraltro sufficiente lintuizione a far comprendere che basta che lasse dellasta non sia perfettamente rettilineo, che il peso non sia perfettamente centrato o che intervenga una piccola azione orizzontale a causare uninflessione dellasta per innescare uno sbandamento laterale che rischia di provocare deformazioni irreversibili, o comunque di far allontanare di molto lasta dalla configurazione verticale di partenza. Da un punto di vista teorico, se lasta è perfettamente rettilinea e il carico è perfettamente centrato, la configurazione verticale, caratterizzata solamente da un accorciamento della linea dasse, è effettivamente una configurazione di equilibrio, indipendentemente dal valore del carico. Il problema è che, se il carico è elevato, si tratta di una configurazione di equilibrio instabile: basta cioè una piccola perturbazione a fare allontanare sensibilmente lasta dalla configurazione iniziale rettilinea.

3 Questo discorso fa comprendere che, per giudicare la sicurezza di una struttura soggetta a carichi di compressione, ci si debba preoccupare di studiare la natura delle configurazioni di equilibrio. Per illustrare il concetto, si consideri una sferetta obbligata a spostarsi lungo una curva del piano. componente destabilizzante di P componente stabilizzante di P P PP P equilibrio indifferente AB C

4 La sferetta può trovarsi in equilibrio in una delle tre posizioni A, B e C. A è una posizione di equilibrio stabile, nel senso che se la sferetta viene allontanata da A, il suo peso P acquista una componente stabilizzante che tende a riportarla nella posizione di partenza. B è invece una posizione di equilibrio instabile, perché se la sferetta leggermente viene allontanata da B il suo peso acquista una componente destabilizzante che la allontana definitivamente da tale posizione. Infine, C è una posizione di equilibrio indifferente: se la sferetta viene allontanata di poco da tale posizione, non tende né a tornarvi né a discostarsene ulteriormente. Per lingegnere sono pericolose non solo le situazioni in cui lequilibrio di una certa struttura è instabile, ma anche quelle di equilibrio indifferente. Questo perché nella maggioranza dei casi le strutture devono essere progettate per riacquistare la configurazione iniziale una volta cessato leffetto di una causa perturbatrice.

5 Stabilità dellequilibrio di sistemi discreti Si consideri una struttura estremamente semplice, costituita da ununica asta compressa, indeformabile, vincolata al terreno ad un estremo. Tutta la deformabilità della struttura è concentrata in ununica sezione ed è schematizzata mediante una molla. La configurazione verticale dellasta è di equilibrio per qualunque valore del carico P.

6 Imprimiamo allasta un piccolo cambiamento di configurazione, caratterizzato da un angolo di rotazione infinitesimo. Rispetto alla cerniera a terra nascono: un momento (destabilizzante) prodotto dal carico esterno, pari a PLsin( ) PL ; un momento (stabilizzante) dovuto allazione di richiamo della molla, pari a k.

7 Ci si può chiedere quali configurazioni di equilibrio deformate siano possibili per la struttura ora considerata oltre a quella banale. Per determinare tali configurazioni, bisogna mettere esplicitamente in conto la possibilità che esse possano essere molto discoste dalla configurazione verticale, ovvero bisogna imporre lequilibrio della struttura abbandonando integralmente lipotesi di piccoli spostamenti. Sia langolo formato dallasta ruotata con la verticale. Senza nessuna ipotesi restrittiva sullentità della rotazione, lequilibrio alla rotazione attorno alla cerniera al piede si scrive: PLsin ( = k P = k/L. Se langolo è piccolo sin ( quindi:

8 A seconda del valore del rapporto (k/L) sono tre le possibili situazioni: (a)se k/L > P, la molla tende a riportare lasta nella configurazione verticale; (b) se k/L < P, la molla non è in grado di riportare lasta nella configurazione verticale; (c) al limite, se k/L=P, esistono in sostanza infinite configurazioni di equilibrio deformate, infinitamente prossime a quella verticale (banale). Il carico per cui lasta può stare in equilibrio indifferentemente nella configurazione banale e in qualunque configurazione ruotata, infinitamente prossima a quella banale viene definito carico critico (P cr ).

9 Stabilità dellequilibrio di sistemi continui Lasta di Eulero Si consideri ora unasta compressa, di lunghezza L e di rigidezza flessionale EI finita, vincolata al terreno mediante una cerniera e un carrello. Tale asta è nota come asta di Eulero. Con I sintenderà il più piccolo fra i momenti principali dinerzia della generica sezione dellasta (I min ). Si vuole determinare qual è il massimo valore del carico P al di sotto del quale la configurazione rettilinea (banale) dellasta è di equilibrio stabile.

10 Seguendo lapproccio statico visto per sistemi discreti, si può determinare il carico critico dellasta come il più piccolo valore del carico P per il quale lasta può trovare lequilibrio in una configurazione deformata infinitamente prossima a quella rettilinea. Sia v(z) lequazione che descrive la linea dasse deformata in tale configurazione. Il momento agente nella generica sezione della trave deformata si trova imponendo lequilibrio alla rotazione di un generico tratto di lunghezza iniziale: M(z) = Pv(z). P P M

11 È noto che il legame momenti curvature per lasta deformata si scrive: M(z) = - EIv(z) Eguagliando le due espressioni di M(z) ottenute si ha: -EIv(z) = Pv(z). Posto 2 = P/EI (>0 se P è di compressione), la precedente equazione differenziale si scrive: v(z) + 2 v(z) = 0. Si tratta dellequazione dei moti armonici, il cui integrale generale è v(z) = A sin( z) + B cos( z). Le costanti dintegrazione A e B si trovano imponendo le condizioni al contorno.

12 v(0) = 0 quindi B = 0; v(L) = 0 quindi A sin(aL) = 0. A meno che il coefficiente non assuma valori particolari, la seconda condizione è verificata solo se A=0. Si ritrova così che, per qualunque valore del carico P, la configurazione rettilinea v(z) identicamente nullo è comunque di equilibrio. Se però è tale per cui risulta sin( L) = 0, la seconda condizione al contorno è soddisfatta, qualunque sia il valore di A, e risultano possibili configurazioni di equilibrio deformate di tipo sinusoidale. Ciò avviene quando L = n (con n=1,2...), ovvero, ricordando che = (P/EI), quando P = n 2 2 EI/L 2, n=1,2... Il più piccolo fra questi infiniti valori rappresenta il carico critico della trave, ovvero il minimo valore del carico per il quale nascono configurazioni di equilibrio diverse da quella banale:

13 per P < P cr, lunica configurazione di equilibrio possibile è quella rettilinea, che è anche stabile. Per P < P cr la configurazione banale diviene instabile: per determinare le configurazioni non banali, sarebbe necessario abbandonare integralmente lipotesi di piccoli spostamenti. Per P = P cr, lequilibrio è possibile, oltre che nella configurazione banale, in configurazioni deformate caratterizzate dallequazione v(z) = A sin( z/L) = v cr (z) con A indeterminato. Si dice anche che la deformata secondo cui può atteggiarsi la trave sotto P=P cr è nota in forma, ma non in ampiezza. v cr (z) è anche detta equazione della deformata critica. Il valore di P cr ottenuto è noto anche come carico critico euleriano.

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15 Aste compresse con altre condizioni di vincolo Il risultato ottenuto con riferimento allasta cerniera-carrello è estensibile anche ad aste compresse con altre condizioni di vincolo. Sapendo che la deformata critica di unasta deformabile caricata di punta è comunque di tipo sinusoidale, si può porre il carico critico nella forma generale L 0 è detta lunghezza di libera inflessione e rappresenta la distanza fra due flessi consecutivi nella deformata critica. L 0 coincide dunque con la lunghezza di semionda della sinusoide che dà la deformata critica. Tale lunghezza è in generale diversa dalla lunghezza effettiva dellasta (L) ed è legata alle condizioni di vincolo dellasta. Tanto minore è L 0, tanto più sicura risulta lasta nei confronti dellinstabilità.

16 In diversi casi, L 0 può essere determinata in base a semplici considerazioni geometriche. Ad esempio, per la mensola compressa la deformata critica ha lunghezza di semionda pari a 2L; il carico critico della mensola è quindi ed è quindi 4 volte più piccolo di quello di unasta di Eulero di pari lunghezza.

17 Aste compresse con altre condizioni di vincolo sono illustrate in Figura; per ciascuna sono indicati la rispettiva lunghezza di libera inflessione e il rispettivo carico critico. In alcuni casi, non è possibile determinare la lunghezza di libera inflessione sulla base di semplici considerazioni geometriche. E il caso dellasta incastro- appoggio, la cui deformata critica non possiede particolari simmetrie che aiutino nella determinazione di L 0. Il problema va risolto esplicitamente, seguendo una procedura sostanzialmente analoga a quella vista per lasta di Eulero.

18 Limiti di validità della formula di Eulero Il carico critico di unasta compressa può in definitiva essere espresso nella forma Questa espressione è stata ottenuta nellipotesi che il comportamento del materiale si mantenga elastico lineare fino al raggiungimento del carico critico. Bisogna peraltro controllare che gli sforzi corrispondenti a P cr nella configurazione di equilibrio rettilinea non superino il limite di proporzionalità ( p ) del materiale di cui è costituita lasta. Se così non fosse, al crescere del carico lasta uscirebbe dal campo lineare già prima di raggiungere P cr e la sua crisi sarebbe dovuta a plasticizzazioni o rotture. Nel caso dellacciaio, il limite di proporzionalità coincide praticamente con lo sforzo di snervamento 0 ; per altri materiali, i due valori possono essere abbastanza discosti.

19 Lo sforzo nellasta rettilinea in corrispondenza di P cr è dato da: Introducendo il minimo dei raggi dinerzia della sezione r dal rapporto ed un parametro adimensionale fra la lunghezza (di libera inflessione) della trave ed il raggio minimo dinerzia che prende il nome di snellezza della trave (λ), si scrive allora

20 Questo evidenzia che il carattere snella o tozza di struttura dipende da due fattori: la forma geometrica, attraverso il parametro λ 2, e le caratteristiche del materiale di cui è composta la struttura, attraverso il modulo E e la tensione limite. Si osservi in particolare che, a parità di materiale, un alto valore di λ tende a definire la struttura come snella. A parità di forma (e quindi di fattore λ) i materiali con un alto valore del rapporto E/σ y, (gli acciai) tendono a configurare la struttura come tozza, mentre materiali con un basso valore di tale rapporto (le gomme) tendono a configurare la struttura come snella.

21 collasso collasso cr σ collasso Aste tozze Aste snelle snellezza

22 Instabilità flesso torsionale (svergolamento) F ALTRE SITUAZIONI DI INSTABILITÀ DELLEQUILIBRIO ELASTICO

23 F F F F Il carico applicato può avere un effetto instabilizzante (a) oppure stabilizzante (b) (a) (b)

24 I fenomeni di instabilità possono interessare lintero elemento (instabilità globale), ovvero riguardare soltanto un tratto longitudinale di modesta lunghezza (instabilità locale).

25 Deformazioni trasversali Carico assiale

26 Un tipico fenomeno di instabilità è il cosiddetto fluttering (ondeggiamento di ampiezza via via crescente sotto lazione del vento o di correnti atmosferiche ) degli impalcati da ponte, delle ali degli aerei, ecc.


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