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MOLTIPLICAZIONE COMBINATORIA Con esempi e problemi AUTORE ADRIANA LANZA Liceo scientifico Cavour 123 aa1a2a3 bb1b2b3.

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1 MOLTIPLICAZIONE COMBINATORIA Con esempi e problemi AUTORE ADRIANA LANZA Liceo scientifico Cavour 123 aa1a2a3 bb1b2b3

2 Unconcetto molto semplice ma fondamentale per comprendere i metodi del Calcolo combinatorio è Il concetto di MOLTIPLICAZIONE COMBINATORIA di due insiemi di cardinalità m ed n, rispettivamente

3 CARDINALITA DI UN INSIEME Ricordiamo in proposito che si chiama cardinalità di un insieme finito il numero dei suoi elementi Linsieme dei piccoli e vivaci animali, rappresentati a lato, ha cardinalità 4

4 Linsieme di queste altre bestioline più tranquille ha invece cardinalità 3

5 Siano A e B due insiemi aventi rispettivamente n ed m elementi Il numero delle coppie ordinate che si possono formare con un elemento di A ed un elemento di B sono n*m

6 ESEMPIO Proviamo ad associare un animale del secondo gruppo con un componente del primo. Pensiamo per esempio al gufo che legge tranquillamente il suo libro

7 Quale,tra i chiassosi amici, verrà a disturbarlo?

8 Si ottengono pertanto 4 possibili accoppiamenti Il ragionamento si può ripetere a partire dal gatto addormentato O dal silenzioso pesciolino Complessivamente i possibili accoppiamenti sono 3*4 =12

9 Un modello più generale si ottiene mediante il DIAGRAMMA AD ALBERO

10 GENERALIZZANDO Siano A 1 A 2 A 3 A A k k insiemi contenenti rispettivamente n 1 n 2 n 3 n 4...n k elementi, il numero delle kappuple ordinate che si possono formare scegliendo un elemento da ciascun insieme sono n 1 n 2 n 3 n 4...n k

11 Per costruire lalbero dei possibili percorsi basta procedere come nellesempio precedente: si sceglie uno degli n 1 elementi di A 1 e lo si collega con gli n 2 elementi di A 2 da ciascuno di essi si fanno si fanno partire altri n 3 rami collegati con gli n 3 elementi di A 3... e così via.

12 Diagramma ad albero ottenuto a partire dal primo elemento di A 1 : i possibili percorsi sono n 2 *n 3

13 Poiché si possono costruire n 1 alberi, in corrispondenza di ciascun elemento di A 1, si hanno complessivamente n1*n2*n3 scelte possibili

14 Loperazione così definita prende il nome di Moltiplicazione combinatoria problemi Calcolo combinatorio

15 Il metodo della Moltiplicazione combinatoria permette di risolvere i problemi classici di Calcolo combinatorio e determinare le formule delle principali funzioni: Disposizioni semplici Disposizioni con ripetizione Permutazioni semplici Permutazioni con elementi ripetuti Combinazioni semplici Combinazioni con ripetizione

16 DISPOSIZIONI Consideriamo ora un solo insieme di n elementi e vediamo in quanti modi si può da esso estrarre un gruppo di k elementi ( kappupla ) disponendoli secondo lordine di estrazione

17 Si parla di disposizioni semplici (D n,k ) se ciascun elemento può essere scelto una sola volta Si parla di disposizioni con ripetizione (D r n,k ) se ciascun elemento può essere scelto più di una volta Chiamiamo Disposizioni di n oggetti a k a k il numero che determina in quanti modi si possono scegliere k elementi in un insieme di cardinalità n, considerando distinti due gruppi che differiscano almeno per un elemento o per lordine di scelta

18 Si devono disporre,in ordine, k degli elementi di un insieme di cardinalità n. 1)Si sceglie il primo elemento: la scelta può essere fatta in n modi diversi 2)Si sceglie il secondo elemento: la scelta può essere fatta in n-1 modi diversi, poiché lelemento scelto non può essere ripetuto 3)Si sceglie il terzo elemento: la scelta può essere fatta in n-2 modi diversi k) Si sceglie il k-esimo elemento: la scelta può essere fatta in n-(k-1) = n- k+1 modi diversi.

19 Come si può osservare, ogni scelta modifica linsieme di partenza, pertanto il problema è analogo a quello della formazione di un gruppo di k elementi scegliendo un elemento da ciascuno dei k insiemi a disposizione. Con il metodo della Moltiplicazione Combinatoria si trova pertanto che il numero delle disposizioni semplici di n oggetti a k a k sono D n,k = n(n-1)(n-2)....(n-k+1) Calcolo combinatorio

20 DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE Supponiamo di dover formare un gruppo di k elementi scelti in un insieme di cardinalià n, potendo ripetere più volte lo stesso elemento. Due gruppi sono diversi se differiscono per qualche elemento o anche per lordine. Ripetendo un ragionamento analogo a quello fatto per le disposizioni semplici, si osserva che il primo elemento può essere scelto in n modi diversi il secondo elemento può essere scelto ancora in n modi diversi così tutti gli altri k-2 elementi Pertanto D r n,k = n*n*n*n...n = n k Calcolo combinatorio

21 Permutazioni Come caso particolare di Disposizioni semplici si consideri il caso k=n: In questo caso i gruppi da formare sono costituiti sempre da tutti gli elementi dellinsieme, posti però in ordine diverso. Si parla in questo caso di permutazioni di classe n

22 La formula delle PERMUTAZIONI SEMPLICI si ottiene come caso particolare delle DISPOSIZIONIP n =D n,n P n = n(n-1)(n-2)...3*2*1 = n! Calcolo combinatorio

23 PERMUTAZIONI CON ELEMENTI RIPETUTI Consideriamo n elementi non tutti distinti, tra cui siano presenti per esempio h elementi uguali. Fra le n! permutazioni, quelle che permutano tra di loro gli elementi uguali, lasciando inalterati gli altri, non sono tra di loro distinguibili Poiché queste ultime sono in numero di h!, il numero totale va diviso per h!. In generale, se sono presenti h 1,h 2, h 3... h i elementi tra di loro uguali, il numero di permutazioni è Calcolo combinatorio

24 COMBINAZIONI SEMPLICI Si vogliono formare gruppi di k elementi scelti in n insieme di cardinalità N. I gruppi sono distinti solo se differiscono per qualche elemento. A differenza del caso delle disposizioni, i gruppi che differiscono solo per lordine e in cui compaiono gli stessi elementi vanno considerati come un unico gruppo. Pertanto il numero delle Combinazioni di N oggetti a k a k è uguale al rapporto tra le analoghe Disposizioni e le permutazioni di classe k

25 C n,k = D n,k / k! =. come si può facilmente dimostrare Le combinazione si indicano anche con il simbolo Calcolo combinatorio

26 COMBINAZIONI CON RIPETIZIONE Ci limitiamo a dare la formula delle C r n,k verificandone la validità con un esempio. C r n,k = C n+k-1,k Calcolo combinatorio

27 Il metodo della moltiplicazione combinatoria Può essere applicato anche nel caso in cui il gruppo debba essere formato scegliendo più elementi da ciascun insieme

28 Se, per esempio, si devono scegliere n elementi dallinsieme A e k elementi dallinsieme B Basta sostituire ad A linsieme delle n-ple che si possono formare nel suo interno e a B linsieme delle rispettive k-ple!

29 ESEMPI Combinazioni semplici Combinazioni con ripetizione semplici Con ripetizione Disposizioni semplici Con elementi ripetuti Permutazioni Gruppo formato con elementi di due insiemi Con scelta multipla allinterno di ciascun insieme

30 Se, tornando allesempio iniziale, supponiamo che uno degli animali > sia disturbato da due amici per volta ESEMPIO N.1 Si ottengono C 3,1 *C 4,2 =3*6 =18 situazioni possibili si deve associare un elemento del primo insieme con una coppia di elementi del secondo insieme <=esempi

31 ESEMPIO N 2 ESEMPIO N 3 Disposizioni In un Circolo di 100 soci devono essere eletti un Presidente ed un Segretario. Le due cariche sono incompatibili Se tutti i soci sono candidati, quante sono le possibili scelte? Risposta D 100,2 = 100*99 ( l'ordine in cui vengono estratti i due nominativi è significativo) Con riferimento allesempio precedente, supponiamo che le cariche siano compatibili. In questo caso lo stesso individuo può essere scelto due volte Risposta : D r 100, 2=100 2 <=esempi

32 ESEMPIO N. 3 ESEMPIO N.4 Anagramma ( parole con lettere distinte) Quanti sono i possibili anagrammi della parola Roma ? Risposta 4! = = 24 Anagramma ( parole con lettere ripetute) Quanti sono i possibili anagrammi della parola > ? Risposta 10 <=esempi

33 ESEMPIO N 5- Combinazioni semplici In quanti modi si possono eleggere i 2 rappresentanti di classe in una classe di 15 alunni? Risposta : C 15, 2= 15*14/2 l'ordine in cui vengono estratti i due nominativi non è significativo <=esempi

34 Consideriamo un insieme di 4 oggetti [ A,B, C, D] e costruiamo tutti i possibili gruppi di tre elementi, non necessariamente distinti C r 4,3 = C 6,3 = 20 SPIEGAZIONE 3 elementi uguali => C 4,1 = 4 [A,A,A] [B,B,B] [C,C,C] [D,D,D] 2 elementi uguali => C 4,1 *C 3,1 =12 [A,A,B] [B,B,A] [C,C,A] [D,D,A] [A,A,C] [B,B,C] [C,C,B] [D,D,B] [A,A,D] [B,B,D] [C,C,D] [D,D,C] 3 elementi distinti => C 4,3 [A,B,C] [ B,C,D] [A,C,D] [A,B,D] In tutto = 20 casi ESEMPIO N 6- Combinazioni con ripetizione <=esempi

35 PROBLEMI Da risolvere solo col metodo Della MOLTIPLICAZIONE COMBINATORIA

36 ELENCO-PROBLEMI 1.NumeriNumeri 2.Menù sempliceMenù semplice 3.Menù complessoMenù complesso 4.ConcertoConcerto 5.PercorsiPercorsi 6.RegaliRegali 7.SchedinaSchedina 8.BalleriniBallerini 9.UrnaUrna 10.PokerPoker

37 PROBLEMA N1 NUMERI QUANTI SONO I NUMERI DI 4 CIFRE CHE TERMINANO CON LA CIFRA 2? SOLUZIONE

38 SOLUZIONE (Numeri) La prima cifra va scelta in un insieme di 9 elementi La seconda cifra va scelta in un insieme di 10 elementi La seconda cifra va scelta in un insieme di 1 solo elemento Risultato : 9*10*10*1=900 PROBLEMI

39 PROBLEMA N.2 Menù semplice Quanti tipi di pranzo(1 antipasto, 1 primo, 1 secondo, 1 contorno,1 dessert) si possono organizzare con 3 antipasti, 2 primi, 4 secondi, 4 dessert? Risposta 3*2*4*4 = 96 PROBLEMI

40 PROBLEMA N.3 Menù complesso In quanti modi si può scegliere un pranzo formato da un antipasto, due primi, tre secondi, 2 dessert scegliendo da un Menù Comprendente 3 antipasti 5 primi 8 secondi 4 dessert SOLUZIONE

41 SOLUZIONE-Menù complesso Lantipasto si può scegliere in un solo modo i primi in C 5,2 modi i secondi in C 8,3 modi i dessert in C 4,2 modi Con il metodo della Moltiplicazione Combinatoria si trova in totale C 5,2 * C 8,3 * C 4,2 = 10* 56*6 = 3360 PROBLEMI

42 PROBLEMA N.4 CONCERTO Fra 10 violinisti, 5 suonatori di viola e 5 di violoncello si deve formare un sestetto composto da 2 violini, 3 viole e 1 violoncello. In quanti modi ciò è possibile? SOLUZIONE: C 10,2 *C 5,3 *C 5,1 PROBLEMI

43 PROBLEMA N.5 PERCORSI La figura seguente rappresenta la mappa dei collegamenti di 4 città A B C D a.In quanti modi si può andare da A a D passando per B e C? b.Quanti percorsi ABCDCBA sono possibili? c.Una persona compie il circuito ABCDCBA: in quanti modi può farlo non ripassando mai sulle strade imboccate nellandare da A a D? SOLUZIONE

44 SOLUZIONE-Percorsi a.2*3*4 = 24 b.(2*3*4) 2 =576 c.2*3*4*3*2*1 = 144 indietro PROBLEMI

45 PROBLEMA N.6 REGALI In quanti modi si possono assegnare 2 regali a 3 bambini, se ciascun bambino può avere più di un oggetto? Soluzione Il primo regalo può essere assegnato in 3 modi diversi Il secondo regalo può essere assegnato in 3 modi diversi Risposta 3*3=9 PROBLEMI

46 PROBLEMA N.7 Schedina Quante sono le possibili colonne della schedina del totocalcio? risposta 3*3*3*3……….*3 13 volte = 3 13 indietro PROBLEMI

47 PROBLEMA N.8 Ballerini In una piccola scuola di ballo sono presenti 10 ballerini e 10 ballerine A)In quanti modi si possono costituire le coppie danzanti ( con ballerini di sesso diverso)? B)In quanti modi si può scegliere una coppia per rappresentare la scuola in una gara di >? SOLUZIONE

48 SOLUZIONE-Ballerini A) 10! Si immaginino le 10 ballerine ferme e i 10 ballerini-cavalieri dirigersi verso di loro per scegliere la dama Il primo sceglie tra 10, il secondo tra 9 etc. etc. Lultimo avrà la > dellultima dama rimasta In effetti le varie configurazioni corrispondono ad un scambio di posto ( ballerina) dei 10 ballerini Permutazioni B) 10*10 = 100 PROBLEMI

49 PROBLEMA N.9 URNA Unurna contiene 10 palline di cui 5 bianche e 5 nere. Si estraggono in blocco (senza reimmissione) 4 palline Quante sono le possibili quaterne che contengono esattamente 3 palline bianche e una nera? SOLUZIONE

50 SOLUZIONE-urna La pallina nera può essere scelta in 5 modi diversi Le 3 palline bianche possono essere scelte in C 5,3 modi diversi Risposta 3* C 5,3=30 PROBLEMI

51 PROBLEMA N.10 POKER Si gioca a Poker con un mazzo di 32 carte, assegnando 5 carte a ciascun giocatore. In quanti modi si può avere un Poker >? SOLUZIONE Le 4 carte uguali possono essere scelte in 8 modi diversi La carta diversa può essere scelta in 28 modi diversi Risposta: 8*28=224 PROBLEMI

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