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METODI E MISURAZIONI STATISTICHE Perugia 17/18 Dicembre 2012 Damiano Terenzi 1.

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Presentazione sul tema: "METODI E MISURAZIONI STATISTICHE Perugia 17/18 Dicembre 2012 Damiano Terenzi 1."— Transcript della presentazione:

1 METODI E MISURAZIONI STATISTICHE Perugia 17/18 Dicembre 2012 Damiano Terenzi 1

2 INTRODUZIONE 2 Definizione di misura: Assegnare valori numerici ad oggetti o eventi secondo regole che consentono di rappresentare le proprietà degli oggetti e degli eventi tramite le proprietà del sistema numerico

3 INTRODUZIONE Molta parte del lavoro degli psicologi richiede di effettuare misurazioni (p.e. registrare i movimenti oculari o misurare la risposta galvanica cutanea di persone sotto stress)– sia in laboratorio sia sul campo. In ogni caso, loperazione di misurazione produce dei numeri Fondamentale a questo scopo è la STATISTICA= disciplina che si occupa della raccolta di dati numerici e della derivazione di inferenze di tali dati. 3

4 ROADMAP DEL CAPITOLO STATISTICA DESCRITTIVA INFERENZA STATISTICA COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 4

5 STATISTICA DESCRITTIVA DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA MISURE DELLA TENDENZA CENTRALE MISURE DELLA VARIABILITÀ 5

6 STATISTICA DESCRITTIVA Branca della statistica che studia i criteri di rilevazione, di classificazione e di sintesi delle informazioni relative ad una popolazione oggetto di studio. Raccoglie le informazioni sulla popolazione, o su una parte di essa (campione), in distribuzioni, e le sintetizza descrittivamente attraverso famiglie di indici: valori medi, indici di variabilità, indici di forma, rapporti statistici, relazioni statistiche. I risultati ottenuti in tal modo si possono definire certi, a meno di errori di misurazione, che essendo dovuti al caso, in media, si annullano per definizione. Ha come obiettivo quello di organizzare, riassumere e presentare i dati in modo ordinato; i suoi strumenti permettono quindi di sintetizzare i dati. (http://it.wikipedia.org/wiki/Statistica_descrittiva) 6

7 DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA Supponiamo di voler studiare i punteggi degli esami di ammissione alluniversità di 5000 studenti. Questi punteggi sono i dati grezzi. Attraverso dei sunti statistici (p.e. calcolando la media di tutti i punteggi, oppure il punteggio min o max) possiamo ricordare più facilmente i dati e ragionarci sopra. Queste formulazioni che compendiano i dati costituiscono la cosiddetta statistica descrittiva. 7

8 DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA Una distribuzione di frequenza permette di raggruppare i valori dei dati grezzi e di renderli comprensibili. Per raggruppare i dati bisogna: 1. suddividere in intervalli i dati 2. contare il numero di item che cade in ogni intervallo Lintervallo in cui sono raggruppati i punteggi è chiamato intervallo di classe. La decisione del numero di intervalli di classe in cui devono essere raggruppati i dati si basa sul giudizio dello sperimentatore 8

9 INTERVALLI DI CLASSE Intervalli di classe N. persone per classe Intervalli di classe=10 Punteggi grezzi degli esami di ammissione di 15 studenti 9

10 ISTOGRAMMA DI FREQUENZA Listogramma di frequenza è una distribuzione di frequenza rappresentata graficamente. BASI= intervalli di classe ALTEZZE= frequenze di classe 10

11 POLIGONO DI FREQUENZA Il poligono di frequenza viene costruito segnando le frequenze delle classi al centro dellintervallo di classe e segnando i punti ottenuti con linee rette Il poligono di frequenza fornisce le stesse informazioni dellistogramma di frequenza, ma per mezzo di una serie di linee collegate invece che rettangoli 11

12 STATISTICA DESCRITTIVA DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA MISURE DELLA TENDENZA CENTRALE MISURE DELLA VARIABILITÀ 12

13 MISURE DELLA TENDENZA CENTRALE Per misure della tendenza centrale si intende un punto rappresentativo sulla nostra scala, ovvero un punto centrale che sintetizza importanti informazioni sui dati. Si usano comunemente tre di tali misure: 1)La MEDIA aritmetica si ottiene si ottiene sommando i punteggi e dividendoli per il loro numero 2)La MEDIANA è il punteggio centrale, e si ottiene mettendo in ordine i punteggi e poi contando verso il centro a partire dalle due estremità. Se il numero di casi è pari, facciamo semplicemente la media dei due casi che si trovano vicino alla metà 3)La MODA è il punteggio più frequente in una data distribuzione 13

14 Media ESEMPIO: 11, 20, 18, 20, 19, 18, 7, 10 (N=8) 15,37 14

15 MEDIANA La mediana in questo caso è rappresentata dal valore che occupa la quarta posizione (27) ESEMPIO: CASI DISPARI CASI PARI La mediana in questo caso è data dalla media dei due casi che si trovano vicino le estremità (17+35)/2=26 15

16 MODA ESEMPI: Mo= Mo=44; 45 16

17 MODA UNIMODALE BIMODALE Trimodale, Quadrimodale ecc… 17

18 DISTRIBUZIONI SIMMETRICHE Mo Me M In una distribuzione simmetrica (o normale), nella quale i punteggi sono distribuiti in maniera uguale su entrambi i lati rispetto al centro, la media, la mediana e la moda coincidono 18

19 SIMMETRICHE VS ASIMMETRICHE 19

20 DISTRIBUZIONI ASIMMETRICHE Supponiamo di voler analizzare gli orari di partenza di un treno del mattino. Il treno di solito parte in orario; qualche volta parte in ritardo, ma mai in anticipo. Per un treno il cui orario di partenza è alle 8.00, la registrazione di una settimana potrebbe essere la seguente: ESEMPIO: Lunedì8.0 Martedì8.04 Mercoledì8.02 Giovedì8.19 Venerdì8.22 Sabato8.00 Domenica8.00 Media = 8.07 Mediana = 8.2 Moda = 8.00 La distribuzione degli orari di partenza, nel nostro esempio, è asimmetrica a causa delle partenze ritardate; esse innalzano la media dellora di partenza, ma non hanno molta influenza sulla mediana o la moda. 20

21 DISTRIBUZIONE ASIMMETRICA POSITIVA Media 21

22 DISTRIBUZIONE ASIMMETRICA NEGATIVA Media Le distribuzioni asimmetriche sono caratterizzate generalmente dalla direzione delle code. Notate inoltre che media, mediana e moda, in una distribuzione asimmetrica non coincidono. 22

23 STATISTICA DESCRITTIVA DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA MISURE DELLA TENDENZA CENTRALE MISURE DELLA VARIABILITÀ 23

24 MISURE DELLA VARIABILITÀ 1.NON FORNISCONO ALCUNA INFORMAZIONE SULLA DISTRIBUZIONE DEI DATI. 2.GLI STESSI INDICI DI TENDENZA CENTRALE POSSONO AVERE DISTRIBUZIONI ASSAI DIVERSE Limiti dei VALORI MEDI: MISURE DI DISPERSIONE DI PUNTEGGI DI UNA DISTRIBUZIONE ATTORNO ALLA MEDIA < Variabilità > Variabilità Media + rappresentativa Media - rappresentativa = = 24 {

25 MISURE DELLA VARIABILITÀ 25 GLI STESSI INDICI DI TENDENZA CENTRALE (IN QUESTO CASO LA MEDIA) POSSONO AVERE DISTRIBUZIONI ASSAI DIVERSE

26 CAMPO DI VARIAZIONE Campo Variazione = x max – x min È il più semplice degli indici di variazione Si calcola facendo la differenza tra il dato più grande e il dato più piccolo: ESEMPIO: Punteggi degli studenti della classe 1: 73, 74, 75, 76, 77 (media = 75) CV (77-73) = 4 Punteggi degli studenti della classe 2: 60, 65, 75, 85, 90 (media = 75) CV (90-60) = 30 26

27 Misura il grado di distanza dei punteggi di una distribuzione dalla media della distribuzione stessa. VARIANZA Per calcolarla bisogna: 1) Sottrarre i singoli punteggi dalla media della distribuzione così da ottenere la deviazione d di ogni punteggio dalla media. 2) Elevare al quadrato ogni deviazione per eliminare i punteggi negativi 3)Sommare tutte le deviazioni quadrate e dividere la sommatoria per il loro numero, in modo da ottenere la deviazione media = varianza 27

28 VARIANZA ESEMPIO: Punteggi degli studenti della classe 1: 73, 74, 75, 76, 77 (media = 75) 1)Sottrarre i singoli punteggi dalla media della distribuzione così da ottenere la deviazione d di ogni punteggio dalla media. 2)Elevare al quadrato ogni deviazione per eliminare i punteggi negativi (73-75), (74-75), (75-75), (76-75), (77-75) d = 4, 1, 0, 1, 4 3) Sommare tutte le deviazioni quadrate e dividere la sommatoria per il loro numero, in modo da ottenere la deviazione media = varianza 28

29 Deviazione Standard Limite della Varianza: LA VARIANZA È ESPRESSA IN UNITÀ DI MISURA AL QUADRATO! Si può invece ottenere una misura della variabilità espressa nelle unità di misura originarie (nel nostro caso, voti in un esame) semplicemente estraendo la radice quadrata dalla varianza. Questo indice è noto come DEVIAZIONE STANDARD Si può invece ottenere una misura della variabilità espressa nelle unità di misura originarie (nel nostro caso, voti in un esame) semplicemente estraendo la radice quadrata dalla varianza. Questo indice è noto come DEVIAZIONE STANDARD … e quindi, in riferimento allesempio precedente: * 29

30 INFERENZA STATISTICA 30

31 POPOLAZIONI e CAMPIONI STUDIO DEL CAMPIONE TECNICHE STATISTICHE INFORMAZIONI SULLA POPOLAZIONE ETÀ Età CAMPIONE POPOLAZIONE 31 Inferenze Statistiche Errore campionatura POPOLAZIONE CAMPIONE

32 POPOLAZIONI e CAMPIONI Linferenza statistica riguarda il problema di trarre inferenze o giudizi su una caratteristica di una popolazione basandosi su informazioni ottenute da un campione di quella popolazione. Se i test statistici indicano che lentità delleffetto riscontrato nel campione è abbastanza grande (in rapporto alla stima dellerrore di campionatura), allora possiamo ritenere che leffetto riscontrato nel campione vale per la popolazione in generale. 32

33 DISTRIBUZIONE NORMALE La curva normale o curva di Gauss è una distribuzione teorica (rappresentazione matematica di una distribuzione ideale) di punteggi in una popolazione. Limportanza di questa distribuzione è dovuta al fatto che molti dei fenomeni osservati si distribuiscono normalmente o con forme che si approssimano alla curva normale. Gran parte della statistica inferenziale si basa sulle proprietà di questa distribuzione. 33

34 DISTRIBUZIONE NORMALE 34 (Vedi esempio slide 9) Intervalli di classe N. persone per classe Esempio di distribuzione normale

35 DISTRIBUZIONE NORMALE 35 Y x CURVA DI GAUSS La > parte degli item cade vicino alla media (punto più alto). La campana si appiattisce in corrispondenza dei punteggi molto alti o molto bassi.

36 DISTRIBUZIONE NORMALE 36 Equazione della distribuzione normale: dove: =media della popolazione =d.s. della popolazione =costante (=3.14) e=costante (=2.718) Si sostituisce nella formula il valore di x che ci interessa (ad esempio laltezza o il punteggio ad un test di intelligenza) e troviamo la y, cioè la probabilità di ottenere quel valore in una distribuzione con una data media e ds.

37 DISTRIBUZIONE NORMALE 37 1.UNIMODALE (Moda=Media=Mediana) 2.INFINITA: va da - a + 3.SIMMETRICA rispetto alla Y massima (f(x)) 4.ASINTOTICA: si avvicina allasse delle X senza mai toccarlo 5.È descritta da due soli parametri: media e deviazione standard.

38 DISTRIBUZIONE NORMALE 38 Y (valori di X) X Larea sottesa dallintera curva è pari a 1, e rappresenta lintera popolazione. Dato che la curva è simmetrica, larea compresa tra - e è uguale a.50 come quella compresa tra e (frequenze f(x) di ciascun valore) - +

39 DISTRIBUZIONE NORMALE = 0,341=34.1% della distribuzione +2 = 0,477=47.7% della distribuzione +3 = 0,498=49.8% della distribuzione Deviazione Standard Numero dei Casi Probabilità che hanno gli item appartenenti ad una popolazione normalmente distribuita di scostarsi dalla media, per ogni valore prestabilito. COSTANTI =

40 PUNTEGGI STANDARD Dev. Standard = misura della variabilità che consente di interpretare la distanza dalla media. Punteggio Standard = punteggio basato su un multiplo della dev. standard 40

41 PUNTEGGI STANDARD 41 ESEMPIO: Qual è il punteggio standard di uno studente che allesame ha ottenuto 90 assumendo che la media della popolazione è di 70 e la deviazione standard di 10? ESERCIZIO: Qual è il punteggio standard di uno studente che allesame ha ottenuto 53 assumendo che la media della popolazione è di 75 e la deviazione standard di 10? Il segno del punteggio standard (+ o -) indica se il punteggio si colloca sopra o sotto la media, mentre il valore indica di quanto quel punteggio si discosta dalla m, in termini di dev.standard.

42 QUANTO È RAPPRESENTATIVA LA MEDIA? 42 In che misura la media del campione è un predittore attendibile della media della popolazione ? MediaReale M Campione 3 M Campione1 M Campione 2 Diversi campioni casuali tratti dalla stessa popolazione hanno medie differenti, dando così luogo ad una distribuzione di medie campionarie intorno alla media reale della popolazione.

43 QUANTO È RAPPRESENTATIVA LA MEDIA? 43 Le media campionarie sono dei valori numerici per i quali si può calcolare la deviazione standard. Questa deviazione standard viene chiamata errore standard della media (ES) e possiamo stimarla tramite la seguente formula: σ = dev.standard del campione n = numero dei casi da cui è stata calcolata la media di ogni campione

44 QUANTO È RAPPRESENTATIVA LA MEDIA? 44 In base alla formula, allaumentare del n dei campioni diminuisce lES (e viceversa): Il calcolo dellerrore standard della media ci consente di fare delle affermazioni precise circa il grado di incertezza nel nostro calcolo della media. Più numerosi sono i casi nel campione più si riduce lincertezza. Perciò una media basata su un campione numeroso è più attendibile (ha più probabilità di essere vicina alla media reale della popolazione) di una media basata su un campione più piccolo. > n < ES ES

45 SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA La differenza tra due medie campionarie è significativa (cioè riflette una reale differenza) oppure è semplicemente il risultato di un errore di campionatura? La significatività di una differenza dipende da: 1) entità della differenza calcolata 2) variabilità della distribuzione delle M messe a confronto 45 M D σ D M RAPPORTO CRITICO Differenza fra le medie ES della differenza fra le medie ==

46 SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA 46 Destrorsi- forza in kg della stretta di mano Mancini- forza in kg della stretta di mano Destrorsi- forza in kg della stretta di mano Mancini- forza in kg della stretta di mano La tabella riporta due esempi che confrontano la differenza tra le medie. La differenza tra le medie è sempre la stessa (8kg) sia a sinistra che a destra della tabella. Tuttavia, i dati della parte di destra indicano una differenza tra le medie più attendibile rispetto ai dati della parte di sinistra.

47 SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA 47 σ M D 22 ESEMPIO: Supponiamo di voler confrontare i punteggi in un test di profitto nella lettura di bambini e bambine statunitensi di prima elementare. Una volta identificato un campione casuale sottoponiamo i bambini e le bambine ad un test. Supponiamo che il punteggio medio per i maschi fosse 70 con errore standard di 0.40, mentre il punteggio medio delle femmine di 72 con errore standard di 0,30. I dati campionari suggeriscono che III

48 SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA 48 le femmine ottengono punteggi migliori dei maschi; tuttavia, possiamo inferire che le cose starebbero così anche se avessimo esaminato tutti i bambini e le bambine degli Stati uniti? IL RAPPORTO CRITICO CI AIUTA A PRENDERE QUESTA DECISIONE. Rapporto critico = La differenza fra le medie osservate è statisticamente significativa dato che il rapporto critico in questo caso è superiore a 2.

49 SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA Una proprietà matematica della distribuzione normale è che il 95% dei valori è compreso tra la media +/- 1,96 deviazioni standard (approssimativamente +/-2 dev.st). Perciò, affinché la differenza tra le medie possa essere considerata significativa un rapporto critico dovrebbe avere un valore uguale o maggiore a 2.0 (possiamo trattare il rapp. critico come un punteggio standard dato che è semplicemente la differenza tra due medie, espressa come multiplo del suo errore standard). 49

50 SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA 50 P 0.05 (Rapporto critico maggiore o uguale a 2) Significatività: 2,5% (P=0,025) Per condurre un test statistico è importante fissare il livello di significatività; In psicologia solitamente (si tratta di una regola arbitraria!) una serie di dati viene detta statisticamente significativa se il suo valore p (p = probabilità) è minore o uguale a 0,05 (ovvero il 5%).

51 SIGNIFICATIVITÀ DI UNA DIFFERENZA 51 Il livello di significatività 5% viene adottato frequentemente in quanto si ritiene che il rapporto 1/20 (cioè 0.05) sia sufficientemente piccolo da poter concludere che sia «piuttosto improbabile» che la differenza osservata possa esser dovuta al semplice caso. In effetti, la differenza potrebbe essere dovuta al caso, ma lo sarà 1 volta su 20. Non è sempre necessario usare il livello 5%; in alcuni esperimenti può essere appropriato un livello maggiore di significatività (ad esempio un livello di significatività dell1%).

52 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 52 CORRELAZIONE = variazione concomitante di coppie di misure. COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE = permette di stabilire il grado di relazione. Esempi: Autostima e Autoefficacia Ansia e Depressione Età e Peso

53 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 53 Metodo prodotto-momento : Metodo più frequentemente utilizzato per calcolare il coefficiente di correlazione. Produce un indice che viene convenzionalmente indicato con la lettera r. Consente di fare previsioni, verificare teorie, verificare lattendibilità dei test.

54 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 54 Formula per calcolare il coefficiente di correlazione prodotto momento: xy Dove: x = misura 1 y = misura 2 dx; dy = scarti di ogni punteggio dalla sua media N = numero delle misurazioni abbinate σ ; σ = deviazioni standard delle distribuzioni dei punteggi x e y xy

55 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 55 ESEMPIO: Adam Bill Charles David Edward SOMMA MEDIA6530 Studente punt.x punt.y (dx) (dy) (dx)(dy) Qual è la correlazione tra i punteggi x (test di ammissione) e i punteggi y( voti del primo anno di università)? x y x y

56 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 56 IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE PRODOTTO MOMENTO VARIA TRA: -1<= r <= +1 r = +1 correlazione massima positiva (perfetta) r= 0 correlazione assente r = -1 correlazione massima negativa r > 0 correlazione presente : allaumentare di x aumenta y r < 0 correlazione presente : allaumentare di x diminuisce y IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE PRODOTTO MOMENTO VARIA TRA: -1<= r <= +1 r = +1 correlazione massima positiva (perfetta) r= 0 correlazione assente r = -1 correlazione massima negativa r > 0 correlazione presente : allaumentare di x aumenta y r < 0 correlazione presente : allaumentare di x diminuisce y

57 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 57 La correlazione misura laddensamento/dispersione intorno alla retta (linearità nella covarianza). Ogni punto rappresenta i punteggi x e y. punteggi x punteggi y ADDENSAMENTODISPERSIONE

58 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 58 Direzione della relazione Povertà Aspettativa di vita Punteggio test dingresso Voto di laurea Correlazione positiva: r>0 Correlazione negativa: r<0 allaumentare di x aumenta y allaumentare di x diminuisce y

59 COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 59 Nota Bene: r non implica un rapporto di causa-effetto! Quando due gruppi di punteggi correlano fra loro possiamo sospettare che abbiano in comune alcuni fattori causali ma non possiamo concludere che uno di essi sia causa dellaltro. Bisogna perciò evitare di dare uninterpretazione causale al coefficiente di correlazione. È tuttavia possibile che quando due variabili sono correlate, una possa essere la causa dellaltra.


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