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Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva CURVE e SUPERFICIE 3 Cubiche, quartiche e alcune trascendenti; superfici di.

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1 Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva CURVE e SUPERFICIE 3 Cubiche, quartiche e alcune trascendenti; superfici di rivoluzione a sezione meridiana variabile

2 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Curve e superficie dordine superiore una breve panomarica morfologica e unapplicazione in architettura Semplice esempio introduttivo: ordine della curva e senso palastico della variabilità breve panoramica morfologica dalla parabola alle curve di efficiente resistenza cicloidi e prime curve cinematiche Concoidali e chiasmiche Quartiche e toriche Trascendenti tipiche: spirali Curve elastiche e parametriche Curve di Bezier, B-Spline e NURBS Una generalizzazione delle coniche: curve e superficie di Lamè Descrizione delle superfici architettoniche Esercizio in aula

3 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

4 Ordini delle curve e senso plastico della variazione di curvatura

5 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

6 Grado dellequazione e ORDINE DELLA CURVA: una rassegna morfologica Cubiche ellittiche (Parabole divergenti) e cubiche razionali (duplicatrice) Coniche (Quadratiche)

7 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Senso plastico ed efficienza meccanica delle curve

8 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Serie morfologiche parabola catenaria Catenaria dugual resistenza

9 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

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12 Eugene Freyssinet Hangar di Orly (1923)

13 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

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15 sinusoide lintearia Cicloide di Sturm

16 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa kappa Curva di Schoute a forma di punta di matita qui ottenuta come inversione biassiale delliperbole

17 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Grafico della funzione Inversa del coseno iperbolico Curva di Gauss Cubica di Lamé Curva di Agnesi

18 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa strofoide Trisettrice di MacLaurin Qui costruita come intersezione di due rette che ruotano costantemente una alla velocità tripla dellaltra Folium di Cartesio

19 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Cubica circolare razionale cissoide Cissoide come curva mediana della retta del circolo

20 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Cubiche di Chasles Iperboli cubiche (P è un polinmio di terzo grado)

21 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Parabole (cubiche) divergenti

22 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Quartica razionale piriforme. Curva a lacrima

23 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Lemniscata di Bermouilli Lemniscata di Gerono

24 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Quartiche bicircolari razionali Lumaca di Pascal

25 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Cardioide Qui costruita come pericicloide

26 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Quartiche di Bermuoilli Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad

27 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Spiriche di Perseo Fissati A e B variando C. 1) Se 0 < B < A 2) Se B < 0 < A Spiriche e toriche

28 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Ovali di Cassini Ovali e Lemniscate di Booth e Ippopede di Proclo

29 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Costruzioni cinematiche (come curve di Watt) delle curve di Booth come luoghi del centro di una conica che ruota senza scivolare su una a lei uguale e con i vertici coincidenti

30 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Quartiche di Plücker

31 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Trascendenti tipiche: le spirali Spirale logaritmica Caso di fibonacci Cfr. Modulor

32 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

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34 Spirale dArchimede E la sua inversa: Spirale iperbolica

35 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Involuta del circolo Le involute di una data curva piana C sono le curve (inviluppo) tracciate dallestremo di un filo teso lungo C e srotolato da C;detto altrimenti sono le tracce nel piano di un punto duna retta ruotante senza scivolare su C (sono dunque dei casi particolari di cicloidi). Una qualunque curva della quale unaltra curva C è levoluta si dice Evolvente di C (quì il circolo è lEvolvente).

36 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Evolute dellellisse (curve di Lamè)

37 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Curve elastiche e parametriche Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla distanza da una curva detta direttrice

38 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

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41 curve (di approssimazione) di Bézier curva di approssimazione ottenuta come interpolazione di punti di controllo che non passa attraverso i punti che interpola (tranne il primo e dellultimo). Lordine di una curva di Bézier è sempre uguale al numero dei punti di controllo. (una curva di Bézier di ordine 9 si costruice con un polinomio è di ottavo grado).

42 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Come per Euclide la retta è quella curva che coincide con ogni sua tangente (la curva è una retta se e solo se tutti i punti di controllo giacciono sulla curva) così nelle curve parametriche di Bézier la curva è una retta se e solo se i punti di controllo sono collineari. Una curva quadratica di Bézier si costruisce assegnando i punti intermedi Q0 e Q1 al variare di t da 0 a 1 il punto Q0 varia da P0 to P1 e descrive una curva lineare di Bézier. Il punto Q1 varia da P1 to P2 e descrive una curva lineare di Bézier. Il punto B(t) varia da Q0 to Q1 e descrive una curva quadratica di Bézier. tragitto di B(t) da P0 a P1.

43 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

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45 La curva è tangente ai due capi è tangente al primo e allultimo tratto della spezzata di controllo È tutta allinterno di un poligono convesso che racchiude la spezzata

46 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Curve di approssimazione (B-spline) Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono le curve formate da più tratti di ordine uguale ma anche minore del numero p. Se vi sono n vertici di controllo lordine della curva può variare tra n (in questo caso sarebbe una curva di Bézier) e 2 (in questo caso degenera nella spezzata di controllo). la curva passa per il primo e lultimo vertice evendone per tangenti rispettivamente il primo e lultimo tratto della spezzata di controllo.

47 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Non Uniform Rational B-spline sono B-spline controllate da punti e da pesi relativi ad ogni punto di controllo (le B-spline sono casi di NURBS con i pesi dei punti controllo sono tutti eguali). Le NURBS (come le Spline) sono composta da più archi ma la continuità tra questi è regolabile da un numero intero: se = 0 gli archi sono semplicemente contigui se = 1 gli archi sono contigui e ammettono la medesima tangente nel punto di saldatura se = 2 gli archi sono contigui, ammettono la medesima tangente e hanno la medesima curvatura nel punto di saldatura.

48 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa I parametri che modellano una NURBS sono dunque: - il numero dei poli o punti di controllo e il loro peso; - il numero degli archi o spans che compongono la curva; - la continuità tra gli archi nei punti di saldatura (knots); - il grado (ordine) della curva. Attraverso le NURBS si descrivono le coniche esattamente e non per approssimazione, come con le altre spline.

49 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

50 La categorizzazione comune delle curve

51 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa Curve di Lamè

52 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

53 Curve e Superfici di Lamè

54 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

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60 Le sezioni meridiane variano la loro foma secondo unaffinità omologica ortogonale Le sezioni parallele variano la loro forma secondo unomotetia con centro sullasse

61 F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

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