CURVE e SUPERFICIE 3 Cubiche, quartiche e alcune trascendenti;

CURVE e SUPERFICIE 3 Cubiche, quartiche e alcune trascendenti;
Fabrizio Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva CURVE e SUPERFICIE 3 Cubiche, quartiche e alcune trascendenti; superfici di rivoluzione a sezione meridiana variabile

breve panoramica morfologica
Curve e superficie d’ordine superiore una breve panomarica morfologica e un’applicazione in architettura Semplice esempio introduttivo: ordine della curva e senso palastico della variabilità breve panoramica morfologica dalla parabola alle curve di efficiente resistenza cicloidi e prime curve cinematiche Concoidali e chiasmiche Quartiche e toriche Trascendenti tipiche: spirali Curve elastiche e parametriche Curve di Bezier, B-Spline e NURBS Una generalizzazione delle coniche: curve e superficie di Lamè Descrizione delle superfici architettoniche Esercizio in aula F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa. 2008-2009

Ordini delle curve e senso plastico della variazione di curvatura
F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Grado dell’equazione e ORDINE DELLA CURVA: una rassegna morfologica
Coniche (Quadratiche) Cubiche ellittiche (Parabole divergenti) e cubiche razionali (duplicatrice) F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Senso plastico ed efficienza meccanica delle curve

Catenaria d’ugual resistenza
Serie morfologiche parabola catenaria Catenaria d’ugual resistenza F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Eugene Freyssinet Hangar di Orly (1923)

sinusoide Cicloide di Sturm lintearia

kappa Curva di Schoute a forma di punta di matita
qui ottenuta come inversione biassiale dell’iperbole F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Curva di Agnesi Cubica di Lamé Curva di Gauss
Grafico della funzione Inversa del coseno iperbolico Cubica di Lamé Curva di Gauss F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Trisettrice di MacLaurin
strofoide Folium di Cartesio Trisettrice di MacLaurin Qui costruita come intersezione di due rette che ruotano costantemente una alla velocità tripla dell’altra F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Cubica circolare razionale
cissoide Cissoide come curva mediana della retta del circolo F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Cubiche di Chasles Iperboli cubiche (P è un polinmio di terzo grado)

Parabole (cubiche) divergenti

Quartica razionale piriforme
. Curva a “lacrima” F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Lemniscata di Bermouilli
Lemniscata di Gerono F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Quartiche bicircolari razionali
Lumaca di Pascal F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Cardioide Qui costruita come pericicloide . .
. . F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Quartiche di Bermuoilli
Qui resa come curva mediana tra due circoli concentrici Qui resa come curva descritta dalla biella di Berad F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Spiriche di Perseo Fissati A e B variando C. 1) Se 0 < B < A
Spiriche e toriche F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Ovali e Lemniscate di Booth e Ippopede di Proclo
Ovali di Cassini Ovali e Lemniscate di Booth e Ippopede di Proclo F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Costruzioni cinematiche (come curve di Watt) delle curve di Booth come luoghi del centro di una conica che ruota senza scivolare su una a lei uguale e con i vertici coincidenti F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Quartiche di Plücker F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Trascendenti tipiche: le spirali
Spirale logaritmica Caso di fibonacci Cfr. Modulor F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Spirale d’Archimede Spirale iperbolica E la sua inversa:

Involuta del circolo Le involute di una data curva piana C sono le curve (inviluppo) tracciate dall’estremo di un filo teso lungo C e srotolato da C;detto altrimenti sono le tracce nel piano di un punto d’una retta ruotante senza scivolare su C (sono dunque dei casi particolari di cicloidi). Una qualunque curva della quale un’altra curva C è l’evoluta si dice Evolvente di C (quì il circolo è l’Evolvente). F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Evolute dell’ellisse (curve di Lamè)

Curve elastiche e parametriche
Curve elastiche e parametriche Curve piane la cui curvatura in ciascun punto M è proporzionale alla distanza da una curva detta direttrice F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

curve (di approssimazione) di Bézier
curva di approssimazione ottenuta come interpolazione di punti di controllo che non passa attraverso i punti che interpola (tranne il primo e dell’ultimo). L’ordine di una curva di Bézier è sempre uguale al numero dei punti di controllo. (una curva di Bézier di ordine 9 si costruice con un polinomio è di ottavo grado). F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Come per Euclide la retta è quella curva che coincide con ogni sua tangente (la curva è una retta se e solo se tutti i “punti di controllo” giacciono sulla curva) così nelle curve parametriche di Bézier la curva è una retta se e solo se i punti di controllo sono collineari. Una curva quadratica di Bézier si costruisce assegnando i punti intermedi Q0 e Q1 al variare di t da 0 a 1 il punto Q0 varia da P0 to P1 e descrive una curva lineare di Bézier. Il punto Q1 varia da P1 to P2 e descrive una curva lineare di Bézier. Il punto B(t) varia da Q0 to Q1 e descrive una curva quadratica di Bézier. tragitto di B(t) da P0 a P1. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

È tutta all’interno di un poligono convesso che racchiude la spezzata
La curva è tangente ai due capi è tangente al primo e all’ultimo tratto della spezzata di controllo È tutta all’interno di un poligono convesso che racchiude la spezzata F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Curve di approssimazione (B-spline)
Una generalizzazione delle dalle curve di Bézier sono le curve formate da più tratti di ordine uguale ma anche minore del numero p. Se vi sono n vertici di controllo l’ordine della curva può variare tra n (in questo caso sarebbe una curva di Bézier) e 2 (in questo caso degenera nella spezzata di controllo). la curva passa per il primo e l’ultimo vertice evendone per tangenti rispettivamente il primo e l’ultimo tratto della spezzata di controllo. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Non Uniform Rational B-spline
sono B-spline controllate da punti e da pesi relativi ad ogni punto di controllo (le B-spline sono casi di NURBS con i pesi dei punti controllo sono tutti eguali). Le NURBS (come le Spline) sono composta da più archi ma la continuità tra questi è regolabile da un numero intero: se = 0 gli archi sono semplicemente contigui se = 1 gli archi sono contigui e ammettono la medesima tangente nel punto di saldatura se = 2 gli archi sono contigui, ammettono la medesima tangente e hanno la medesima curvatura nel punto di saldatura. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

I parametri che modellano una NURBS sono dunque:
- il numero dei poli o punti di controllo e il loro peso; - il numero degli archi o spans che compongono la curva; - la continuità tra gli archi nei punti di saldatura (knots); - il grado (ordine) della curva. Attraverso le NURBS si descrivono le coniche esattamente e non per approssimazione, come con le altre spline. F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

La categorizzazione comune delle curve

Curve di Lamè F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

Curve e Superfici di Lamè

Le sezioni meridiane variano la loro foma secondo un’affinità omologica ortogonale
Le sezioni parallele variano la loro forma secondo un’omotetia con centro sull’asse F. Gay – corso di fondamenti e applicazioni di geometria descrittiva aa

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