Galileo, da “ Il Saggiatore”

Presentazione sul tema: "Galileo, da “ Il Saggiatore”"— Transcript della presentazione:

1 Galileo, da “ Il Saggiatore”
La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’Universo), ma non si può Galileo Galilei intendere se prima non si impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne manamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

2 Vito Volterra ( ) Il matematico si trova in possesso di uno strumento mirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulati per lungo andare di secoli dagli ingegni più acuti e dalle menti più sublimi che siano mai vissute. Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire il varco a molti oscuri misteri dell’universo, ed un mezzo per riassumere in pochi simboli una sintesi che abbraccia e collega vasti e disparati risultati di scienze diverse […] Ma è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco tempo hanno tentato d’introdursi, le scienze biologiche e sociali, che è più intensa la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi classici, i quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanico-fisiche, sono suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi ed inesplorati campi che si dischiudono loro dinanzi. dal discorso inaugurale per l’anno accademico dell’Università di Roma

3 Preda-predatore (Vito Volterra, 1926)
Densità prede x1 Densità predatori x2 r x1  m x2 + c x1x2  b x1x2 x1 x2 x1 (r  b x2) x2( m + c x1)

4 Matematica (pura) e Matematica Applicata
Modelli gli oggetti astratti (platonici) della matematica gli oggetti del mondo reale Applicazione dei teoremi, dimostrati per le entità matematiche, agli oggetti reali Applicazione dei fenomeni osservati nel mondo reale per ottenere relazioni formali fra i corrispondenti “oggetti matematici”

5 Matematica per le decisioni
Problema del monopolista: Più produco e più guadagno? Profitto = Ricavo – Costo = p q – c q = (p – c) q Teorema. Se p > c allora il profitto cresce ogniqualvolta cresce la produzione Modelli matematici del mondo reale e responsabilità sociale del matematico

6 Esempio: Funzione di domanda lineare p
… ma p è una funzione di q qdom q saturazione fine soldi p Esempio: Funzione di domanda lineare p q p = a/b – (1/b) q = A – B q profitto = p q – c q = (A – B q) q – cq = = – B q2 + (A – C) q q = a – b p

7 profitto del monopolista = f (q) = – B q2 + (A – C) q
quantità prodotta è una parabola!

8 Problema del duopolio di Cournot
A. Cournot, Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse, Paris (1838) Due produttori, 1 e 2, che competono per vendere prodotti omogenei. Il produttore 1 produce e immette nel mercato q1 con costi c1q1 Il produttore 2 produce e immette nel mercato q2 con costi c2q2 prezzo: p = A – B ( q1 + q2) Profitto produttore 1: PRO1 = [ A – B ( q1 + q2)]q1 – c1q1 Profitto produttore 2: PRO2 = [ A – B ( q1 + q2)]q2 – c2q2 q2 q1 q2 = r2(q1) q1 = r1(q2) Equilibrio di Nash

9 individuo società Dilemmi sociali Interesse individuale
Interesse collettivo individuo società C R Tace (si fida) Accusa (non si fida) -1, -1 -3,-3 -4, 0 0,- 4 Dilemma del prigioniero

10 Un tipico dilemma sociale
Interazione strategica Fisherman C R Moderate exploitaton (cooperative) Intensive exploitation (competitive) 3, 3 2, 2 1, 4 4, 1 Dilemma del Pescatore Un tipico dilemma sociale Hardin, G. “The tragedy of the commons”, Science (1968).

11 x(t+1) = x(t) + (n – m) x(t) = (1 + n – m)x(t)
Modello dinamico x(t+1) = x(t) + R x(t) t : tempo x(t) : popolazione (risorsa) disponibile al tempo t R : tasso di crescita specifico (per unità di tempo, per unità di risorsa) R = Esempio. n := tasso di natalità ; m : = tasso di mortalità R = n – m x(t+1) = x(t) + (n – m) x(t) = (1 + n – m)x(t)

12 x(t+1) = (1 + n – m)x(t) = a x(t)
Dato x(0) x(1) = a x(0) x(2) = a x(1)=aax(0)=a2x(0) x(3) = a x(2)=aa2x(0)=a3x(0) . x(t) = at x(0) progressione geometrica di ragione a a < 1 (ovvero n < m)  x(t)  0 a > 1 (ovvero n > m)  x(t)  

13 x(t+1) = (1 + n – sx(t))x(t) = (1+n) x(t) – s x(t)2
Esempio m = sx : crescita logistica R(X) R(x) = n – m = n – sx n Al crescere della densità di popolazione cresce la mortalità per mancanza di cibo, spazio…) Malthus (1798) An essay on the principle of population K = n/s x x(t+1) = (1 + n – sx(t))x(t) = (1+n) x(t) – s x(t)2 Parabola x0 = equilibrio di estinzione K = n/s capacità portante x = K : R(K) = 0 K x

14 Modelli dinamici a tempo discreto
x (t + 1) = f ( x (t) ) x (0) assegnato f x ( t ) x ( t + 1 ) Legge di evoluzione “induttiva” : dallo stato al tempo t permette di calcolare lo stato al tempo successivo, t+1 … si ottiene una “traiettoria” del sistema dinamico Per induzione, ossia iterando la f ... x (0) f x (2) . . . x (1)

15 Se f (x(t)) > x(t) Allora x (t + 1) > ( x (t) )
stato stazionario punto di equilibrio punto fisso Legge di evoluzione: x (t + 1) = f ( x (t) ) x(t+1) x2 logistica x3 x1 = f (x0) x1 x0 x0 x(t)

16 Equazione dinamica di una popolazione naturale sfruttata
x(t+1) = x(t)(1+R) - H(t) H(t): quota di risorsa prelevata nell’unità di tempo (Harvesting) Condizione di equilibrio: x(t+1) = x(t) cioè H(t) = R(x)

17 Prelievo con quote costanti : H(t) = h
x(t+1) = f (x(t)) = (1 + n – sx(t))x  h f (X) -h Kh . Xh Due equilibri Soglia di sopravvivenza Equilibrio stabile

18 Aumentiamo la quota di prelievo
h > n2 / (4s) -h f (X) Kh Xh -h

19 K Kh Xh h

20 Prelievo con sforzo costante: H(t) = q E x(t)
Coeff. Tecnol. x(t+1) = f (x(t)) = x(t) (1 + n – qE  sx(t)) Se qE < n due equilibri: X0 = 0; KE =(n  qE) / s x E=Ee= n/q 0<E<n/q E=0 K KE f (x) E KE K Ee

21 Prelievo con sforzo costante: H(t) = q E x(t)
Y= qEKE Yield-Effort curve MSY EMSY Ee E Uno sforzo crescente porta a una maggiore produzione immediata ma può portare a una minore produzione (sostenibile) nel lungo periodo E < EMSY sottosfruttamento E > EMSY sovrasfruttamento

22 Morale: se tutti vogliono guadagnare, nessuno guadagna
I profitti: Introduciamo un po’ di Economia Scott Gordon, 1954 p = prezzo di vendita TR = pY Ricavo totale TC = cE Costo totale p = TR - TC profitto totale pY’(E)=c TR = cE TR = pY Em EMSY Eb Ee E E = somma degli sforzi individuali dei pescatori E = Em fornisce il massimo profitto (unico proprietario o cooperazione) Eb = Equilibrio bionomico Eb > EMSY (overexploitation, no profit) Morale: se tutti vogliono guadagnare, nessuno guadagna

23 Vivere in comunità (branchi) : Crescita con depensazione
R(x) K x Vivere in comunità (branchi) : Crescita con depensazione Crescita ottimale per valori intermedi x f (X) E=0 K Sforzo Costante KE 0 < E < E1 x f (X) KE XE E1 < E < E2

24 f (x) f (x) KE K XE x x E > E2 E XE KE Yield-Effort curve E2 E1
x x E > E2 E1 < E < E2 E XE KE Yield-Effort curve E2 E1

25 K A XS B E Irreversibilità !

26 Cournot Oligopoly Approach
n players, i = 1,…,n each harvesting xi according to a profit maximization problem Strategic interaction is related to i) All xi influence price through a given demand function ii) Resource stock X influences costs (negative cost externality) If is the unique Cournot-Nash equilibrim, then

27 p(t) = a  b H(t) max Pi per
Ipotesi economiche per il modello di oligopolio di Cournot Esternalità economiche che introducono una autoregolamentazine p(t) = a  b H(t) max Pi per

28 equazione dinamica con harvesting X(t+1) = X(t) + R(X(t)) - H*(X(t))
condizione di equilibrio X

29 Modello di oligopolio. libera competizione fra un numero
X(t+1) = F(X(t) ) = X(t) (1 + R(X)) – H*(t) Modello di oligopolio. libera competizione fra un numero limitato di agenti che massimizzano il proprio profitto x f (X) K Xs x

30 f (X) f (X) K Xs X x

31 irreversibility, hysteresis
(a) (b) F(X) K F(X) K K E=0 Xs X X F(X) F(X) (c) (d) K Xs X X irreversibility, hysteresis

32 Dal romanzo: Jurassic Park, di Michael Crichton
Un passo tratto dalla Seconda Iterazione […] Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella nuova generazione di matematici che mostravano un vivo interesse per i “meccanismi del mondo reale”. Questi studiosi, sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione di isolamento dei matematici. Per prima cosa si servivano continuamente del computer, cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio. Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari, nel campo emergente del cosiddetto caos. Terza cosa, sembravano voler fare di tutto il possibile affinché i loro sistemi matematici descrivessero qualcosa che di fatto esisteva nel mondo reale.

33 Jurassic Park, terza iterazione:
“Un simile controllo è impossibile” dichiarò Ian Malcom “Invece sì” disse Hammond “Mi scusi, ma lei non sa quello che dice” ribattè Malcom “Piccolo stronzo arrogante” disse Hammond. Si alzò e uscì. “Mi spiace” disse Malcom “ma il punto è che ciò che definiamo natura è di fatto un sistema complesso, non lineare. Ci costruiamo una immagine lineare della natura e poi combiniamo pasticci. Io non sono uno di quegli ambientalisti dal cuore tenero, ma dovete capire ciò che non capite. Quante volte bisogna sbattere il muso contro l’evidenza dei fatti? Abbiamo costruito la diga di Assuan sostenendo che avrebbe rivitalizzato l’Egitto, e invece distrugge il fertile delta del Nilo, produce infestazioni da parassiti e rovina l’economia. Abbiamo costruito...

34 Modelli più sofisticati per includere altri elementi
Introdurre un fattore di complessità per volta Pescatori eterogenei cooperatori e competitori rispettano/non rispettano le regole imposte Spazio eterogeneo zone caratterizzate da diverse conformazioni zone caratterizzate da diverse regolamentazioni Pesci eterogenei per taglia per età per specie per livello trofico

35 S D Modello della Ragnatela
Un prodotto al tempo t viene venduto al prezzo unitario pt. Quantità richiesta al tempo t dai consumatori Qd = D ( pt ) D funzione di domanda La quantità che viene immessa sul mercato dai produttori sia una funzione del prezzo Qs = S ( pt ) S funzione di offerta Esempio. funzioni di domanda e offerta lineari: D(p) = a  b p ; S(p) =  c + d p a, b, c, d costanti positive Q S D Equilibrio: Qd = Qs p* p

36 Problema: la produzione richiede un certo lasso di tempo,
I produttori devono decidere in anticipo (in t -1) la quantità da immettere nel mercato al tempo t ; I consumatori decidono la quantità da acquistare in base al prezzo corrente D(pt) = S(pt-1) da cui: pt = D-1 (S(pt-1 )) = f (pt-1) Con le funzioni lineari: a  b pt =  c  d pt-1, da cui:

37

38 Funzione di offerta non lineare: Qoff = S ( p) = arctan (l(p1))
D ( p ) = a - b p S ( p ) = arctan (l (p - 1)) Q S D D(pt) = S(pt-1) diventa a  bpt = arctan (l(pt-11)) da cui si ottiene il modello dinamico pt = F(pt-1)= [a arctan (l (pt-1 1))] La mappa F(p) è monotona decrescente, pe p

39 pe p p1 p2 F 5 p 0.3 l 0.4

40 Aspettative adattive

41 pe l

42 Cournot Duopoly Games q1 (t) and q2 (t) outputs at time t of two quantity setting-firms producing homogeneous goods. p= f (q1+q2) inverse demand function ci (q1, q2) cost functions, So, the unit-time profit is: Pi= qi f (q1+ q2) – ci (q1, q2) At time period t firms 1, 2 decide (t+1)-outputs by solving profit - maximization problems

43 . Expectation of agent i about the rival’s choice q2 q1 = r1(q2)
Cournot-Nash Equilibrium . Expectation of agent i about the rival’s choice Perfect foresight: One-shot (static) game The game goes to the intersection(s) of the reaction curves (Cournot-Nash equilibrium) in one shot

44 Two-dimensional dynamical system:
Cournot (Naive) expectations: Two-dimensional dynamical system: given (q1(0),q2(0)) the repeated application of the map T:(q1,q2) (r1(q2), r2(q1)) gives the time evolution of the duopoly game. This repeated game may converge to a Cournot-Nash equilibrium in the long run, i.e. boundedly rational players may achieve the same equilibrium as fully rational players provided that the “myopic” game is played several times Evolutionary interpretation of Nash equilibrium (Nash’s concern)

45 F.O.C. S.O.C. Linear demand p = a – b (q1 + q2)
Linear cost Ci = ci qi i = 1,2 Quadratic Profit: Pi = (a – b (q1 + q2))qi – ci qi F.O.C. S.O.C. R1 R1 R2 R2

46 Linear demand p = a – b (q1 + q2)
Quadratic cost Ci = ci qi – a i qi2 i = 1,2 Quadratic Profit: Pi = (a – b (q1 + q2))qi – (ci qi – a i qi2 ) eigenvalues: stability if R1 R2 R2 R1 Stable Unstable

47 Rand, D., 1978. Exotic Phenomena in games and duopoly models.
Journal of Mathematical Economics, 5, A Cournot tâtonnement is considered with unimodal (one-hump) reaction functions, and he proves that chaotic dynamics arise, i.e. bounded oscillations with sensitive dependence on initial conditions etc..

48 Postom and Stewart "Catastrophe Theory and its Applications", Pitman 1978
“… not treat such phenomena as program bugs, and not to steer their patameters or their model away from realism to eliminate them, such explicit models “drawn from life” will become common…” Book seller example: “...If you start producing books, when no one else is, you will not sell many. There will be no book habit among people, no distribution industry… On the other hand if other producers exist producing books in huge numbers, you will be invisible…and again you will sell rather few. Your sales will be best when your competitors’ output will be intermediate…” New mathematics “… Adequate mathematics for planning in the presence of such phenomena is a still far distant goal…”

49 Tonu Puu, 1991 “Chaos in Duopoly pricing” Chaos, Solitons & Fractals
Shows how an hill-shaped reaction function is quite simply obtained by using linear costs and replacing the linear demand function by the economists’ “second-favourite” demand curve, the constant elasticity demand – +

50 Chaos, Solitons, and Fractals, 7, 2031-2048.
Kopel, M., Simple and complex adjustment dynamics in Cournot Duopoly Models. Chaos, Solitons, and Fractals, 7, Linear demand function, a particular kind of cost function Ci = Ci(q1,q2) with positive cost externalities (some spillover effect which gives some advantages due to the presence of the competitor, in the spirit of the book-seller example) where m1 and m2 represent measure the intensity of the positive externality the actions of one player exert on the payoff of the other player 1 1 q2 r1 q2 r2 r2 r1 q1 1 q1 1

51 Non monotonic reaction functions may lead to the existence of several coexisting equilibria
Problem of equilibrium selection Which equilibrium is achieved as the result of an evolutive (trial and error, boundedly rational) process? Stability arguments are used to select among multiple equilibria What happens when several coexisting stable Nash equilibia exist?

52 Cournot Duopoly with Adaptive expectations:
Cournot Game (from beliefs to realizations) Adaptive expectations Dynamical system:

53 Z0 Z0 Z2 Z2 Z4 Z4 m1 = m2 = 3.4 a1 = a2 = 0.2 < 1/(m+1)
2.3 1.4 y y Z0 Z0 D D E2 E2 K Z2 E1 Z2 S E1 Z4 Z4 x 2.3 x 1.4

54 m1 = m2 = a1 = a2 = 0.7 m1 = m2 = a1 = a2 = 0.7 1.2 1.2 y y Z0 Z0 Z2 E2 Z2 E2 S S Z4 Z4 E1 E1 x 1.1 x 1.1 (a)

55 m1 = m2 = a1 = a2 = 0.8 m1 = m2 = a1 = a2 = 0.8 1.1 1.1 y y A2 A2 S A1 S E1 x 1.1 x 1.1