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Galileo Galilei 1564-1642 La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico lUniverso), ma.

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1 Galileo Galilei La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico lUniverso), ma non si può Galileo, da Il Saggiatore intendere se prima non si impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne manamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

2 Vito Volterra ( ) Il matematico si trova in possesso di uno strumento mirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulati per lungo andare di secoli dagli ingegni più acuti e dalle menti più sublimi che siano mai vissute. Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire il varco a molti oscuri misteri delluniverso, ed un mezzo per riassumere in pochi simboli una sintesi che abbraccia e collega vasti e disparati risultati di scienze diverse […] Ma è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco tempo hanno tentato dintrodursi, le scienze biologiche e sociali, che è più intensa la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi classici, i quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanico- fisiche, sono suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi ed inesplorati campi che si dischiudono loro dinanzi. dal discorso inaugurale per lanno accademico dellUniversità di Roma

3 Preda-predatore (Vito Volterra, 1926) Densità prede x 1 Densità predatori x 2 r x 1 m x 2 + c x 1 x 2 b x 1 x 2 x1x1 x2x2 x 1 (r b x 2 ) x 2 ( m + c x 1 )

4 Matematica (pura) e Matematica Applicata Applicazione dei teoremi, dimostrati per le entità matematiche, agli oggetti reali Applicazione dei fenomeni osservati nel mondo reale per ottenere relazioni formali fra i corrispondenti oggetti matematici Modelli gli oggetti astratti (platonici) della matematica gli oggetti del mondo reale

5 Matematica per le decisioni Problema del monopolista: Più produco e più guadagno? Profitto = Ricavo – Costo = p q – c q = (p – c) q Teorema. Se p > c allora il profitto cresce ogniqualvolta cresce la produzione Modelli matematici del mondo reale e responsabilità sociale del matematico

6 … ma p è una funzione di q q dom p fine soldi q saturazione Esempio: Funzione di domanda lineare p q p = a/b – (1/b) q = A – B q profitto = p q – c q = (A – B q) q – cq = = – B q 2 + (A – C) q q = a – b p

7 profitto del monopolista = f (q) = – B q 2 + (A – C) q Profitto quantità prodotta è una parabola!

8 Problema del duopolio di Cournot A. Cournot, Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse, Paris (1838) Due produttori, 1 e 2, che competono per vendere prodotti omogenei. Il produttore 1 produce e immette nel mercato q 1 con costi c 1 q 1 Il produttore 2 produce e immette nel mercato q 2 con costi c 2 q 2 prezzo: p = A – B ( q 1 + q 2 ) Profitto produttore 1: PRO 1 = [ A – B ( q 1 + q 2 )]q 1 – c 1 q 1 Profitto produttore 2: PRO 2 = [ A – B ( q 1 + q 2 )]q 2 – c 2 q 2 q2q2 q1q1 q 2 = r 2 (q 1 ) q 1 = r 1 (q 2 ) Equilibrio di Nash

9 C R Tace (si fida) Accusa (non si fida) -1, -1 -3,-3 -4, 0 0,- 4 Tace (si fida) Accusa (non si fida) Dilemma del prigioniero Dilemmi sociali Interesse individuale Interesse collettivo

10 Fisherman C Fisherman R Moderate exploitaton (cooperative) Intensive exploitation (competitive) 3, 3 2, 2 1, 4 4, 1 Moderate exploitaton (cooperative) Intensive exploitation (competitive) Dilemma del Pescatore Interazione strategica Un tipico dilemma sociale Hardin, G. The tragedy of the commons, Science (1968).

11 Modello dinamico x(t+1) = x(t) + R x(t ) t : tempo x(t) : popolazione (risorsa) disponibile al tempo t R : tasso di crescita specifico (per unità di tempo, per unità di risorsa) R = Esempio. n := tasso di natalità ; m : = tasso di mortalità R = n – m x(t+1) = x(t) + (n – m) x(t) = (1 + n – m)x(t)

12 x(t+1) = (1 + n – m)x(t) = a x(t) Dato x(0) x(1) = a x(0) x(2) = a x(1)=aax(0)=a 2 x(0) x(3) = a x(2)=aa 2 x(0)=a 3 x(0). x(t) = a t x(0) progressione geometrica di ragione a a < 1 (ovvero n < m) x(t) 0 a > 1 (ovvero n > m) x(t)

13 x(t+1) = (1 + n – sx(t))x(t) = (1+n) x(t) – s x(t) 2 x 0 = 0 equilibrio di estinzione K = n/s capacità portante x = K : R(K) = 0 Parabola R(x) = n – m = n – sx n K = n/s 0 Esempio m = sx : crescita logistica Al crescere della densità di popolazione cresce la mortalità per mancanza di cibo, spazio…) Malthus (1798) An essay on the principle of population R(X) x x K 0

14 f x ( t ) x ( t + 1 ) Legge di evoluzione induttiva : dallo stato al tempo t permette di calcolare lo stato al tempo successivo, t+1 Modelli dinamici a tempo discreto x (t + 1) = f ( x (t) ) x (0) assegnato … si ottiene una traiettoria del sistema dinamico Per induzione, ossia iterando la f... x (0) f x (2)... x (1) f

15 x0x0 x 1 = f (x 0 ) Se f (x(t)) > x(t) Allora x (t + 1) > ( x (t) ) Se f (x(t)) < x(t) Allora x (t + 1) < ( x (t) ) Se f (x(t)) = x(t) Allora x (t + 1) = ( x (t) ) stato stazionario punto di equilibrio punto fisso Legge di evoluzione: x (t + 1) = f ( x (t) ) x1x1 x0x0 x3x3 x2x2 logistica x(t) x(t+1)

16 Condizione di equilibrio: x(t+1) = x(t) cioè H(t) = R(x) Equazione dinamica di una popolazione naturale sfruttata x(t+1) = x(t)(1+R) H(t) H(t): quota di risorsa prelevata nellunità di tempo (Harvesting)

17 Prelievo con quote costanti : H(t) = h x(t+1) = f (x(t)) = (1 + n – sx(t))x h Due equilibri Soglia di sopravvivenza Equilibrio stabile 0 f (X) -h-h KhKh. XhXh.

18 0 -h-h XhXh KhKh h > n 2 / (4s) 0 -h-h Aumentiamo la quota di prelievo

19 h XhXh KhKh K 0

20 Prelievo con sforzo costante: H(t) = q E x(t) Sforzo Coeff. Tecnol. E KEKE K 0 EeEe x(t+1) = f (x(t)) = x(t) (1 + n – qE sx(t)) Se qE < n due equilibri: X 0 = 0; K E =(n qE) / s x E=E e = n/q 0

21 Yield-Effort curve Prelievo con sforzo costante: H(t) = q E x(t) Y= qEK E E EeEe 0 MSY E MSY Uno sforzo crescente porta a una maggiore produzione immediata ma può portare a una minore produzione (sostenibile) nel lungo periodo E E MSY sovrasfruttamento

22 I profitti: Introduciamo un po di Economia Scott Gordon, 1954 p = prezzo di vendita TR = pY Ricavo totale TC = cE Costo totale TR TC profitto totale E = somma degli sforzi individuali dei pescatori E = E m fornisce il massimo profitto (unico proprietario o cooperazione) E b = Equilibrio bionomico E b > E MSY (overexploitation, no profit) TR = pY TR = cE pY(E)=c EeEe E EbEb EmEm E MSY Morale: se tutti vogliono guadagnare, nessuno guadagna

23 R(x)R(x) K 0 x Vivere in comunità (branchi) : Crescita con depensazione Crescita ottimale per valori intermedi x f (X) E=0 K Sforzo Costante KEKE 0 0 < E < E 1 x 0 f (X) KEKE XEXE E 1 < E < E 2

24 K E > E 2 f (x) KEKE XEXE x 0 E 1 < E < E 2 f (x) x 0 E XEXE KEKE 0 Yield-Effort curve E2E2 E1E1

25 XSXS K 0 A B E Irreversibilità !

26 Cournot Oligopoly Approach n players, i = 1,…,n each harvesting x i according to a profit maximization problem If is the unique Cournot-Nash equilibrim, then Strategic interaction is related to i) All x i influence price through a given demand function ii) Resource stock X influences costs (negative cost externality)

27 p(t) = a b H(t) Esternalità economiche che introducono una autoregolamentazine Ipotesi economiche per il modello di oligopolio di Cournot max i per

28 equazione dinamica con harvesting X(t+1) = X(t) + R(X(t)) H * (X(t)) condizione di equilibrio X

29 Modello di oligopolio. libera competizione fra un numero limitato di agenti che massimizzano il proprio profitto x x f (X) K K 0 0 K XsXs X(t+1) = F(X(t) ) = X(t) (1 + R(X)) – H*(t)

30 x f (X) K XsXs X 0 0

31 X F(X)F(X) E=0 K K 0 X 0 F(X)F(X) K XsXs F(X)F(X) K XsXs X 0 F(X)F(X) X 0 (a) (d)(c) (b) irreversibility, hysteresis

32 Dal romanzo: Jurassic Park, di Michael Crichton Un passo tratto dalla Seconda Iterazione […] Ian Malcom era uno dei più famosi rappresentanti di quella nuova generazione di matematici che mostravano un vivo interesse per i meccanismi del mondo reale. Questi studiosi, sotto molti aspetti, avevano rotto la tradizione di isolamento dei matematici. Per prima cosa si servivano continuamente del computer, cosa che i matematici tradizionali non vedevano di buon occhio. Poi lavoravano quasi esclusivamente con equazioni non lineari, nel campo emergente del cosiddetto caos. Terza cosa, sembravano voler fare di tutto il possibile affinché i loro sistemi matematici descrivessero qualcosa che di fatto esisteva nel mondo reale.

33 Jurassic Park, terza iterazione: Un simile controllo è impossibile dichiarò Ian Malcom Invece sì disse Hammond Mi scusi, ma lei non sa quello che dice ribattè Malcom Piccolo stronzo arrogante disse Hammond. Si alzò e uscì. Mi spiace disse Malcom ma il punto è che ciò che definiamo natura è di fatto un sistema complesso, non lineare. Ci costruiamo una immagine lineare della natura e poi combiniamo pasticci. Io non sono uno di quegli ambientalisti dal cuore tenero, ma dovete capire ciò che non capite. Quante volte bisogna sbattere il muso contro levidenza dei fatti? Abbiamo costruito la diga di Assuan sostenendo che avrebbe rivitalizzato lEgitto, e invece distrugge il fertile delta del Nilo, produce infestazioni da parassiti e rovina leconomia. Abbiamo costruito...

34 Modelli più sofisticati per includere altri elementi Introdurre un fattore di complessità per volta Pescatori eterogenei cooperatori e competitori rispettano/non rispettano le regole imposte Spazio eterogeneo zone caratterizzate da diverse conformazioni zone caratterizzate da diverse regolamentazioni Pesci eterogenei per taglia per età per specie per livello trofico

35 Modello della Ragnatela Un prodotto al tempo t viene venduto al prezzo unitario p t. Quantità richiesta al tempo t dai consumatori Q d = D ( p t ) D funzione di domanda La quantità che viene immessa sul mercato dai produttori sia una funzione del prezzo Q s = S ( p t ) S funzione di offerta Esempio. funzioni di domanda e offerta lineari: D(p) = a b p ; S(p) = c + d p a, b, c, d costanti positive p Q S D Equilibrio: Q d = Q s p*p*

36 Problema: la produzione richiede un certo lasso di tempo, I produttori devono decidere in anticipo (in t -1) la quantità da immettere nel mercato al tempo t ; I consumatori decidono la quantità da acquistare in base al prezzo corrente D(p t ) = S(p t-1 ) da cui: p t = D -1 (S(p t-1 )) = f (p t-1 ) Con le funzioni lineari: a b p t = c d p t-1, da cui:

37

38 D(p t ) = S(p t-1 ) diventa a bp t = arctan ( (p t-1 1)) da cui si ottiene il modello dinamico p t = F(p t-1 )= [a arctan ( (p t-1 1))] La mappa F(p) è monotona decrescente, Funzione di offerta non lineare: Q off = S ( p) = arctan ( (p 1)) pepe S D D ( p ) = a - b p S ( p ) = arctan ( (p - 1)) p Q

39 pepe p p1p1 p p2p2 F F p

40 Aspettative adattive

41 pepe

42 Cournot Duopoly Games q 1 (t) and q 2 (t) outputs at time t of two quantity setting-firms producing homogeneous goods. p= f (q 1 +q 2 ) inverse demand function c i (q 1, q 2 ) cost functions, So, the unit-time profit is: q i f (q 1 + q 2 ) – c i (q 1, q 2 ) At time period t firms 1, 2 decide (t+1)-outputs by solving profit - maximization problems

43 q1q1 q2q2 q 2 = r 2 (q 1 ) q 1 = r 1 (q 2 ) Cournot-Nash Equilibrium. Perfect foresight: One-shot (static) game The game goes to the intersection(s) of the reaction curves (Cournot-Nash equilibrium) in one shot Expectation of agent i about the rivals choice

44 Two-dimensional dynamical system: given (q 1 (0),q 2 (0)) the repeated application of the map T:(q 1,q 2 ) (r 1 (q 2 ), r 2 (q 1 )) gives the time evolution of the duopoly game. This repeated game may converge to a Cournot-Nash equilibrium in the long run, i.e. boundedly rational players may achieve the same equilibrium as fully rational players provided that the myopic game is played several times Evolutionary interpretation of Nash equilibrium (Nashs concern) Cournot (Naive) expectations:

45 Linear demand p = a – b (q 1 + q 2 ) Linear cost C i = c i q i i = 1,2 Quadratic Profit: a – b (q 1 + q 2 ))q i – c i q i R1R1 R2R2 R1R1 R2R2 F.O.C. S.O.C.

46 Linear demand p = a – b (q 1 + q 2 ) Quadratic cost C i = c i q i – i q i 2 i = 1,2 Quadratic Profit: a – b (q 1 + q 2 ))q i – (c i q i – i q i 2 ) eigenvalues: stability if R1R1 R2R2 R1R1 R2R2 Stable Unstable

47 Rand, D., Exotic Phenomena in games and duopoly models. Journal of Mathematical Economics, 5, A Cournot tâtonnement is considered with unimodal (one-hump) reaction functions, and he proves that chaotic dynamics arise, i.e. bounded oscillations with sensitive dependence on initial conditions etc..

48 Postom and Stewart "Catastrophe Theory and its Applications", Pitman 1978 … not treat such phenomena as program bugs, and not to steer their patameters or their model away from realism to eliminate them, such explicit models drawn from life will become common… Book seller example:...If you start producing books, when no one else is, you will not sell many. There will be no book habit among people, no distribution industry… On the other hand if other producers exist producing books in huge numbers, you will be invisible…and again you will sell rather few. Your sales will be best when your competitors output will be intermediate… New mathematics … Adequate mathematics for planning in the presence of such phenomena is a still far distant goal…

49 Tonu Puu, 1991 Chaos in Duopoly pricing Chaos, Solitons & Fractals Shows how an hill-shaped reaction function is quite simply obtained by using linear costs and replacing the linear demand function by the economists second-favourite demand curve, the constant elasticity demand – +

50 Kopel, M., Simple and complex adjustment dynamics in Cournot Duopoly Models. Chaos, Solitons, and Fractals, 7, Linear demand function, a particular kind of cost function C i = C i (q 1,q 2 ) with positive cost externalities (some spillover effect which gives some advantages due to the presence of the competitor, in the spirit of the book-seller example) r2r2 r1r1 r2r2 r1r q1q1 q2q q1q1 q2q2 where 1 and 2 represent measure the intensity of the positive externality the actions of one player exert on the payoff of the other player

51 Non monotonic reaction functions may lead to the existence of several coexisting equilibria Problem of equilibrium selection Which equilibrium is achieved as the result of an evolutive (trial and error, boundedly rational) process? Stability arguments are used to select among multiple equilibria What happens when several coexisting stable Nash equilibia exist?

52 Cournot Duopoly with Adaptive expectations: Cournot Game (from beliefs to realizations) Adaptive expectations Dynamical system:

53 1 = 2 = = 2 = 0.2 < 1/( +1) Z4Z4 Z2Z2 Z0Z0 E2E2 E1E1 S y x Z4Z4 Z2Z2 E2E2 E1E y x 1 = 2 = = 2 = 0.5 > 1/( +1) Z0Z0 K

54 1 = 2 = = = y x Z4Z4 Z2Z2 Z0Z0 E2E2 E1E1 S (a) y x 1 = 2 = = = 0.7 Z4Z4 Z2Z2 Z0Z0 E2E2 E1E1 S

55 y x 1 = 2 = = = 0.8 S A2A2 A1A1 E1E y x 1 = 2 = = = 0.8 S A2A2


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