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1 Ricostruzione di polyomini L-convessi G. Castiglione, A. Restivo, R. Vaglica. Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Palermo.

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1 1 Ricostruzione di polyomini L-convessi G. Castiglione, A. Restivo, R. Vaglica. Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Palermo

2 2 due celle di un insieme discreto si dicono connesse se esiste un cammino (sequenza di celle adiacenti) che le collega contenuto nellinsieme. Polyomino insieme finito e connesso di celle (quadrati unitari) del piano cartesiano definito a meno di una traslazione Polyomino convesso : polyomino le cui righe e colonne sono connesse

3 3 Polyomini L-convessi polyomini convessi in cui ogni coppia di celle risulta connessa da un cammino monotono con al più un solo cambiamento di direzione (L-path) L-convesso cammino monotono In un polyomino convesso qualunque coppia di celle risulta connessa da almeno un cammino monotono. Cammino monotono: cammino autoevitante costituito da passi in due sole direzioni

4 4 Proiezioni orizzontali e verticali (Tomografia discreta) V H Ricostruzione di insiemi discreti a partire da informazioni parziali L-cammini { 1, 2,...,}

5 5 unicità Ricostruzione banale (L-convessi) Algoritmo di ricostruzione Proiezioni orizzontali e verticali (Tomografia discreta) Ricostruzione di polyomini L-convessi unicità L-cammini L-cammini bordati L-cammini massimali unicità

6 6 L(P) { x,y / x,y P } Esempio L-cammino 3,4 contenuto in un polyomino L-convesso L-cammini L(P): insieme degli L-cammini contenuti nel polyomino L-convesso P Denotiamo con x,y (x,y - {0}) un L-cammino fatto da |x|-1 passi orizzontali, |y|-1 passi verticali orientato come segue se x>0 e y>0 se x>0 e y<0 se x 0 se x<0 e y<0

7 7 x,y è massimale (in L(P)) se x',y' L(P), x,y x',y' x x' y y' L max (P): insieme di tutti gli elementi massimali di L(P) (L(P), ) è un insieme parzialmente ordinato Osservazione: gli elementi di L max (P) possono avere più occorrenze in P. Tutte queste occorrenze connettono celle appartenenti ai bordi di P Relazione tra altezza e larghezza di P e linsieme L max (P) L-cammini massimali

8 8 Rettangoli massimali R max (P): insieme di tutti gli elementi massimali di R(P) [x,y] Polyomino di forma rettangolare avente larghezza x ed altezza y. R(P) { [x,y] t.c. [x,y] P } parzialmente ordinato Osservazione: R max (P) è un insieme finito di rettangoli non confrontabili ovvero [x,y], [x',y'] R max (P) tali che [x,y] [x',y'] [x',y'] [x,y] R max (P) {[x 1,y 1 ], [x 2,y 2 ], …, [x n,y n ]} x 1 x 2 … x n and y 1 y 2 … y n ordinamento canonico

9 9 rettangoli in posizione non crossing rettangoli in posizione crossing Rettangoli non confrontabili in posizione crossing Teorema: Un polyomino convesso P è un L-convesso se e solo se i suoi rettangoli massimali hanno a due a due una posizione crossing in P. Dati i rettangoli [x,y], [x',y'] non confrontabili si dice che essi si trovano in una posizione crossing se

10 10 se R max (P) {[x,y]}, ovvero P [x,y], e Q L è tale che L max (P) L max (Q) Q P L famiglia dei polyomini L-convessi [x 1, y 1 ] [w(P), min{ y : x,y L max (P), x w(P) }] [x n, y n ] [ min{ x : x,y L max (P), y h(P) }, h(P) ] R max (P) {[x 1, y 1 ], …, [x i, y i ], …, [x n, y n ] } ordine canonico I polyomini L-convessi sono caratterizzati dai loro L-cammini massimali?

11 11 Lemma. Sia R max (P) 2. Q L tale che L max (P) L max (Q), la dimensione e la reciproca posizione del primo e secondo (penultimo ed ultimo) rettangolo massimale di Q coincideranno con quelle del primo e del secondo (penultimo ed ultimo rispettivamente) rettangolo massimale di P. Teorema. Sia P L. Se R max (P) 3 allora P è univocamente determinato da L max (P). L max (P) P nel caso in cui P è costituito al più da 3 rettangoli massimali Corrispondenza tra un polyomino L-convesso P e la famiglia L max (P )

12 12 Controesempio Questo esempio considera due polyomini L-convessi distinti, con più di tre rettangoli massimali, aventi lo stesso insieme di L-cammini massimali riportato in tabella. P2P2 P1P1 4 rettangoli massimali 2 occorrenze

13 13 Multiset ? non è massimale P1P1 P2P2 multiset Questo esempio considera due polyomini L-convessi differenti aventi lo stesso multiset di L-cammini massimali.

14 ; Polyomino L-convesso L- cammini bordati

15 15 Consistenza Ricostruzione Unicità Problemi affrontati

16 16 L-cammini bordati P Sia P un polyomino convesso. P Un L-cammino è bordato in P se SE bordato se parte dal bordo superione EN bordato se parte dal bordo sinistro NW bordato se parte dal bordo inferiore WS bordato se parte dal bordo destro In particolare è detto : parte da una cella del bordo procede ortogonalmente rispetto allo stesso bordo quando incontra il bordo opposto gira in senso antiorario quindi procede dritto fino al bordo opposto # # # # # # # # # #

17 17 Definizione di un L-cammino bordato Sia un L-cammino che cambia direzione nella cella. EN bordato se è in direzione EN e NW bordato se è in direzione NW e WS bordato se è in direzione WS e denota la cella è detto SE bordato se è in direzione SE e

18 18 Definizione di una funzione di valutazione per un L-cammino La size di un L-cammino è la funzione definita da dove. card ( SE ) = card ( N W ) = (P) card ( E N ) = card ( W S ) = h(P) tutte le coppie di interi positivi che rappresentano la size di un L-cammino SE bordato SE = Analogamente E N, W S, N W

19 19 Esempio # # # # # # # # # ## # # # # # # # # # # #

20 20 Struttura dellalgoritmo Prima fase determina gli elementi di R max (P) [x1,y1][x1,y1] [x2,y2][x2,y2] [x3,y3][x3,y3][x4,y4][x4,y4] x 1 x 2 x 3 x 4 and y 1 y 2 y 3 y 4

21 21 Seconda fase determina la mutua posizione dei rettangoli massimali a partire… Ω = (ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) Σ = (σ 1, σ 2, σ 3, σ 4 ) ascisse dei SW corners ordinate dei SW corners Struttura dellalgoritmo

22 22 Prima fase LEMMA. Sia P un polyomino L-convesso. Gli elementi di R max (P) sono univocamente determinati da SE (o equivalentemente da E N, N W, W S ) Dalla prova di questo lemma si ricava una procedura per determinare gli elementi di R max (P) a partire dallinsieme SE

23 23 Seconda fase Due procedure che determinano Ω Ω OMEGA 1 ( SE, E N ) OMEGA 2 ( SE, WS ) Ω Determinare la reciproca posizione di due rettangoli massimali significa stabilire quale tipo di intersezione crossing hanno. incrociatoallineato a sinistraallineato a destra

24 24 Seconda fase Due procedure che determinano Ω Ω OMEGA 1 ( SE, E N ) OMEGA 2 ( SE, WS ) Ω Scegliendo solo una delle due procedure … … due tipi of sizes sono necessari !!! ( SE, WS ) Ω OMEGA 2 ( SE, E N ) ( SE *, WS * ) Ω*Ω* Σ clock.rotation of π/2 OMEGA 2 P P*

25 25 Ω OMEGA 1 ( SE, E N ) OMEGA 2 ( SE, WS ) Ω Tuttavia il nostro scopo è ricostruire univocamente P da ununica coppia di set di sizes. Seconda fase ( SE, E N ) Ω OMEGA 1 ( SE, E N ) ( SE *, WS * ) Ω*Ω* Σ clock.rotation of π/2 OMEGA 2 Teorema: Ogni polyomino L-convesso è univocamente determinato da ( SE, E N ).


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