Esercizio La popolazione di adulti presenta una media di ansia pari a 4. Ad un campione di 35 soggetti con disturbo ossessivo compulsivo è stato somministrato un questionario sull’ansia, che ha rilevato che la media del campione è uguale a 5 e la deviazione standard (σ) è uguale a 1,25. Verificare, con α = 0.05, che i soggetti con disturbo ossessivo compulsivo abbiano una media maggiore di quella della popolazione.

DS: nota o incognita? La deviazione standard della popolazione può essere: Nota (σ): Se è possibile estrarre un gran numero di campioni (con N uguale) dalla popolazione; in questo caso è possibile calcolare la deviazione standard direttamente dalla popolazione. Incognita (s): Se non è possibile estrarre un gran numero di campioni (con N uguale) dalla popolazione; in questo caso la deviazione standard viene stimata a partire dai punteggi relativi al campione.

Stima della DS della popolazione Essendo N-1 < N, la deviazione standard della popolazione è sempre maggiore (leggermente) della deviazione standard del campione.

Calcolo di s da σ del campione Sapendo che e Come si calcola s a partire da σ?

Calcolo di s da σ del campione Calcolare s nell’esercizio precedente, in cui σ=1,25 e N=35

Calcolo di s dalla distribuzione X f 3 7 5 21 X-5 (X-5)2 f(X-5)2 -2 4 28 2 ∑=56 s2=56/(N-1)=56/34=1,65 s=√1,65=1,28

Calcolo della stima della deviazione standard delle medie sẌ Per trovare il valore calcolato da confrontare con il valore critico è necessario innanzitutto trovare la stima della deviazione standard delle medie sẌ, dividendo semplicemente s per la radice quadrata di N. oppure

Calcolo del valore calcolato È possibile adesso trovare il valore calcolato: oppure NB: le due formule sono equivalenti, pertanto: Se nella traccia vi è s è preferibile utilizzare la formula di sinistra. Se nella traccia vi è σ del campione è preferibile utilizzare la formula di destra. NB2: Se nella traccia vi è σ della popolazione si utilizza il test z (prima tipologia di esercizio).

Distribuzione t di Student I valori ottenuti dalla formula precedente non si distribuiscono secondo una distribuzione normale standardizzata, ma secondo la distribuzione t di Student (Gosset, 1908). I punti della distribuzione si chiamano t. Esiste una distribuzione t diversa per ogni dimensione del campione: il valore critico, dunque, varia al variare di N. Sopra le 30 unità (N>30) le distribuzioni t e z si assomigliano; oltre le 100 sono pressoché identiche.

D.N.S. e Distribuzione t

D.N.S. e Distribuzione t La D.N.S. è descritta dalla media (uguale a 0) e da σ (uguale a 1), che consente di stabilire la percentuale di soggetti che dista dalla media. I parametri della Distribuzione t, invece, sono la media ed i Gradi di Libertà (Degree of Freedom), che dipendono da N. I gradi di libertà indicano il numero di grandezze, intese come scarti dalla media (X-Ẍ), che possono variare liberamente.

Gradi di libertà (DF) Siccome , le grandezze che possono variare corrispondono a N-1, ossia possono variare liberamente tutte le grandezze tranne una, che è determinata dalla somma delle altre, con segno opposto. Se infatti: -1+0+?=0, ? = +1 Soggetti X 1 4 2 5 3 6 X-5 -1 ? ∑=0

GdL: Esempio formazione calcio Con il 4-3-3, scelte le altre posizioni, l’ultimo giocatore deve giocare necessariamente in questo ruolo

t critico Per trovare il t critico si utilizza, quindi, la tavola della distribuzione t, cercando il valore rispetto ai gradi di liberta (N-1). Fare attenzione se l’ipotesi è monodirezionale o bidirezionale. Cercare il t critico rispetto all’esercizio iniziale (N=35), sia con ipotesi monodirezionale che bidirezionale. tcri=1,697 (mono) Con ipotesi bidirezionale sarebbe stato: tcri=2,042 (bidirezionale)

Esercizio 1 La popolazione di adulti presenta una media di ansia pari a 4. È stato somministrato ad un campione di 35 soggetti con disturbo ossessivo compulsivo un questionario sull’ansia, che ha rilevato che la media del campione (Ẍ) è uguale a 5 e la deviazione standard (σ) è uguale a 1,25. Verificare, con α=.05, che i soggetti con disturbo ossessivo compulsivo abbiano una media maggiore di quella della popolazione.

Esercizio 1: Disegno e Ipotesi 1- α = 0,95 α = 0,05 1,697 Accetto H0 Rifiuto H0

Svolgimento 1 Dati: Ẍ=5 N=25 µ=4 s=1 α=.05 mono tcri con N-1 gradi di libertà = t(34)=1,697 tcal=4,76 CONCLUSIONI Siccome tcalc>tcri rifiutoH0: la media del campione è significativamente maggiore rispetto alla media della popolazione.

Riassumendo: Test di ipotesi su campione unico Il confronto tra media di un campione e media di una popolazione può avvenire attraverso: Il test z se: Deviazione Standard della popolazione è nota Distribuzione normale o N > 30 Il test t se: Deviazione Standard della popolazione è incognita

Differenze tra test z e test t Fa riferimento alla distribuzione normale Zcri (a parità di α) dipende esclusivamente dalle ipotesi. Test t: Fa riferimento alla distribuzione t di Student tcri dipende dalle ipotesi e dai GdL (in inglese DF) NB: Entrambe le distribuzioni hanno media = 0

Implicazioni legate all’accettazione o rifiuto di H0 Accettazione di H0 : se il |valore calcolato| è minore del |valore critico| si accetta H0; ciò non garantisce che H0 sia vera ma soltanto che non ci sono prove sufficienti per rifiutarla. Rifiuto di H0: se il |valore calcolato| è maggiore del |valore critico| si rifiuta H0; ciò indica che vi è differenza (o vi è un effetto della variabile dipendente). I risultati, però, non sono mai definitivi: è necessario replicare gli studi aumentando e diversificando N.

Esercizio 2 Gli studenti (N=172) dell’A.A. 2014/15 hanno ottenuto un punteggio medio al I modulo di psicometria pari a 26,72 (σ=3). La media della popolazione di studenti al I modulo è uguale a 27. Verificare , con α=.05, che la media del campione sia minore della media della popolazione.

Esercizio 2: Disegno e Ipotesi 1- α = 0,95 α = 0,05 -1,645 Rifiuto H0 Accetto H0

Svolgimento 2 Sapendo che: Ẍ=26,72 N=172 µ=27 Σ=3 s=3,02 α=.05 mono tcri=N-1? tcri=-1,645 tcal=-1,22 CONCLUSIONI Siccome – tcalc > -tcri accetto: H0: non c’è differenza

Esercizio 3 Il profilo psicologico di 64 “serial killer” rivela una media di 6,5 nella scala del disturbo antisociale di personalità. La media della popolazione rispetto al disturbo antisociale di personalità è pari a 6, con s=1,51. Verificare, con α=.05, che la media del campione sia diversa dalla media della popolazione.

Esercizio 3: Disegno e Ipotesi -2,00 +2,00 Rifiuto H0 Accetto H0 Rifiuto H0

Svolgimento 3 Sapendo che: Ẍ=6,5 N=64 µ=6 s=1,51 α=.05 bidirezionale tcri= N-1? tcri= ±2 tcal= 2,63 CONCLUSIONI Siccome tcalc>tcri rifiuto H0: la media del campione di serial killer è significativamente maggiore rispetto alla media della popolazione.