Risoluzione di triangoli qualsiasi

Tracciamo l’altezza CH Dato un triangolo ABC, con i lati b, c e l’angolo compreso a, vogliamo trovare il terzo lato a. Tracciamo l’altezza CH A C B b c a CH = b sen a b sen a AH = b cos a c - b cos a BH = AB - AH= c - b cos a H Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB a2 = CH2 + BH2 = (b sen a)2 + (c - b cos a)2 a2 = b2 sen2 a + c2 + b2 cos2 a -2bc cos a Ma: b2 sen2 a + b2 cos2 a = b2 (sen2 a + cos2 a) = b2 pertanto a2 = b2 + c2 - 2bc cos a

Teorema di Carnot (o del coseno) Abbiamo così ottenuto il Teorema di Carnot (o del coseno) In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuito del doppio prodotto di questi per il coseno dell’angolo compreso. A C B b c a g a2 = b2 + c2 - 2bc cos a b2 = a2 + c2 - 2ac cos b c2 = a2 + b2 - 2ab cos g

Dal teorema di Carnot, possiamo ricavare gli angoli di un triangolo, conoscendone i tre lati. Ad esempio dalla relazione a2 = b2 + c2 - 2bc cos a possiamo ricavare e quindi a, poiché esiste un unico angolo compreso tra 00 e 1800 avente un dato coseno. Utilizzando il teorema di Carnot, possiamo risolvere un triangolo qualunqe, in due casi caso 1: dati due lati e l’angolo compreso caso 2: dati i tre lati

CASO 1: risoluzione di un triangolo dati b, c, a da cui si ricava b da cui si ricava g

CASO 2: risoluzione di un triangolo dati a, b, c da cui si ricava a da cui si ricava b da cui si ricava g

In questo ultimo caso il problema ha soluzione solamente se cos a, cos b, cos g sono compresi tra -1 ed 1, altrimenti non esiste alcun triangolo che ha i tre lati quelli dati. Vediamo ora un teorema che da la relazione tra un lato di un triangolo e l’angolo opposto.

Dato il triangolo ABC, costruiamo la circonferenza circoscritta e sia R il raggio. Tracciamo il diametro BD passante per B. L’angolo BDC è congruente ad a = BAC perché entrambi insistono sull’arco BC D a B a C Il triangolo BCD è rettangolo in C, perché l’angolo BCD insiste su una semicirconferenza. Quindi a = BD sen a = 2R sen a Dunque otteniamo

Teorema dei seni Abbiamo così ottenuto il In un triangolo il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto è costante, ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo. A C B b c a g

Il teorema dei seni ci consente di risolvere un triangolo dato un lato e i due angoli ad esso adiacenti.

CASO 3: risoluzione di un triangolo dati c, a, b poiché a + b + g = 1800 dal teorema dei seni dal teorema dei seni