Corso di Elettrotecnica (Allievi aerospaziali) Reti Elettriche Parte II Revisione aggiornata al 6 giugno 2012 (

Circuiti in regime lentamente variabile

Bipoli elementari lineari

Bipoli resistenza e induttanza In regime stazionario equivale ad un corto circuito ideale

Bipoli capacità e generatori ideali di tensione e di corrente

Flusso di autoinduzuine La corrente i crea B(t) e il flusso di autoinduzione γ concatenato con la spira orientata γ. Se γ è immersa in un mezzo lineare: γ =f(i)=Li L è il coefficiente di autoinduzione [Henry].Se il verso di γ è concorde con il verso di i, per i>0 γ >0 e per i<0 γ <0 L= γ /i>0 i>0

Esempi di realizzazione del bipolo induttanza Nella spira attraversata da i(t) insorge la f.e.m. e(t): in cui φ γ è il flusso dautoinduzione Li. LKT fornisce: v+e=Ri Trascurando R:

Esempi di realizzazione del bipolo induttanza S

Esempio di realizzazione del bipolo capacità Dato il condensatore piano C la LKT fornisce: v-v C =Ri0 q=cv C v=v C v(t) C

Realizzazione di generatori di tensione sinusoidale γ

Richiami sulle funzioni periodiche Si dice periodica una funzione del tempo y=f(t) che assume valori che si ripetono a "intervalli" regolari T. Si ha: Si dice periodo il valore minimo di T (se esiste) che soddisfa tale relazione.

Richiami sulle funzioni periodiche La frequenza è il numero di cicli in un secondo: f=1/T [Hertz] La pulsazione è la quantità: ω=2πf=2π/T [Rad/sec] Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità: indipendente da t 0. Se F m =0, f(t) si dice alternata o alternativa. Si dice valore efficace di f: (valore quadratico medio)

Funzioni periodiche: significato fisico del valore efficace Regime periodicoRegime stazionario p=vi=Ri 2 P=VI=RI 2 Energia assorbita nellintervallo T I 2 regimi sono equivalenti se W P =W S

Circuiti in regime lentamente variabile Analisi dei circuiti in regime sinusoidale

Grandezze sinusoidali A M ampiezza α fase Valore efficace: Se f=50 Hz, T=20 ms, ω=100π rad/s

Richiami sui numeri complessi Rappresentazione algebrica z=x+jy dove j è lunità immaginaria definita da j 2 =-1. x è la parte reale di z y la parte immaginaria z è indicato anche come (x,y). P è limmagine di z. Gli assi x (asse reale) e y (asse immaginario) contengono le immagini di tutti i numeri reali e puramente immaginari. Rappresentazione geometrica nel piano complesso z è laffissa complessa di P

Richiami sui numeri complessi Complesso coniugato di z=x+jy: z*=x-jy Modulo di z: Argomento di z (anomalia del vettore OP) ρ e θ sono le coordinate polari di z che si può indicare anche come z=[ρ, θ] Rappresentazione vettoriale di z sul piano complesso

Richiami sui numeri complessi Rappresentazione trigonometrica di z=x+jy: z=ρ(cosθ+jsin θ) Per la formula di Eulero e jθ =cosθ+jsinθ si ha la formulazione esponenziale complessa di z: z=[ρ, θ]= ρ e jθ

Operazioni sui numeri complessi SOMMA

Prodotto di numeri complessi Rappresentazione algebrica Rappresentazione polare

Divisione di numeri complessi Rappresentazione algebrica Rappresentazione polare

I vettori rotanti La grandezza sinusoid. è compiutamente identificata da A, α e ω, come la grandezza: Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) e le. Si ha:

I fasori Fissata ω, è compiutamente identificata da A e α, come il fasore definito da: Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) nel dominio del tempo ed i fasori nel campo complesso. α

Le operazioni sulle grandezze sinusoidali: la somma Date O dove:

Applicazione dei fasori nello studio delle reti in regime sinusoidale (Esercizio 1) Date i 1 (t), i 2 (t) e i 3 (t) calcolare i(t).

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad a(t) dellangolo φ

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali b(t) è sfasata in anticipo rispetto a a(t) dellangolo φ

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali a(t) e b(t) sono in fase

Prodotto di una grandezza sinusoidale per una costante Date: ed una costante reale k>0, α

Prodotto di un fasore per un numero complesso

Prodotto di un fasore per lunità immaginaria j j fattore di rotazione di /2

Derivata temporale di una grandezza sinusoidale Data α

Prodotto di grandezze sinusoidali

Bipolo resistenza in regime sinusoidale Dominio del tempo Dominio dei fasori impedenza

Bipolo induttanza in regime sinusoidale Dominio dei fasori Dominio del tempo impedenza Reattanza

Bipolo capacità in regime sinusoidale Dominio dei fasori Dominio del tempo Impedenza Reattanza

Bipolo R-L in regime sinusoidale LKT Dominio del tempo Dominio dei fasori

Bipolo R-L in regime sinusoidale Dominio del tempo i(t) costituisce un integrale particolare dellequazione differenziale φ=arctg(ωL/R)

Bipolo R-L in regime transitorio (v (t) sinusoidale) Lintegrale generale dellequazione differenziale: èdove i p (t) è un integrale particolare e λ è la radice dellequaz. caratteristica dellequaz. omogenea associata R+λL=0 (T=L/R costante di tempo) (trascurabile per t>5T)

Bipolo R-L in regime transitorio (v (t) sinusoidale) Se ad es. R=10, X=ωL=10, per f=50 Hz ω=100π rad/s, L=0,1/π Henry, T=L/R=0,01/π=3,18 ms; dopo circa 16 ms il termine transitorio ke -t/T è trascurabile.

Bipolo R-C in regime sinusoidale Dominio del tempo LKT Dominio dei fasori

Bipolo R-C in regime sinusoidale Dominio del tempo

Bipoli R-L e R-C in regime stazionario v(t)=V (costante) i=V/R

Bipoli R,L,C in regime sinusoidale B=0 R=A B>0B<0 R=A

Ammettenza di un bipolo Ammettenza [ -1 ]

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Regime stazionarioRegime sinusoidale

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Regime stazionarioRegime sinusoidale LKT LKC LKT LKC

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Regime stazionarioRegime sinusoidale Millmann

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Bipolo di Thévenin in regime stazionario Bipolo di Thévenin in regime sinusoidale

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale Bipolo di Norton in regime stazionario Bipolo di Norton in regime sinusoidale

Impedenze in serie

Impedenze in parallelo

Bipolo R-L-C e risonanza Impedenza Limpedenza del bipolo è: il bipolo è in risonanza se: ω 0 pulsazione di risonanza.

Bipolo R-L-C e risonanza Corrente Se Valore efficace della corrente Il valore massimo di I si ha per ω=ω 0 ed è pari a V/R

Bipolo R-L-C e risonanza. Fase Lo sfasamento φ: φ<0 per ω<ω 0 il bipolo è equivalente a un bipolo R-C φ=0 per ω=ω 0 il bipolo è equivalente al bipolo R φ >0 per ω>ω 0 il bipolo è equivalente ad un bipolo R-L

Bipolo R-L-C e risonanza Fattore di merito Per ω=ω 0 si ha : ω=ω0ω=ω0 Q fattore di merito

Bipolo R-L-C e risonanza Selettività La potenza massima assorbita dal bipolo si ha in ω=ω 0 : P max =RI 2 In A e B la potenza P=P max /2. Δω è la larghezza di banda. Quanto più stretta è la banda tanto più selettivo è il bipolo. Al diminuire di R cresce Q=ω 0 L/R e Δω diminuisce.

Bipolo R-L-C e risonanza Influenza di R

Un esempio numerico (Esercizio 2) f=10 Hz, R=7,32, R=20, L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad Calcolare i(t), i(t), i(t) ω=2πf=20π rad/s, X L =ωL=20, X C =20. V A AA A B

Potenza nei circuiti in regime sinusoidale

Definizioni Se la tensione e la corrente di un bipolo sono: Adottando per il bipolo la convenzione dellutilizzatore per le potenze assorbite e quella del generatore per quelle erogate, si possono definire le seguenti grandezze: 1. p(t)=v(t)i(t) potenza istantanea [W] 2. P=VIcosφ potenza attiva [W] 3. Q=VIsinφ potenza reattiva (grandezza convenzionale) [VAr]

Definizioni 4.P app =VI Potenza apparente (grandezza convenzionale) [VA] 5. Potenza complessa (grandezza convenzionale) La potenza istantanea, le potenze attiva, reattiva e complessa soddisfano il principio di conservazione delle potenze. Alle potenze non è applicabile la sovrapposizione degli effetti.

La potenza apparente Nel caso di reti di distribuzione dellenergia elettrica la potenza apparente può essere correlata ai costi di investimento sostenuti per la realizzazione delle reti stesse. Infatti: P app =VI La V è correlata ai costo relativi al sistema di isolamento. La I è correlata alla quantità di rame impiegata.

La potenza istantanea Potenza attiva P Potenza fluttuante 0 La potenza attiva P è pari al valore medio della potenza Istantanea p(t)

La potenza istantanea P=VIcosφ

Potenza attiva ed energia p fluttuante Se un utilizzatore U assorbe una potenza attiva P=VIcosφ costante nellintervallo di tempo 0-t 1 >>T, lenergia assorbita è: Lenergia assorbita da U può essere associata alla resa economica per limpianto che alimenta U. Pertanto la potenza attiva P può essere correlata a tale resa economica.

Espressioni della potenza attiva La potenza attiva P può essere espressa in funzione dei vettori ed rappresentativi della tensione e della corrente come: oppure: I a componente attiva della corrente

Potenza attiva e potenza apparente La potenza attiva P è legata alla potenza apparente P app dalla relazione: P=(P app )cosφ Correlata alla resa economica Correlata ai costi di investimento Il cosφ è detto fattore di potenza

Potenza reattiva La potenza reattiva Q=VIsinφ costituisce una grandezza convenzionale priva in generale di uno specifico significato fisico. Essa costituisce un indicatore di insoddisfacente resa economica e qualità del processo di utilizzazione dellenergia elettrica ed è utile nellanalisi delle reti elettriche poiché soddisfa il principio di conservazione. Essendo: a parità di potenza apparente, quanto maggiore è la Q, minore è la P e quindi la resa economica dellimpianto. Essendo inoltre: a parità di P, quanto maggiore è Q, maggiore è I e quindi maggiori sono le perdite per effetto Joule e le cadute di tensione sulla linea elettrica che alimenta lutilizzatore U

Potenza reattiva P 1 =P 2 I 1 <I 2 φ1<φ2 φ1<φ2 Q 1 <Q 2

Potenza complessa

Principio di conservazione delle potenze complesse Ipotesi: La stessa convenzione dei segni su tutti gli l lati della rete. Siano P 1,.. P i,…P n gli n nodi della rete Tesi Somma parziale relativa al nodo P i Generico bipolo costituente il k-esimo lato della rete

Principio di conservazione delle potenze complesse Dal principio di conservazione delle potenze complesse: essendo: si deducono i principi di conservazione delle potenze attive e reattive:

Misura della potenza Lamperometro ed il voltmetro misurano il valore efficace (valore quadratico medio) di v ed i. Il wattmetro la potenza attiva P (valore medio della potenza istantanea v(t)i(t)). V(t) i(t)

Potenze nel bipolo resistenza α=0

Potenze nel bipolo induttanza α=0

Potenze nel bipolo induttanza α=0

Potenze nel bipolo capacità α=0

Potenze nel bipolo capacità α=0

Potenze nel bipolo R-L α=0 φ>0

Potenze nel bipolo R-L α=0

Passività dei bipoli in regime lentamente variabile bipolo si dice invece passivo se, applicando la convenzione dellutilizzatore, risulta per ogni t: Si ha quindi che lenergia che un bipolo passivo può erogare in un determinato intervallo di tempo non è mai maggiore di quella precedentemente assorbita. Sono passivi i bipoli R, L, C e tutti quelli risultanti dalla loro connessione.

Potenze nel bipolo R-C α=0

Una formulazione del principio di conservazione delle potenze potenze complesse erogate

Rifasamento Quanto minore è il cosφ di un impianto peggiore è la sua resa economica per lente distributore dellenergia elettrica e a parità di P maggiore è la corrente assorbita. Per impianti con P>15 kW non è consentito il funzionamento con cosφ medio (cosφ m ) minore di 0,7. Per 0,7< cosφ m <0,9 occorre pagare una penale commisurata allenergia reattiva assorbita (W Q ). dove τ è lintervallo di fatturazione

Rifasamento U utilizzatore ohmico- induttivo C capacità di rifasamento φ*: φ desiderato DIME DIMENSIONAMENTO DI C

Caratterizzazione dei bipoli passivi Oltre che con lequazione caratteristica: i bipoli passivi si possono caratterizzare mediante: In particolare possono essere forniti i dati nominali. (ritardo) (anticipo)

Caratterizzazione dei bipoli passivi Da ciascuna di queste caratterizzazione si può dedurre loperatore impedenza. Ad es. dalla prima si ha:

Utilizzazione del principio di conservazione delle potenze Esempi numerici R=10, ωL=19,6. Dati di targa utilizzatore U V n =220 V, P n =1,76 kW, cosφ u =0,8 (rit.) Calcolare indicazione amperometro A (valore efficace della corrente i) + Esercizio 3 Applicazione conservazione potenze P=RI 2, Q=ωLI 2. I=220/z.. I=10 A, P=1 kW, Q=1,96 kVAr. P=P n =1,76 kW, Q=Ptgφ u, tgφ u =0,75, Q=1,32 kVAr

P tot =P+P=2,76 kW, Q tot =Q+Q=3,28 kVAr, kVA, cosφ=P tot /P app =0,643, φ=49,9° I=P app /V=19,48 A (Indicaz. amperometro)

Applicazione dei fasori V;A AA AA

Es.4 R=10, ωL=19,6. Dati di targa utilizzatore U V n =220 V, P n =1,76 kW, cosφ u =0,8 (rit.) R l L l Calcolare il valore efficace V della tensione a monte v(t) affinché a valle ai capi dellutilizzatore U sia applicata la sua tensione nominale V n R l =0,5 ωL l =1 B B Applicazione conservazione potenze Dallesercizio 3 si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A: I=19,48 A, P A =2,76 kW, Q A = 3,28 kVAr. I dati corrispondenti nella sez. B,B

P B =R l I 2 + P A =2,95 kW Q B =ωL l I 2 + Q A =3,66 kVAr kVAV=P appB /I=241,2 V ΔV=V-V n =21,2 V (8,7 %) Applicazione dei fasori Dallesercizio 3 nella sezione A-A: V A Nella sezione B-B: V V

Eserc. 5 R=10, ωL=19,6. f=50 Hz Dati di targa utilizzatore U V n =220 V, P n =1,76 kW, cosφ u =0,8 (rit.) Calcolare C in maniera tale da rifasare totalmente limpianto (cosφ=1) Dallesercizio 3 si ricavano i seguenti dati relativi alla sezione A,A: I A =19,48 A, P A =2,76 kW, Q A = 3,28 kVAr, cosφ A =0,643. kVAr μFμF P B =P A =VI B I B =12,54 Aω =2πf=100π rad/sec

Esercizio 6 Nella stessa rete dellesempio 3) calcolare C in maniera tale che il cosφ nella sezione B-B sia pari a 0,9. P A =2,76 kW, Q A = 3,28 kVAr, cosφ A =0,643 φ A =49,9° cosφ*=0,9 φ*=25,8° kVArμFμF P B =P A =VI B cosφ*I B =13,94 A

Reti con generatori a frequenza diversa Non è direttamente applicabile il metodo dei fasori. Se la rete è lineare si può applicare la sovrapposizione degli effetti nel dominio del tempo, considerando separatamente agenti i generatori a eguale frequenza. Per ciascun gruppo di generatori isofrequenziali si può applicare il metodo dei fasori. Un esempio numerico (esercizio 7) e 3 =200 V (costante) R=ωL= 1/(ωC)= 20 Calcolare i 1 (t), i 2 (t), i 3 (t). i k (t)=i k (t) + i k (t) + i k (t) (k=1, 2, 3) V V

Calcolo delle i k (t) (componenti a pulsazione ω) V A AA A A A

Calcolo delle i k (t) (componenti a pulsazione 2ω) V AA A A A A

Calcolo delle i k (t) (componenti stazionarie) A Correnti risultanti A A A

Circuiti in regime sinusoidale Reti trifasi

Sistemi simmetrici trifasi di grandezze sinusoidali costituiscono un sistema simmetrico diretto di grandezze sinusoidali.

Sistemi simmetrici trifasi di grandezze sinusoidali costituiscono un sistema simmetrico inverso di grandezze sinusoidali.

Generazione di una f.e.m. sinusoidale ω α ω

Generazione di un sistema simmetrico di f.e.m. sinusoidali ω

Genesi di una rete trifase

Reti trifasi - Carico a stella - Denominazioni z: impedenza di fase e 1, e 2, e 3 tensioni stellate di alimentazione e 1, e 2, e 3 tensioni stellate sul carico o di fase i 1, i 2, i 3 correnti di linea o di fase v 12, v 23, v 31 tensioni di linea o concatenate

Sistema trifase simmetrico ed equilibrato- Carico a stella α=0 v 12, v 23, v 31, costituiscono una terna simmet. diretta Nelle reti di distribuzione E=220 V, V=380 V.

Stelle equilibrate- Circuito monofase equivalente Circuito monofase equivalente

9 lati, 3 nodi Circuito monofase equivalente

Un esempio (Esercizio 8) f=10 Hz, R=7,32, R=20, L=1/π Henry, C=1/(400π) Farad Circuito monofase equivalente; circuito già precedentemente analizzato

Le correnti relative alle fasi 2 e 3 si deducono sfasando tali correnti di 120° e 240° in ritardo.

Sistema trifase simmetrico ed equilibrato- Carico a triangolo i 1, i 2, i 3 e j 12, j 23, j 31, sono 2 terne simmetriche Carico equilibrato

Confronto tra sistemi equilibrati con carico a stella e a triangolo Carico a stella i linea =i fase v linea v fase (e) Carico a triangolo i linea i fase (j) v linea =v fase

Potenza nei sistemi trifasi simmetrici ed equilibrati Per il principio di conservazione delle potenze le potenze attiva e reattiva assorbite dal carico trifase sono pari alla somma di quelle erogate dai 3 generatori: φ è lo sfasamento tra e 1 e i 1

Esercizio 9 R=30 ; ωL=58,8. Dati di targa dellutilizzatore equilibrato trifase U T : V n =380 V (V concatenata); P n =5,28 kW; cosφ U =0,8 (ritardo). Calcolare tutte le correnti, le P e Q complessivamente assorbite dai due carichi ed il cosφ risultante.

Trasformando a stella il triangolo di R,L e sostituendo U T con una stella equivalente: Dati del bipolo U (utilizzatore monofase): V u =220 V, P u =1,76 kW, cosφ u =0,8 (ritardo)

Circuito monofase equivalente Questa rete è già stata analizzata nellesercizio 3 Le correnti di linea relative alle fasi 2 e 3 si deducono sfasando tali correnti di 120° e 240° in ritardo. Le correnti J nei lati del triangolo R-L sono date da AA A AA A Le Pe Q sono pari a quelle già calcolate nellesercizio 3 moltiplicate per 3: P=8,26 kW, Q=9,84 kVAr, cosφ=0,643.

Esercizio 10 I dati sono quelli dellesercizio 9. f=50 Hz. Dimensionare lutilizzatore capacitivo U C in maniera tale che il cosφ a monte sia pari a 0,9.

P e Q a valle di U C sono già stati calcolati nellesercizio 9. P=8,28 kW, Q= 9,84 kVAr, cosφ=0,643 φ=49,9° cosφ*=0,9 φ*=25,8° kVAr Se U C è costituito da una stella di condensatori di capacità C y : Se U C è costituito da un triangolo di condensatori di capacità C Δ : μFμF μFμF

Esercizio 11 e 1, e 2, e 3 costituiscono una terna simmetrica di tensioni sinusoidali di pulsazione ω R=30 ; ωL=58,8 ; R=5 ; ωL=5. U T (carico ohmico-induttivo) assorbe la potenza P=5,28 kW con cosφ=0,8 essendo alimentato dalla tensione: Calcolare v 23 (t) e v 1a (t).

Circuito monofase equivalente V I dati di U e la corrente i 1 sono già calcolati nellesercizio 9 V V V VV

Esercizio 12 e 1, e 2, e 3 costituiscono una terna simmetrica di tensioni sinusoidali di pulsazione ω. Calcolare il loro valore efficace E affinché al carico trifase U T sia applicata la tensione nominale (concatenata) V n R=30 ; ωL=58,8 R=5 ; ωL=5 Dati di targa dellutilizzatore equilibrato trifase U T : V n =380 V (V concatenata); P n =5,28 kW; cosφ U =0,8 (ritardo).

P, Q, P app e I nella sezione A sono date da: P A =P N +3R ˑ J 2 Q A =P N tgφ u +3ωL ˑ J 2 A P A =8,26 kW, Q A =9,84 kVAr, P appA = 12,85 kVA, I A =19,49 A. P B =P A +3R ˑ I A 2 Q B =Q A +3ωL ˑ I A 2 P B =13,95 kW Q B =15,53 kVAr P appB =20,88 kVA V

Rete trifase a tre fili: stella squilibrata Tensione di spostamento del centro stella Le terne delle tensioni stellate e k e delle correnti i k non sono simmetriche.

Sistema trifase a quattro fili: stella squilibrata 1, 2, 3 conduttori di fase N conduttore di neutro

Sistema trifase: triangolo squilibrato

Esercizio 13 I dati delle tensioni di alimentazione e quelli dei carichi a sinistra della sezione A sono quelli della rete dellesercizio 9. Calcolare le 3 correnti erogate dai generatori di tensione. R=5 ; ωL=5

Le correnti di linea nella sezione A costituiscono una terna simmetrica diretta e sono già state calcolate nellesercizio 9: AAA Le correnti erogate dai generatori sono fornite da: A AAA

Esercizio 14 I dati delle tensioni di alimentazione e quelli dei carichi a sinistra della sezione A sono quelli della rete dellesercizio 9. Calcolare le 3 correnti erogate dai generatori di tensione. R=5 ; ωL=5

Le correnti di linea nella sezione A costituiscono una terna simmetrica diretta e sono già state calcolate nellesercizio 9: AAA Le correnti erogate dai generatori sono fornite da: V AAA

AA A A A A

Esercizio 15 I dati delle tensioni di alimentazione e quelli dei carichi a sinistra della sezione A sono quelli della rete dellesercizio 9. Calcolare le 3 correnti erogate dai generatori di tensione. R=5 ; ωL=5

Le correnti di linea nella sezione A costituiscono una terna simmetrica diretta e sono già state calcolate nellesercizio 9: Le correnti erogate dai generatori sono fornite da: V A A A

AAA A A A

Un esempio di rete di distribuzione in BT

Misura della potenza in una rete trifase simmetrica ed equilibrata

Inserzione Aron

Misura della potenza in una rete trifase a 3 fili non equilibrata

Reti in regime lentamente variabile Funzionamento transitorio

Bipolo R-L in regime transitorio LKT

Bipolo R-L in regime transitorio (v (t) sinusoidale) Lintegrale generale dellequazione differenziale: èdove i p (t) è un integrale particolare e λ è la radice dellequaz. caratteristica dellequaz. omogenea associata R+λL=0 (T=L/R costante di tempo) Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0 +.

Bipolo R-L in regime transitorio (v (t) sinusoidale) La corrente i nellinduttanza è una variabile di stato, per cui i(0 + )=i(0 - ). Se I 0 =[i(t)] t=0- imponendo i(0 + )=i(0-)=I 0 si ha: Se il circuito è inizialmente a riposo I 0 =0

Bipolo R-L in regime transitorio (v (t) sinusoidale) α <0

Risposta del bipolo R-L ad un gradino di tensione Lintegrale generale dellequazione è: Imponendo i(0 + )=i(0 - )=0: T=L/R

Bipolo R-C in regime transitorio (v (t) sinusoidale) Lintegrale generale dellequazione differenziale è: dove v cp (t) è un integrale particolare e λ è la radice dellequaz. caratteristica dellequaz. omogenea associata RCλ+1=0 (T=RC costante di tempo)

Bipolo R-C in regime transitorio (v (t) sinusoidale) La tensione v C è una variabile di stato, per cui v C (0 + )=v C (0 - ). Se V 0 =[v C (t)] t=0- imponendo v C (0 + )=v C (0 - )=V 0 si ha: Se la capacità è inizialmente scarica V 0 =0. La i è data da: Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0 +.

Bipolo R-C in regime transitorio (v (t) sinusoidale) α>0

Risposta del bipolo R-C ad un gradino di tensione Lintegrale generale dellequazione è: Imponendo v c (0 + )=v c (0 - )=0 si ha k=-V. T=RC

Bipolo R-L-C in regime transitorio Lintegrale generale è dove v ct è lintegrale generale delleq. omogenea associata (componente transitoria) e v cp è un integrale particolare delleq. differenziale completa. Integrale particolare delleq. completa Se v=V (costante) per t>0, v cp (t)=V. La corrente corrispondente è i p =0. Se v(t) è sinusoidale i fasori di v, i e v C sono dati da:

dove Lintegrale particolare v cp (t) in tale caso è dato da: e la corrispondente corrente:

Equazione caratteristica dellequazione omogenea associata dove è la pulsazione di risonanza del bipolo R-L-C dove Le radici di tale eq. sono: essendo dove Q è il fattore di merito del bipolo R-L-C. Se Q<1/2 le radici λ 1 e λ 2 sono reali e distinte e date da:

Se Q=1/2 le radici sono reali e coincidenti e date da: Se Q>1/2 le radici sono complesse e coniugate, date da: dove Se le radici λ delleq. caratteristica sono distinte (reali oppure complesse coniugate, Q 1/2) due soluzioni linearmente indipendenti delleq. omogenea associata sono : e il suo integrale generale è due soluzioni linearmente indipendenti delleq. omogenea associata sono :

Integrale generale dellequazione omogenea associata Se Q<1/2 lintegrale generale dellequazione omogenea associata e la corrispondente corrente: Q<1/2

Se Q>1/2: e la corrispondente corrente: Q>1/2

Se Q=1/2: e la corrispondente corrente: Q=1/2

Soluzioni delleq. differenziale completa e condizioni iniziali Per risolvere leq. differenziale completa occorre calcolare le costanti dintegrazione k 1 e k 2 imponendo le condizioni iniziali per t=0 + alla v C ed alla sua derivata. La tensione sulla capacità v C e la corrente nellinduttanza i=C dv C /dt sono variabili di stato, per cui v C (0 + )=v C (0 - ) e i(0 + )=i (0 - ). Se V 0 =[v C (t)] t=0- e I 0 =[i(t)] t=0- il calcolo di k 1 e k 2 si effettua imponendo nellintegrale generale dellequazione completa v C (0 + )=V 0 e i(0 + )=I 0. Se Q<1/2

Risposta al gradino di ampiezza V (V 0 =0, I 0 =0, v Cp (0)=V, i p (0)=0) Se Q=1/2 Q<1/2

Risposta al gradino di ampiezza V [V 0 =0, I 0 =0, v Cp (0)=V, i p (0)=0] Se Q>1/2

Risposta al gradino di ampiezza V [V 0 =0, I 0 =0, v Cp (0)=V, i p (0)=0] Q>1/2 Inserzione di v(t) sinusoidale in un circuito inizialmente a riposo (V 0 =0, I 0 =0) dove