DEFINIZIONE DI LIMITE Sia y=f(x) una funzione DEFINITA in un INTORNO di c, ad eccezione, eventualmente, di c. Si dice che il limite di f(x) per x tendente a c è lϵR e si scrive: se, PER OGNI INTORNO J di l, ESISTE un INTORNO I di c, tale che PER OGNI x APPARTENENTE a I, con x diverso da c, f(x) APPARTENGA a J. ∀J 𝑙 ∃𝐼 𝑐 ∀𝑥∈𝐼− 𝑐 𝑓 𝑥 ∈𝐽
∀𝜀>0 ∃𝛿>0 ∀𝑥∈𝑅− 𝑐 𝑥−𝑐 <𝛿 𝑓(𝑥)−𝑐 <𝜀 lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 =𝑙 ∀J 𝑙 ∃𝐼 𝑐 ∀𝑥∈𝐼− 𝑐 𝑓 𝑥 ∈𝐽 INTORNO SFERICO del punto c e di raggio r Si chiama intorno sferico o circolare di un numero reale c, di raggio r, con r>0, l’intervallo aperto 𝑐−𝑟, 𝑐+𝑟 x c c-r c+r lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 =𝑙 ∀𝜀>0 ∃𝛿>0 ∀𝑥∈𝑅− 𝑐 𝑥−𝑐 <𝛿 𝑓(𝑥)−𝑐 <𝜀
lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 =𝑙 ∀J 𝑙 ∃𝐼 𝑐 ∀𝑥∈𝐼− 𝑐 𝑓 𝑥 ∈𝐽 INTORNO di +∞ Sia M un numero reale positivo allora un intorno di +∞ è l’intervallo aperto del tipo 𝑀, +∞ x M lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 =+∞ ∀𝑀>0 ∃𝛿>0 ∀𝑥∈𝑅− 𝑐 𝑥−𝑐 <𝛿 𝑓 𝑥 >M x=c è un ASINTOTO VERTICALE lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 =+∞ lim 𝑥→+∞ 𝑓 𝑥 =𝑙 ∀𝜀>0 ∃𝑀>0 ∀𝑥>𝑀 𝑓 𝑥 −𝑙 <ε y=l è un ASINTOTO ORIZZONTALE lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 =+∞
lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 =𝑙 ∀J 𝑙 ∃𝐼 𝑐 ∀𝑥∈𝐼− 𝑐 𝑓 𝑥 ∈𝐽 INTORNO di -∞ Sia M un numero reale positivo allora un intorno di +∞ è l’intervallo aperto del tipo −∞, −𝑀 x -M lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 =−∞ ∀𝑀>0 ∃𝛿>0 ∀𝑥∈𝑅− 𝑐 𝑥−𝑐 <𝛿 𝑓 𝑥 >M x=c è un asintoto verticale lim 𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 =𝑙 ∀𝜀>0 ∃𝑀>0 ∀𝑥<−𝑀 𝑓 𝑥 −𝑙 <ε y=l è un asintoto orizzontale
lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 =𝑙 ∀J 𝑙 ∃𝐼 𝑐 ∀𝑥∈𝐼− 𝑐 𝑓 𝑥 ∈𝐽 INTORNO SINISTRO (sx) Definiamo Intorno sinistro di un punto c , un intervallo del tipo 𝑐−𝑟, 𝑐 con r numero reale positivo x c c-r LIMITE SINISTRO lim 𝑥→ 𝑐 − 𝑓 𝑥 =𝑙 ∀𝜀>0 ∃𝛿>0 ∀𝑥∈𝑅 𝑐−𝛿<𝑥<𝑐 𝑓(𝑥)−𝑐 <𝜀 INTORNO DESTRO (dx) Definiamo Intorno destro di un punto c , un intervallo del tipo 𝑐, 𝑐+𝑟 con r numero reale positivo x c+r c LIMITE SINISTRO lim 𝑥→ 𝑐 + 𝑓 𝑥 =𝑙 ∀𝜀>0 ∃𝛿>0 ∀𝑥∈𝑅 𝑐<𝑥<𝑐+𝛿 𝑓(𝑥)−𝑐 <𝜀
Esempi tabella grafico tabella grafico tabella grafico sx di 1 grafico dx di 1
Formalizzate le definizioni dei seguenti limiti Esercizi Formalizzate le definizioni dei seguenti limiti