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1 Per poliedro si intende un solido la cui superficie è costituita da un certo numero di facce poligonali Formula di Eulero (1707 – 1783) V + F – S = 2.

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1 1 Per poliedro si intende un solido la cui superficie è costituita da un certo numero di facce poligonali Formula di Eulero (1707 – 1783) V + F – S = 2 (V: num. dei vertici, F: n. delle facce, S: n. degli spigoli) Un poliedro si dice regolare se tutti i poligoni sono regolari e tutti gli angoloidi sono uguali La formula di Eulero è valida per poliedri semplici, cioè poliedri la cui superficie può essere trasformata per deformazione continua nella superficie di una sfera

2 2 Servendosi della formula di Eulero, si trova che non esistono più di cinque poliedri regolari Infatti Supponiamo che un poliedro regolare abbia F facce, ciascuna delle quali sia un poligono regolare di n (n 3) lati e che a ciascun vertice si incontrino r (r 3) spigoli n F =2 S (ogni spigolo appartiene a due facce) e inoltre r V = 2S (ogni spigolo contiene due vertici) da cui 2S 2S _ S 2... (*) 1/n + 1/r = 1/2 + 1/S ma n ed r non possono essere entrambi maggiori di 3 altrimenti la formula (*) non è valida per ogni valore positivo di S allora se r = 3, i valori che può assumere n sono 3, 4 o 5 e S : 6, 12 o 30 (tetraedro, cubo, dodecaedro) e se n = 3, i valori che può assumere r sono 3, 4 o 5 e S : 6, 12 o 30 (tetraedro, ottaedro, icosaedro) n r = +

3 3 I cinque poliedri convessi regolari ( solidi Platonici ) tetraedro esaedro o cubo ottaedrododecaedroicosaedro Sulla porta dingresso della scuola di Platone era scritto Non entri nessuno che sia ignorante di geometria

4 4 V V Langoloide in V diminuisce Langoloide in V aumenta Langoloide in V si schiaccia sul piano La somma degli angoli che delimitano un angoloide deve essere minore di 360° α β γ

5 5 Tre triangoli equilateri concorrono in un vertice 3 60° = 180° Tre quadrati concorrono in un vertice 3 90° = 270° Quattro triangoli equilateri concorrono in un vertice 4 60° = 240°

6 6 Quattro triangoli equilateri concorrono in un vertice 4 60° = 240° Tre pentagoni regolari concorrono in un vertice 3 108° = 240°

7 7 Poligoni: somma degli angoli esterni di un poligono Facciamo una semplice osservazione: se cammino attorno ad un edificio di forma poligonale, mi ritrovo alla fine al punto di partenza.....

8 8 Un modo dinamico per vedere la somma degli angoli interni di un triangolo

9 9

10 10 Tassellatura di Penrose


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