POLIEDRI Francesca Benanti Dipartimento di Matematica ed Informatica

Presentazione sul tema: "POLIEDRI Francesca Benanti Dipartimento di Matematica ed Informatica"— Transcript della presentazione:

1 POLIEDRI Francesca Benanti Dipartimento di Matematica ed Informatica
Dipartimento di Matematica ed Informatica Università degli Studi di Palermo, Via Archirafi 34, Palermo Tel: Web:

2 Si comincia da una pizza...
Poliedri: formula di Eulero Si comincia da una pizza... Cominciamo con un gioco: al centro c'è una figura geometrica, che due giocatori, affamati e muniti di coltello e forchetta, dovranno mangiare a triangolini come si fa con una pizza. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

3 Poliedri: formula di Eulero
Uno degli obiettivi della geometria del piano è lo studio delle proprietà delle figure piane racchiuse da segmenti, quali i triangoli, i quadrilateri ed i poligoni in genere. Analogamente, nella geometria dello spazio, si studiano in primo luogo le figure solide racchiuse da facce poligonali. Tali oggetti geometrici, che rappresentano l’equivalente tridimensionale dei poligoni, sono i poliedri. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

4 Poliedri: formula di Eulero
Un poliedro convesso, o semplicemente poliedro, è una figura solida con le seguenti caratteristiche: La sua superficie è costituita dall’unione di poligoni disposti su piani diversi e tali che ogni loro lato sia comune soltanto a due di essi; Comunque presi due suoi punti il segmento che ha per estremi tali punti è contenuto interamente nel poliedro stesso. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

5 Poliedri: formula di Eulero
In un poliedro si distinguono i seguenti elementi essenziali: le facce, ovvero i poligoni che formano la superficie poliedrica, gli spigoli, ovvero i lati dei poligoni che costituiscono le facce, i vertici, ovvero i vertici dei poligoni che costituiscono le facce. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

6 Poliedri: formula di Eulero
E’ interessante notare che la relazione che lega, nel piano, il numero dei vertici v e il numero dei lati l di un poligono è molto semplice: v=l ossia il numero dei vertici è uguale al numero dei lati.   LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

7 Poliedri: formula di Eulero
Il triangolo ha 3 vertici e 3 lati LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

8 Poliedri: formula di Eulero
Il quadrato ha 4 vertici e 4 lati LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

9 Poliedri: formula di Eulero
Il pentagono ha 5 vertici e 5 lati E così via…. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

10 Poliedri: formula di Eulero
La relazione che lega facce, spigoli e vertici di un poliedro non è facilmente intuibile. Proviamo a determinarla…. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

11 Poliedri: formula di Eulero
La relazione che lega facce, spigoli e vertici di un poliedro non è facilmente intuibile. Nel Cubo: f=6, v=8, s=12, dunque f+v-s=6+8-12=2. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

12 Poliedri: formula di Eulero
Nel Parallelepipedo rettangolo: f=6, v=8, s=12, dunque f+v-s=6+8-12=2. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

13 Poliedri: formula di Eulero
Nel Prisma retto a base esagonale: f=8, v=12, s=18, dunque f+v-s= =2. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

14 Poliedri: formula di Eulero
Dunque f+v-s=2. Tale relazione, nota come relazione di Eulero, è in effetti valida in generale per tutti i poliedri. Fu indipendentemente dimostrata da Cartesio ( ) e dal matematico svizzero Eulero ( ) da cui prese il nome. LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

15 Poliedri: formula di Eulero
Relazione di Eulero: In ogni poliedro, indicati con f il numero delle facce, con s il numero degli spigoli e con v il numero dei vertici, si ha f+v-s=2 Fatti Vedere Sabato alle 2 Dimostrazione LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

16 è valida per qualsiasi solido?
Poliedri: formula di Eulero La Relazione di Eulero è valida per qualsiasi solido? Esercizio LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO D’ALESSANDRO, BAGHERIA, a.a

17 TOPOLOGIA Poliedri: formula di Eulero
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18 Poliedri: I Poliedri Regolari
Un poliedro regolare è un poliedro le cui facce sono tutte poligoni regolari uguali fra loro e i cui angoloidi sono pure regolari ed uguali (ricordiamo che un angoloide è detto regolare quando ha le facce uguali tra loro e i diedri uguali tra loro). LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a

19 Poliedri: I Poliedri Regolari
Nel piano esistono infiniti poligoni regolari per ogni n3 esiste sempre un poligono regolare di n lati: per n=3 è il triangolo equilatero, per n=4 è il quadrato, per n=5 è il pentagono regolare e così via LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a

20 Poliedri: I Poliedri Regolari
I Solidi Platonici sono solo 5: TETRAEDRO, ESAEDRO, OTTAEDRO, DODECAEDRO, ICOSAEDRO LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a

21 Poliedri: I Poliedri Regolari
Attività 1 Risposta 1 PERCHE’ SOLO 5? Risposta 2 LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a

22 Poliedri: I Poliedri Regolari
testo 1 Un po’ di storia Video 5 LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a

23 Poliedri: I Poliedri Regolari
Sviluppi Piani: Tetraedro, Esaedro, ottaedro, dodecaedro, icosaedro LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a

24 Poliedri: I Poliedri Regolari
DUALITA’ spigoli vertici facce NOME DEL POLIEDRO 6 4 Tetraedro 12 8 Ottaedro 30 20 Icosaedro Cubo Dodecaedro LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a

25 Poliedri: I Poliedri Regolari
Video 1 LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO SCIENTIFICO PALMERI, a.a