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Linguaggi naturali e linguaggi formali Sistemi formali.

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Presentazione sul tema: "Linguaggi naturali e linguaggi formali Sistemi formali."— Transcript della presentazione:

1

2 Linguaggi naturali e linguaggi formali Sistemi formali

3 I linguaggi naturali

4 Allorigine dei linguaggi naturali vi è la necessità di comunicare concetti in modo comprensibile. Il primo passo è attribuire un significato ad una forma, sia essa un disegno, un suono o una parola.

5 Per esempio per individuare il significato di cane

6 posso disegnare un cane

7 ascoltare labbaiare di un cane

8 O il suo ansimare

9 o scrivere la parola cane

10 Nel linguaggio naturale si distinguono quindi forma e significato

11 successione di caratteri che formano le parole e successioni di parole che, unitamente a regole ( la sintassi ), diventano frasi forma

12 significato interpretazione che si attribuisce alla forma (la semantica)

13 Per scrivere una parola usiamo i caratteri (lalfabeto della lingua italiana) ma li uniamo in modo univoco per non incorrere in ambiguità

14 C a n e ma anche C e n a con significato diverso o anche

15 N e c a oppure N a c e che non hanno significato

16 Senza spazi tra le parole lambiguità sarebbe ancora maggiore : Leggiamo questa successione di caratteri : FUNICOLAREDINAPOLI che può essere interpretata come :

17 FUNICOLARE DI NAPOLI ma anche

18 FU NICOLA RE DI NAPOLI

19 Un uso misto di immagini e caratteri non è sicuramente adatto per una comprensione immediata di una frase

20 E il caso dei rebus dove immagini e caratteri messi nel modo corretto portano ad una frase di senso compiuto

21 Rebus Dif lto m

22 Che appunto spesso risulta una difficoltosa impresa

23 Così come concateniamo le parole tra loro per comporre una frase utilizzando regole di sintassi

24 Il libro sulla televisione E una frase con una sintassi corretta ma un significato ambiguo E un libro che parla di televisione o è un libro che è stato poggiato sulla televisione?

25 Il linguaggio naturale è spesso ambiguo

26 Per superare lambiguità occorre il contesto della frase : Guarda che hai lasciato il libro sulla televisione Il libro sulla televisione che ho letto non mi è piaciuto. Ora tutto è chiaro!

27 Ridondanza Il linguaggio naturale è spesso ridondante: lunghe perifrasi per un semplice concetto: …. Mi sia consentito di esprimere in questa sede e davanti a tale consesso di professori il mio sia pur inesperto pensiero.. Traduzione io penso

28 Superamento Uso di una sintassi rigorosa Schematizzazione

29 Autoreferenza nel linguaggio naturale Linguaggio che parladi se stesso Frasi Immagini Situazioni Funzioni e procedure (in informatica si chiama ricorsività)

30 Frasi autoreferenti Problema n.1 La proposizione Questa frase è falsa è vera o falsa?

31 Soluzione problema n.1 Se la proposizione Questa frase è falsa è vera. allora afferma il vero ossia che la frase è falsa contraddizione Se la proposizione Questa frase è falsa è falsa, non è vero che la frase è falsa e quindi la frase è vera contraddizione

32 Problema n.2 Su di un foglio vi sono le seguenti proposizioni: Alice non esiste Entrambe queste proposizioni sono false Lo sapevi che Alice non esiste? Perché ?

33 Soluzione problema n.2 Se la 2) è vera allora la 2) è falsa contraddizione Se la 2) è falsa allora è falso che la 1) e la 2) siano entrambe false quindi almeno una delle due è vera e non potendo essere vera la 2), essendo falsa per ipotesi, allora è vera la 1) e quindi Alice non esiste 1) Alice non esiste 2) Entrambe queste proposizioni sono false

34 Immagini autoreferenti Mani che disegnano di M.C.Escher

35 Schematizziamo

36 Come superare lautoreferenza? La mano di Escher disegna

37 Mano con sfera riflettente di M.C.Escher 1935

38 Autoreferenza

39 Superamento dell'autoreferenza

40 Situazioni autoreferenti: i tre scrittori X, Y e Z sono 3 scrittori X scrive di Y Y scrive di Z Z scrive di X

41

42 Superamento

43 Funzioni ricorsive n! n! = 1x2x3x4x….x(n-1)xn n! = (n-1)!xn il fattoriale di un numero n è una funzione ricorsiva

44 I numeri di Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, fibo(1)=1 fibo(2)=1 fibo(n) = fibo(n-1) + fibo(n-2 ) Per n >2 Funzione ricorsiva

45 I numeri di Padovan P(1)=1 P(2)=1 P(3)=3 P(n) = P(n-3)+ P(n-2) Per ogni n >3 Funzione ricorsiva

46 I frattali La curva di Koch, classico esempio di oggetto frattale, dalla proprietà di essere autoreferente, proprietà che in geometria si chiama autosomiglianza,e che si disegna utilizzando procedure ricorsive.

47 La curva di Koch è costruita partendo da un triangolo equilatero. Si divide il lato in tre parti uguali e su ogni lato, nella parte centrale, si disegna un nuovo triangolo equilatero di lato l/3. Si ripete il procedimento su ogni segmento Ad ogni passo il contorno diventa più frastagliato

48 Altri esempi di oggetti autoreferenti Triangolo di Sierpinski Fiocco di neve

49 Un lato della curva di Koch

50 Esercizi Riconoscere funzioni ricorsive

51 I numeri naturali n n = (n-1) +1 per n>1 (Banale!!!)

52 I numeri pari 2n 2n = 2(n-1) +2 Ogni numero pari è dato dal numero pari precedente +2

53 I numeri dispari n 2n+1 n-1 2(n-1) +1

54 I numeri dispari ricorsività n 2n+1 n-1 2(n-1) +1 2n+1 = 2n =(2n-2)+1+2= =(2(n-1)+1)+2 Ogni numero dispari è dato dal numero dispari precedente +2

55 La potenza a n Ogni potenza è dato dalla potenza precedente moltiplicata per a a n = a n-1 a

56 I numeri triangolari …. Ottenuti sommando T(1)=1 T(2)=1+2=3 T(3)=1+2+3=6 T(4)= =10 T(5)= =15 T(n) = T(n-1) + n

57 I numeri quadrati Si ottengono sommando i numeri dispari … Q(1)=1 Q(2)=1+3=4 Q(3)=1+3+5=9 Q(4)= =16 Q(n+1) = Q(n) +2n+1

58 Numeri triangolari e quadrati

59 I numeri tetraedrici (piramidali a base triangolare) Ottenuti sommando i numeri triangolari P(1)=1 P(2)=1+3=4 P(3)=1+3+6=10 P(4)= =20 P(5)= =35 P(n) = P(n-1) +T(n)

60 I numeri tetraedrici (piramidali a base triangolare) Ma anche P(n) = n(n+1)(n+2)/6 P(n+1) = (n+1) ( n+1+1)(n+1+2)/6=(n+1)(n+2)(n+3)/6= = n(n+1)(n+2)(n+3)/n6= P(n)(n+3)/n P(n+1)=P(n)(n+3)/n Esempio 35= 20(4+3)4=20x7/4=35

61 I numeri piramidali a base quadrata Si ottengono sommando i numeri quadrati P(1)=1 P(2)=1+4=5 P(3)=1+4+9=14 P(4)= =30 P(n)=P(n-1) + Q(n)

62 Numeri piramidali

63 I linguaggi formali

64 Eliminando Ambiguità Ridondanza Autoreferenza proviamo a…..

65 costruire un linguaggio formale stabilendo lalfabeto, la sintassi ossia le regole e la stringa iniziale ( lassioma )

66 Alfabeto: A={ I, +, = } La stringa di partenza I + I = II (assioma) Le regole 1) da x + y = z posso dedurre xI + y = zI 2) da x + y = z posso dedurre y + x = z ( dove x e y sono stringhe di I)

67 Ogni stringa ottenuta dallapplicazione di una regola è una stringa ammessa (formula ben formata fbf) Ogni fbf dedotta mediante regole da altre fbf è un teorema Linsieme delle stringhe ammesse forma il linguaggio

68 Esercizio dimostrate passo passo che IIII + III = IIIIIII

69 x I +Y= Z I Se x + y = z 1° regola

70 I + I = II assioma II + I = III regola 1) III + I = IIII regola 1) IIII + I = IIIII regola 1) I + IIII = IIIII regola 2) II + IIII = IIIIII regola 1) III + IIII = IIIIIII regola 1) IIII + III = IIIIIII regola 2) Soluzione

71 Come si può vedere questo linguaggio formale fa parte di un Sistema Formale

72 Sistemi formali Sistemi formali

73 Un sistema formale è una quadrupla (A,L,S,P) dove : A alfabeto ( insieme numerabile di simboli) L linguaggio ( insieme di formule ben formate fbf) S insiemi di assiomi (sottoinsieme di L) P regole di produzione (regole di inferenza che permettono di dedurre formule ben formate da formule ben formate(teoremi))

74 Lesercizio precedente non è altro che linsieme dei numeri naturali N con loperazione interna + (N, +)

75 Alfabeto: A= { I, +, = } La stringa di partenza I + I = II (assioma) Le regole 1) da x + y = z posso dedurre xI + y = zI 2) da x + y = z posso dedurre y + x = z ( dove x e y sono stringhe di I)

76 Interpretazione dei simboli I 1 II 2 III 3 IIII 4 IIIII 5 + è laddizione = è luguaglianza

77 Lassioma è la somma di =2 La regola 1) : se la somma di due numeri naturali x e y è un numero naturale ( laddizione è loperazione interna e N è chiuso per laddizione + ) allora la somma del successivo di x e di y è il successivo di z La regola 2) è la proprietà commutativa

78 Lesercizio proposto IIII + III = IIIIIII era quindi dimostrare che = 7

79 Il sistema pg A ={-,p,g} L : insieme dei teoremi e assiomi S :infiniti assiomi del tipo x p – g x - P : se è un teorema allora è un teorema x p y g z x p y – g z -

80 Regola Se x p y g z allora x p y - g z -

81 Esercizio 1.Scrivere il primo assioma 2.Scrivere i primi 5 assiomi 3.Applicare la regola al 3° assioma p---g--- è o no un teorema ? p-----g è o no un teorema ?

82 Esercizion n.1 1.Scrivere il primo assioma x p – g x - - p - g - -

83 Esercizio n. 2 Scrivere i primi 5 assiomi x p – g x - 1.-p-g p-g p-g p-g p-g------

84 Esercizio n.3 Applicare la regola xpygz xpy-gz- al 3° assioma ---p-g---- poichè x pyg z x py-g z- ---p-g---- allora ---p--g----- applicando la regola

85 Esercizio n.4 ---p---g--- è o no un teorema ? Da –p-g-- assioma --p-g--- assioma ---p-g---- assioma applicando la regola x p y g z x p y - g z - si ottiene --- p – g p -- g----- Riapplicandola --- p-- g p --- g quindi ---p --- g per cui ---p --- g--- non è un teorema La risposta è no

86 Esercizio n p-----g è o no un teorema ? -p- g-- --p- g p- g p- g p-- g applicando la regola x p y g z x p y- g z- ----p--- g applicando la regola ----p---- g applicando la regola ----p----- g applicando la regola Quindi ----p-----g è un teorema

87 Avete decodificato il sistema pg? - 1 p g = quindi il sistema è (N+) ma è lunica interpretazione?

88 2° interpretazione - p - g - - 1° assioma 1 = 1 sottratto da 2 --p - g --- 2° assioma 2 = 1 sottratto da 3 mentre la regola si tradurrà come: --p-- g ---- allora –-p--- g Se 2=2 sottratto da 4 allora 2 = 3 sottratto da 5

89 quindi -1 P = -- 2 g sottratto da anche questa interpretazione è corretta

90 Un sistema formale può avere più interpretazioni

91 Ancora un esempio Alfabeto A { I,, = } Lassioma I I = I Le regole 1) da x y =z posso dedurre ???????????????? 2) da x y =z posso dedurre ???????????????? (x,y,z stringhe di I)

92 Completare le regole in modo che III II = IIIIII

93 Soluzione Regola 1) da xy=z posso dedurre xI y = zy Regola 2) da xy=z posso dedurre yx=z

94 Costruiamo le stringhe II = I assioma III =II regola 1) da xy=z si deduce xI y = zy IIII = III regola 1) IIII =III regola 2) IIIII = IIIIII regola 1) IIIII = IIIIII regola 2) ecco quindi IIIII = IIIIII

95 Interpretazione I 1 moltiplicazione II 2 = uguaglianza III 3 IIII 4 IIIII 5

96 quindi 1x1 = 1 2x1 = 2 3x1=3 Se axb=c (a+1)xb = axb + b = c + b Se axb=c bxa=c

97 Alcuni alfabeti Calcolo algebrico {a,b,c,..,+,-,x,/..} Numerazione romana {I,II,III,V,X,L,C,D,M} Calcolo degli enunciati {p,q,..,v,, …}

98 Il gioco del MU Alfabeto A={M,I,U} Assioma MI 1° regola se una stringa finisce per I a essa si può aggiungere U …..I …..IU 2° regola se Mx allora Mxx 3° regola ….III…. …U… 4° regola ….UU… ….. x è una stringa di I e U

99 Domanda Si può costruire la stringa MU ? Proviamo a giocare

100 MI MIU MIUIU MIUIUIU MIUIUIUIU MII MIIU MIIUIIU MIIII MIU MUI MIIIIIIII MIIIIU La successione di IU dopo M si ripete allinfinito Anche qui dopo M si ripete la successione di IIU In ogni caso il numero di I non è mai 3 o multiplo di 3 e quindi non può essere eliminato per diventare MU

101 MUI MUIU MUIUUIU MUIIU MUIIUUIIU MUIIIIU MUUIU MIU MUIUI Si ritorna a MIU Analizzando il ramo MUI

102 MUIUI MUIUIU MUIUIUUIUIU MUIUIIUIU MUIUIIUIUUIUIIUIU MUIUIIUIIUIIUIU MUIUIUIUI In ogni caso il numero di I non è mai 3 o multiplo di 3 e quindi non può essere eliminato per diventare MU Analizzando il ramo MUIUI

103 concludendo Con un ragionamento al di fuori delle regole del gioco siamo in grado di dire che non si può costruire MU

104 Quello che abbiamo utilizzato è un modo intelligente di ragionare

105 Una macchina che volesse risolvere il problema potrebbe fare solo, mediante un opportuno programma : Acquisire una stringa Verificare che sia fbf (ossia formata da Mx con x stringa di I e U) Applicare le 4 regole per arrivare a ottenere MU In realtà la macchina entrerebbe in un loop infinito non riuscendo a costruire MU oppure

106 Potrebbe produrre tutte le stringhe che si ottengono applicando le 4 regole. Sarebbe quindi un costruttore di stringhe Comunque una macchina può solo applicare le regole e non ragionare per dedurre se il ragionamento porterà alla conclusione desiderata.

107 Questo è un ragionamento meccanico Un teorema è deducibile se esiste una dimostrazione basata sullapplicazione delle regole Un teorema è decidibile se esiste una procedura che consente di decidere se esso è deducibile

108 Il primo è un processo meccanico allinterno del sistema Il secondo è un processo intelligente allesterno del sistema e questo è lasciato agli studiosi!


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