La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

La presentazione è in caricamento. Aspetta per favore

Modellizzare le decisioni razionali con la teoria dei giochi. Gian Italo Bischi DESP - Dipartimento di Economia, Società e Politica Università di Urbino.

Presentazioni simili


Presentazione sul tema: "Modellizzare le decisioni razionali con la teoria dei giochi. Gian Italo Bischi DESP - Dipartimento di Economia, Società e Politica Università di Urbino."— Transcript della presentazione:

1 Modellizzare le decisioni razionali con la teoria dei giochi. Gian Italo Bischi DESP - Dipartimento di Economia, Società e Politica Università di Urbino Carlo Bo Caldè 27 Luglio 2013

2 Galileo Galilei La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico lUniverso), ma non si può intendere se prima non si impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. Galileo, da Il Saggiatore

3 The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences (Eugene P. Wigner, Nobel per la Fisica nel 1963) Capacità di descrivere e prevedere i fenomeni naturali: una mela, un pianeta, una particella elementare, un fluido, un gas … Una sfida: Può la matematica aiutare anche a descrivere, prescrivere, prevedere i comportamenti umani? (Hari Seldon, Parker Pyne …). Ma il problema del bar di Santa Fe...

4 Vito Volterra ( ) Il matematico si trova in possesso di uno strumento mirabile e prezioso, creato dagli sforzi accumulati per lungo andare di secoli dagli ingegni più acuti e dalle menti più sublimi che siano mai vissute. Egli ha, per così dire, la chiave che può aprire il varco a molti oscuri misteri delluniverso, ed un mezzo per riassumere in pochi simboli una sintesi che abbraccia e collega vasti e disparati risultati di scienze diverse […] Ma è intorno a quelle scienze nelle quali le matematiche solo da poco tempo hanno tentato dintrodursi, le scienze biologiche e sociali, che è più intensa la curiosità, giacché è forte il desiderio di assicurarsi se i metodi classici, i quali hanno dato così grandi risultati nelle scienze meccanico-fisiche, sono suscettibili di essere trasportati con pari successo nei nuovi ed inesplorati campi che si dischiudono loro dinanzi. dal discorso inaugurale per lanno accademico dellUniversità di Roma Vito Volterra ( )

5 Problema del monopolista: Più produco e più guadagno? q = quantità prodotta p = prezzo unitario di vendita c = costo unitario di produzione Profitto = Ricavo – Costo = p q – c q = (p – c) q Teorema. Se p > c allora il profitto cresce ogniqualvolta cresce la produzione Ma ci sono sempre dei consumatori disposti a comprare ciò che si produce al prezzo imposto dal monopolista ?

6 q (quantità venduta) e p (prezzo di vendita) non sono indipendenti Il prezzo decresce al crescere della quantità ovvero la quantità acquistata è funzione decrescente del prezzo Esempio: Funzione di domanda lineare p q p = A – B q A=p max per merce rara p0 pur di vendere Tutta la produzione

7 = f (q) = – B q 2 + (A – c) q Profitto quantità prodotta è una parabola! profitto del monopolista = p q – c q = (A – B q) q – cq

8 Problema del duopolio A. Cournot, Récherches sur les principes matématiques de la théorie de la richesse, Due produttori, 1 e 2, vendono lo stesso prodotto Il produttore 1 produce e immette nel mercato q 1 con costi c 1 q 1 Il produttore 2 produce e immette nel mercato q 2 con costi c 2 q 2 prezzo: p = A – B Q TOT = A – B ( q 1 + q 2 ) Profitto produttore 1: 1 = pq 1 – c 1 q 1 = [ A – B ( q 1 + q 2 )]q 1 – c 1 q 1 Profitto produttore 2: 2 = pq 2 – c 2 q 2 = [ A – B ( q 1 + q 2 )]q 2 – c 2 q 2

9 1 = [ A – B ( q 1 + q 2 )]q 1 – c 1 q 1 = – Bq (A – c 1 –Bq 2 )q 1 Max per 2 = [ A – B ( q 1 + q 2 )]q 2 – c 2 q 2 = – Bq (A – c 2 Bq 1 )q 2 Max per q2q2 q1q1 q 2 = r 2 (q 1 ) q 1 = r 1 (q 2 ) Equilibrio: Equilibrio di Cournot-Nash

10 John Maynard Keynes (1883–1946) Non basta semplicemente adattare i metodi e i ragionamenti della fisica alla modellizzazione delleconomia perché leconomia è una scienza morale. Essa ha a che vedere con motivazioni, aspettative, incertezze psicologiche. È come se la caduta della mela al suolo dipendesse dalle aspirazioni della mela, se per lei sia conveniente o meno cadere a terra, se il suolo vuole che essa cada, e se vi sono stati errori di calcolo da parte della mela sulla sua reale distanza dal centro del pianeta Aggiungiamo: come e quanto la mela si fa condizionare dal comportamento delle altre mele dello stesso albero o di alberi vicini, le aspirazioni e aspettative dellac mela, le informazioni che la mela ha, ecc.

11 Verso una Matematica per le decisioni. Occorre introdurre una descrizione formale di azioni possibili, informazioni sugli esiti, preferenze, razionalità. Preferenze razionali: transitività arancia ;-)) pera e pera ;-)) mela, allora Parte oggettiva: A= insieme di azioni {a 1, a 2, …, a m } E = insieme di eventi {e 1, e 2, …, e m } con e i = h(a i ), i=1,…m Parte soggettiva: Linsieme E sia dotato di una relazione di preferenza: simbolo … e i ;-)) e j significa: e i preferito o indifferente a e j, ovvero e j non peggio di e i arancia ;-)) mela

12 Perché individui non transitivi non ci sono? Una possibile spiegazione evolutiva (money pump) E = {x 1 =mela, x 2 =pera, x 3 =arancia} Supponiamo che un individuo abbia preferenze non transitive (o cicliche) Preferenze x 1 ;-) x 2, x 2 ;-) x 3, x 3 ;-) x 1 Gli regalo una mela. Poi gli offro in cambio unarancia e gli chiedo 1 cent in aggiunta. Poi gli offro una pera e gli chiedo 1 cent in aggiunta. Poi gli offro una mela e gli chiedo 1 cent in aggiunta. Poi…

13 Un esempio: da transitività individuale a non transitività collettiva Il paradosso di Condorcet 1°2°3° 1ABC 2BCA 3CAB Cioè per lelettore 1 A ;-) B ;-) C ecc. Con un unico turno non cè vincitore Due turni: I) A contro B ….vince A II) A contro C …. vince C Quindi per la collettività dei 3 elettori A ;-) B e C;-) A Proviamo a cambiare il primo turno I) B contro C …. vince B II) B contro A … vince A (come sapevamo) Quindi: B ;-) C e A ;-) B Riassumendo: A ;-) B, B ;-) C, C ;-) A preferenze cicliche!!

14 x1x1 x2x2 xnxn Azioni utilità (funzione di preferenza) u(x 1 ) u(x 2 ) u(x n ) x * : max u( x k ) k=1,…,n Se x è una variabile continua (cioè x [a,b] ) allora u:[a,b] abbiamo un tipico problema di ricerca di un massimo assoluto in un compatto, detto spazio delle azioni u(x 1 ) x1x1 x x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 u(x 4 ) u(x 3 ) Funzione di utilità : un valore numerico (una misura) alle preferenze e 1 ;-)) e 2 u(e 1 ) u(e 2 ) Es. u(mela) = 10, u(pera) = 15, u(arancia) = 20

15 Interazione strategica John (János) von Neumann Budapest (Ungheria) 1903 Washington (USA) 1957 Princeton, 1947 Oskar Morgenstern Görlitz (Germania) 1902 Princeton (USA) 1977

16 Dall'oroscopo di Linda Wolf del 3 dicembre 2009 Ariete. Anche se siete sicuri del fatto vostro fate molta attenzione alle decisioni degli altri DECISIONI IN PRESENZA DI INTERAZIONE STRATEGICA

17 Interazione strategica, u A = u A (x A,y B ) : matrici dei payoffs a ij = u(x i,y j ) Bimatrice dei payoffs B A a1a1 a2a2 anan b1b1 b2b2 bmbm... a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1m a 2m a nm A a1a1 a2a2 anan b 11 b 21 b n1 b 12 b 22 b n2 b 1m b 2m b nm b1b1 b2b2 bmbm B A a1a1 a2a2 anan (a 11,b 11 ) b1b1 b2b2 bmbm B (a 21,b 21 ) (a n1,b n1 ) (a 12,b 12 ) (a 21,b 21 ) (a n1,b n1 ) (a 1m,b 1m ) (a 2m,b 2m ) (a nm,b nm ) Payoff giocatore A in presenza di B Payoff giocatore B in presenza di A

18 Principio di razionalità. Un giocatore non sceglie lazione x se ha a disposizione una scelta y che gli permetta di ottenere di più qualunque siano le scelte dellaltro (o degli altri) giocatori Esempio: B A a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 b3b3 (0,1) (1,0) (-1,2) (2,2) (3,2) (0,1) B A a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 b3b3 (1,0) (-1,2*) (2*,2*) (3*,2*) (0*,1) Metodo delleliminazione delle strategie dominate Metodo del best reply (risposta ottima)

19 (5*,5*) (15*,0) (10,10) (0,15*) Preferisci che dia 5 euro a te oppure 10 al tuo amico? B A a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 Giocatore A: a 1 : 5 a me a 2 : 10 a B Giocatore B: b 1 : 5 a me b 2 : 10 ad A

20 (-1,-1) (-10,0*) (-5*,-5*) (0*,-10) B A Dilemma del prigioniero Tace Accusa Tace Accusa Gioco proposto da Merrill Flood e Melvin Dresher, Rand Corporation 1950, per le possibili applicazioni ad una strategia nucleare globale. La versione "il dilemma di prigioniero" si deve ad Albert Tucker che volle rendere più accessibili le idee di Flood e Dresher a un pubblico di psicologi di Stanford. Se denunci il tuo complice ti lasceremo libero (legge sui collaboratori) e il tuo complice starà in prigione per 10 anni. Ma se il tuo complice fa altrettanto allora sarete dichiarati entrambi colpevoli e, pur usufruendo dello sconto per aver collaboratori, rimarrete in carcere 5 anni ciascuno. Se entrambi tacete, 1 anno di prigione ciascuno per guida pericolosa e detenzione di armi.

21 Fisherman C Fisherman R Moderate exploitaton (cooperative) Intensive exploitation (competitive) (3, 3) (2, 2) (1, 4) (4, 1) Moderate exploitaton (cooperative) Intensive exploitation (competitive) Dilemma del Pescatore Un tipico dilemma sociale Hardin, G. The tragedy of the commons, Science (1968). E la mano invisibile di Adam Smith?

22 (a,a) (b,c) (d,d) (c,b) B A a1a1 b2b2 a2a2 b1b1 In generale … con c > a > d > b Altre situazioni : Scambio a scatola chiusa Corsa agli armamenti e politiche di disarmo Parlare a voce alta in pizzeria Inquinare o no? Porto il casco per correre in bici?

23 E meglio il più o il meno? Singolo decisore x u(x) Interazione strategica (10,10) (3,15*) (5*,5*) (15*,3) B A a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 (8*,8*) (2*,7) (0,0) (7,2*) B A a1a1 a2a2 b1b1 b2b2

24 E meglio avere più possibilità di scelta? Singolo decisore x u(x) Interazione strategica (10*,10*) (3*,5) (1,1) (5,3*) B A a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 x1x1 x2x2 x3x3 (10,10) (3,5) (1,1) (5,3) (1*,1*) (0,11*) (4*,0) (11*,0) (0,4*) B A a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 b3b3 a3a3

25 B A a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 a3a3 b3b3 0,4* 4*,0 5,3 4*,0 0,4* 5,3 3,5 6*,6* B A a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 b4b4 b3b3 1,4 -1,6* 3,0 2*,0 4,0 6*,0 2*,2 2*,1* 0,4 5*,6* 0,-2 -1,1 Non ha strategie dominate da eliminare Comunque ha un unico equilibrio di Nash a3a3 Si poteva eliminare al prima riga, poi la terza colonna e poi la prima colonna Un equilibrio di Nash sopravvive alleliminazione iterata di strategie dominate, ma nessuno mi garantisce che leliminazione iterata sia in grado di rimuovere tutto tranne gli equilibri di Nash

26 (0,0) (1,1) (0,0) B A Facile se ciascuno conosce la matrice dei payoff e sa che laltro è razionale e sa che laltro sa… (1,1) (0,0) (1,1) (0,0) B A Gioco di puro coordinamento. Se giochiamo la stressa strategia va bene per entrambi, se giochiamo diverso male per entrambi. Occorre comunicazione preliminare, (poi non cè pericolo di defezione) (2,1) (0,0) (1,2) (0,0) B A Anche qui due equilibri di Nash, ma difficile accordo preliminare. Se ciascuno persegue il proprio Nash preferito si finisce in (0,0). E anche un eccesso di altruismo da parte di entrambi… battaglia dei sessi: shopping o partita? tenere la destra o la sinistra? a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 a1a1 a2a2 b1b1 b2b2

27 (0,0) (1,1) (0,0) (1,1) B A Apriamo un negozio dello stesso tipo o di tipo diverso? (0,0) (2,1) (0,0) (1,2) B A E se uno dei due articoli offre maggiori profitti? (1,1) (0*,2*) (-1,-1) (2*,0*) B A Accelera Frena Accelera Frena Gioco del Chicken (Gioventù bruciata) Attacco nucleare (guerra fredda USA URSS) a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 a1a1 a2a2 b1b1 b2b2

28 maxmin = minmax = sella della matrice Equilibrio: maxmin = minmax = sella della matrice Giochi a somma zero non ci sono equilibri di Nash inefficienti,-9,-3,-6,-5,-7,0,1,-4,-9 minimo guadagno su ogni riga massima perdita su ogni colonna min fra le max perdite (minmax) max fra i min guadagni (maxmin) B A a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 a3a3 b3b3

29 B A a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 a3a3 b3b3 b4b4 b5b5 a4a4 a5a minimi guadagni massime perdite minmax maxmin Gioco a somma zero - non ci sono equilibri di Nash inefficienti (interessi contrapposti) - vale la proprietà di rettangolarità: se ci sono più strategie di Nash ciascuno può scegliere le proprie Nash senza preoccuparsi di quale sceglie laltro (purché razionale) maxmin minmax

30 B A S F S F C 0,0 1*, -1 -1, 1* 0,0 1*,-1 -1,1* 0,0 Morra cinese: Sasso, Forbici, Carta C -1,1* 1*, -1 -1,1* 1*, -1 B A P D P D Morra (pari-dispari) Matching pennies Due luoghi, due ex fidanzati con interessi opposti Giochi senza equilibrio di Nash (in strategie pure) Idea delle strategie miste e loro interpretazioni

31 Matching pennies a strategie miste -1,1 1,-1 B A a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 p (1- p) q (1- q) payoff atteso V A (a 1 ) = -1q + 1(1- q) = 12q payoff atteso da V A (a 2 ) = 1q 1(1- q) = 2q ,-1 Quindi V A (a 1 )> V A (a 2 ) se q<1/2 payoff atteso V B (b 1 ) 1p 1(1- p) = 2p 1 payoff atteso da V B (b 2 ) -1p + 1(1-p) = 1 2p Analogamente per il giocatore B Quindi V B (b 1 )> V B (b 2 ) se p>1/2 1 q p Payoff attesi da A in base alle scelte attese da parte di B Funzioni di reazione

32 Battaglia dei sessi con strategie miste 1,2 2,1 0,0 B A a1a1 a2a2 b1b1 b2b2 p (1- p) q (1- q) payoff atteso V A (a 1 ) = 2q payoff atteso da V A (a 2 ) = 1- q 0,0 Quindi V A (a 1 )> V A (a 2 ) se q>1/3 p=1 payoff atteso V B (b 1 ) = p payoff atteso da V B (b 2 ) = 2(1-p) = 1 2p Analogamente per il giocatore B Quindi V B (b 1 )> V B (b 2 ) se p>2/3 q=1 1 q p Payoff attesi da A in base alle scelte attese da parte di B Funzioni di reazione 1

33 Gioco degli aiuti umanitari Due paesi ricchi hanno sovrabbondanza di beni rapidamente deteriorabili (es. alimentari) e decidono di regalarli a paesi poveri per ottenere uninfluenza politica o alleanza in caso di conflitto. Due i paesi beneficiari, I e II; 4 e 3 le unità di beni a disposizione di A e B risp. Se un paese ricco dà a uno povero più unità del bene se ne assicura il controllo (+1) se meno perde il controllo (-1) se uguale neutralità (0). Può A sfruttare il vantaggio (4 contro 3) per controllarli entrambi? B A a 1 :4,0 a 2 :3,1 b 1 3,0 b 2 2,1 a 3 :2,2 b 3 1,2 b 4 0,3 a 4 :1,3 a 5 :0,4 Payoff di A: somma algebrica dei controlli gioco a somma

34 0 B A a 1 :4,0 a 2 :3,1 b 1 3,0 b 2 2,1 a 3 :2,2 b 3 1,2 b 4 0,3 a 4 :1,3 a 5 :0, B A a2a2 a4a4 b1b1 b4b4 p (1- p) q (1- q) Soluzione p=q=1/2

35 (b,b,b) (b,b,a) (b,a,b) (d,c,c) (a,b,b) (c,d,c) (c,c,d) (c,c,c) preferenze a > b > c > d SNSNSNSN SN SN S N Ci aumentiamo lo stipendio? Passa se votato da almeno due su tre. Si vota a turno e in modo palese a: voto no e passa b: voto sì e passa c: voto no e non passa d: voto sì e non passa SN b a (b,b) (b,a) (a,b) (c,c) S NS N SN Mosse successive con informazione completa. Giochi in forma estesa e induzione a ritroso. I II III

36 Forma estesa e strategica. Un esempio Due giocatori, scimmia grande S e scimmia piccola s. Per mangiare almeno una deve salite sullalbero delle noci di cocco, e scuotere i rami per farle cadere. Ciascuna ha due strategie c = climb w = wait (c,c) S spende due per salire e poi mangia 7, s mangia 3: (5,3) (c,w) s mangia 4 prima che S arrivi, poi S mangia 6: (4,4) (w,c) S mangia 9 e s mangia 1 che è rimasto: (9,1) (w,w) : (0,0) 0,0 9*, 1* 5,3 4*, 4* s S c w c w Due equilibri di Nash, scelta difficile perché entrambi presentano il pericolo di restare a digiuno se laltro defeziona. Non è facile un accordo preventivo Mosse simultanee (ovvero senza sapere cosa fa laltro) c w c w c w S s (4,4) (9,1) (0,0)(5,3)

37 c w c w c w S s Passiamo a mosse consecutive a informazione completa. S decide per primo e poi s (5,3) (4,4) (9,1) (0,0) Potatura della scelta di s (considerato razionale) c w S (4,4) (9,1) Unica soluzione: (w,c) s S c w cc cw ww wc 5,3 5*,3 4,4* 9*,1* 0,0 9*,1* 4*,4* 0,0 3 Eq. Nash, ma solo (w,cc) e (w,wc) sono perfetti nei sottogiochi, ma (w,wc) è preferibile per s (perché un errore di S gli dà 4 invece di 3). La minaccia di s do giocare w potrebbe essere credibile perché perde solo 1 S ha due strategie: c,w S ne ha 4: cc (arrampica cmq), cw (imita), wc (fa lopposto), ww (attende cmq)

38 Ultimatum game. Due giocatori. Il primo (proponente) può ottenere un premio di E euro a patto che ne ceda una parte X al secondo giocatore (ricevente). Se questi accetta ciascuno prende la propria parte, E-X il primo, X il secondo. Se questi rifiuta non prende niente nessuno dei due. (E-X,X) (0,0) Unico equilibrio di Nash: X > 0 più piccolo possibile Le evidenze sperimentali sono molto diverse: il proponente offre tra il 30% e il 40% della somma totale, il 50% dei riceventi rifiutano se lofferta è minore del 20% di E

39 Dictator Game (o di puro altruismo) Il proponente ha la possibilità (non lobbligo) di donare una parte al ricevente, senza avere ritorsioni. Le evidenze sperimentali mostrano che X è tra il 10% e il 25% se i due giocatori si conoscono. Invece in caso di doppio anonimato il 70% circa non lascia nulla e il rimanente tra il 10% e il 20% Behavioral economics (Economia comportamentale)

40 Asta da un dollaro Si tratta della tipica situazione in cui il vincitore paga un prezzo sproporzionato rispetto al premio che ottiene, lo sconfitto paga un alto prezzo per una battaglia che non frutta nulla. Morale: era meglio non iniziare Si mettono allasta 100 euro, partendo da unofferta iniziale di 1. Chi offre di più si aggiudica i 100 euro, ma anche chi fa la seconda offerta paga, senza però vincere nulla. …proviamo… allinizio sembra una buona opportunità… ai 50 euro ci si rende conto che il banditore ha fatto un affare … ai 99 euro si vorrebbe smettere ma… conviene offrire 100 e poi 101… se non vogliamo perdere tutto… aste realmente effettuare sono arrivate a euro, con un guadagno del 700% da parte del banditore !!!

41 Harsanyi Nash Selten Premio Nobel, 1994 "for their pioneering analysis of equilibria in the theory of non-cooperative games" Aumann Schelling Premio Nobel, 2005 "for having enhanced our understanding of conflict and cooperation through game-theory analysis"

42 Premio Nobel Economia, 2007 "for having laid the foundations of mechanism design theory" Hurwicz Maskin Myerson Nobel 2012 per le loro ricerche sulla teoria dei giochi applicata al funzionamento dei mercati. ShapleyRoth

43 Alcune letture Roberto Lucchetti Scacchi e scimpanzé Bruno Mondadori 2012 Pierluigi Argoneto I Radiohead, larcobaleno e il piede sinistro di Dio, Armando Editore 2009 Roberto Lucchetti Passione per Trilli Springer Italia 2007 Fioravante Patrone Decisori (razionali) interagenti, Plus edizioni 2006 Tom Siegfried E la matematica, bellezza!, Bollati Boringhieri 2006


Scaricare ppt "Modellizzare le decisioni razionali con la teoria dei giochi. Gian Italo Bischi DESP - Dipartimento di Economia, Società e Politica Università di Urbino."

Presentazioni simili


Annunci Google