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NUMERI NATURALI NUMERI RAZIONALI PROPORZIONI E RELAZIONI DI PROPORZIONALITAPROPORZIONI E RELAZIONI DI PROPORZIONALITA Dai Naturali alle Proporzioni.

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2 NUMERI NATURALI NUMERI RAZIONALI PROPORZIONI E RELAZIONI DI PROPORZIONALITAPROPORZIONI E RELAZIONI DI PROPORZIONALITA Dai Naturali alle Proporzioni

3 Le quattro operazioni nei numeri naturalinumeri naturali Addizione Sottrazione Moltiplicazione Divisione MENU GENERALE

4 Addizione Per addizionare due numeri naturali a e b, si devono sommare ad a tante unità quante sono quelle di b. Si otterrà un risultato c detto somma tra a e b. Quindi a+b=c dove a e b sono gli addendi, c è la somma e + il simbolo di addizione. Sulla semiretta orientata tale operazione si schematizza così: +b a c Si può notare come, assegnati due numeri naturali qualsiasi a e b, è sempre possibile ottenere c che è un numero naturale. Da ciò segue che la somma tra due numeri naturali è sempre possibile in N, cioè che N è un insieme chiuso rispetto alladdizione. MENU NATURALI MENU GENERALE

5 Le proprietà delladdizione Proprietà commutativa Proprietà associativa Proprietà dissociativa Esistenza dellelemento neutro MENU NATURALI MENU GENERALE

6 Proprietà commutativa Scambiando lordine degli addendi, la somma non cambia. a+b=b+a Esempio: 10+5=5+10=15 MENU NATURALI MENU GENERALE

7 Proprietà associativa Se si sommano tra loro tre o più addendi, il risultato non cambia se a due o più di essi si sostituisce la loro somma. a+b+c+d=(a+b)+c+d=(a+b)+(c+d)=… Esempio: =(15+25)+(19+11)=40+30=70 MENU NATURALI MENU GENERALE

8 Proprietà dissociativa Se ad un addendo si sostituisce la somma di due o più numeri la cui somma dia laddendo stesso, il risultato non cambia. a=m+n a+b+c=(m+n)+b+c=m+n+b+c Esempio: =(10+1)+(10+9)+22= =52 MENU NATURALI MENU GENERALE

9 Esistenza dellelemento neutro Lo zero è definito elemento neutro delladdizione: se si considera qualsiasi numero naturale e lo si addiziona a zero, il risultato è il numero stesso. a+0=0+a=a Esempio: 20+0=0+20=20 TEST ADDIZIONE MENU NATURALI MENU GENERALE

10 Sottrazione La sottrazione è loperazione inversa della somma. I suoi termini si chiamano: il primominuendo il secondosottraendo Il - è il simbolo, il risultato si chiama resto o differenza. MENU NATURALI MENU GENERALE

11 Sottrazione (continua) Perché la sottrazione tra due numeri naturali a e b sia possibile, occorre che: a b Infatti:se a>ba-b=c es. 10-7=3 se a=ba-b=0 es =0 se a

12 Sottrazione (continua) Utilizzando la semiretta orientata, la sottrazione può essere così schematizzata: -b c a -b -a a 0 0 -b a a > b a – b = c a = b a – b = 0 b > a a-b risulta impossibile MENU NATURALI MENU GENERALE

13 Le proprietà della sottrazione Proprietà invariantiva MENU NATURALI MENU GENERALE

14 Proprietà invariantiva La differenza tra due numeri non cambia se ad ogni termine si aggiunge o si sottrae lo stesso numero, purché tale numero sia minore o uguale al sottraendo. Esempio: =36 (120+16)-(84+16)= =36 (120-20)-(84-20)=100-64=36 TEST SOTTRAZIONE MENU NATURALI MENU GENERALE

15 La moltiplicazione La moltiplicazione è unoperazione che rappresenta una forma abbreviata per eseguire somme di numeri uguali. Esempio: 3x4= =12 Pertanto, la moltiplicazione risulta una operazione diretta i cui termini si dicono fattori, x o · è il simbolo, il risultato è detto prodotto. È sempre possibile effettuare la moltiplicazione in N essendo questa unoperazione diretta e costituendo un ampliamento delladdizione. Quindi linsieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione. MENU NATURALI MENU GENERALE

16 Le proprietà della moltiplicazione Proprietà commutativa Proprietà associativa Proprietà dissociativa Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma e rispetto alla differenza Esistenza dellelemento neutro Lo zero e la legge dellannullamento del prodotto MENU NATURALI MENU GENERALE

17 Proprietà commutativa Scambiando lordine dei fattori, il prodotto non cambia. a·b=b·a Esempio: 15·10=10·15=150 MENU NATURALI MENU GENERALE

18 Proprietà associativa Se si moltiplicano tra loro tre o più fattori, il prodotto non cambia se a due di essi si sostituisce il loro prodotto a·b·c·d=(a·b)·(c·d) Esempio: 3·5·7=(3·5)·7=15·7=105 3·5·7=3·(5·7)=3·35=105 MENU NATURALI MENU GENERALE

19 Proprietà dissociativa Se ad un fattore si sostituisce il prodotto di due o più fattori il cui prodotto sia il fattore stesso, il risultato non cambia. Se a=m·n alloraa·b·c=(m·n)·b·c=m·n·b·c Esempio: 15·7·3=3·5·7·3=315 MENU NATURALI MENU GENERALE

20 Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma e alla differenza Se si deve moltiplicare una somma di più addendi (o una differenza) per un fattore, si può moltiplicare ogni termine per il fattore e quindi sommare (o sottrarre) i prodotti ottenuti. (a+b+c)·d=a·d+b·d+c·d (a-b)·c=a·c-b·c Esempio: ( )·3=10·3+12·3+14·3= =108 (56-35) ·4=56·4-35·4= MENU NATURALI MENU GENERALE

21 Elemento neutro della moltiplicazione Se si moltiplica per uno, un qualsiasi numero, il risultato è il numero stesso. a·1=1·a=a Esempio: 35·1=1·35=35 Quindi il numero 1 è lelemento neutro della moltiplicazione. MENU NATURALI MENU GENERALE

22 Lo zero e la legge di annullamento del prodotto Se si moltiplica un qualsiasi numero per zero, il risultato è zero. a·0=0 Esempio:5·0=00·15=0 Da ciò ne consegue che il prodotto di due fattori è zero se almeno uno di essi è zero (legge di annullamento del prodotto). Esempio:a·6=0soltanto se a=0 0·a=0 a·b=0almeno uno dei due fattori deve essere uguale a zero: a=0 o b=0 TEST MOLTIPLICAZIONE MENU NATURALI MENU GENERALE

23 Divisione La divisione è loperazione inversa della moltiplicazione. Infatti eseguire la divisione fra due numeri a e b, significa trovare, se esiste, un terzo numero c tale che b·c=a. Il simbolo della divisione è :, a è il dividendo, b il divisore e c il quoto o quoziente. a:b=c Come si può notare, scelti due numeri a caso a e b, non sempre è possibile ottenerne un terzo che risponda alla definizione data. Pertanto, linsieme N è aperto rispetto alla divisione. In N, a deve essere multiplo di b. Anche per la divisione, come per la sottrazione, non esiste elemento neutro. MENU NATURALI MENU GENERALE

24 Proprietà della divisione Proprietà invariantiva Lo zero nella divisione MENU NATURALI MENU GENERALE

25 Proprietà invariantiva Moltiplicando o dividendo per una quantità diversa da zero, entrambi i termini di una divisione, il risultato non cambia. a:b=c (a·m):(b·m)=c m0 (a:m):(b:m)=c m0 Esempio:135:15=9 (135:5):(15:5)=9 27:3=9 oppure:(135·2):(15·2)=9 270:30=9 MENU NATURALI MENU GENERALE

26 Lo zero nella divisione Particolare importanza investe nella divisione il numero zero. Consideriamo il caso generico a:b. Ne consegue che: se a,b0alloraa:b=c se a=0 e b=0allorao:b=0 in quanto, per la prova della divisione, si ha b·0=0. Se a=0 e b=0 allora 0:0=indeterminata cioè qualsiasi risultato è possibile perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero. Se a0 e b=0 allora a:0=impossibile perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero e non può dare a. TEST DIVISIONE MENU NATURALI MENU GENERALE

27 Test addizione DOMANDA N°1: Linsieme N è chiuso rispetto alladdizione? 1)SiSi 2)NoNo 3)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

28 Test addizione DOMANDA N°2: In una addizione, se si cambia lordine degli addendi, la somma cambia? 1)SiSi 2)NoNo 3)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

29 Test addizione DOMANDA N°3: Lo zero è lelemento neutro delladdizione? 1)SiSi 2)NoNo 3)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

30 Test addizione DOMANDA N°4: Per potere risolvere la seguente addizione in N quali delle seguenti proprietà è necessario applicare? 1)Proprietà associativaProprietà associativa 2)Proprietà dissociativaProprietà dissociativa 3)Proprietà commutativaProprietà commutativa 4)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

31 MENU NATURALI MENU GENERALE

32 Test sottrazione DOMANDA N°1: Linsieme N è chiuso rispetto alla sottrazione? 1)SiSi 2)NoNo 3)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

33 Test sottrazione DOMANDA N°2: Lo zero è lelemento neutro della sottrazione? 1)SiSi 2)NoNo 3)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

34 Test sottrazione DOMANDA N°3: La differenza tra due numeri cambia se ad ogni termine si aggiunge o si sottrae lo stesso numero (purchè tale numero sia minore o uguale al sottraendo)? 1)SiSi 2)NoNo 3)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

35 Test sottrazione DOMANDA N°4: Quale è il valore della seguente espressione? 45 – 3 – 27 = … 1)1313 2)1414 3)1515 4)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

36 MENU NATURALI MENU GENERALE

37 Test moltiplicazione DOMANDA N°1: Linsieme N è aperto rispetto alla moltiplicazione? 1)SiSi 2)NoNo 3)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

38 Test moltiplicazione DOMANDA N°2: Lo zero è lelemento neutro della moltiplicazione? 1)SiSi 2)NoNo 3)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

39 Test moltiplicazione DOMANDA N°3: Nella seguente espressione: 5·9·3=(5·9)·3=45·3=135 quale proprietà è stata utilizzata? 1)Proprietà commutativaProprietà commutativa 2)Proprietà associativaProprietà associativa 3)Proprietà dissociativaProprietà dissociativa 4)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

40 Test moltiplicazione DOMANDA N°4: Quale è il risultato della seguente espressione? ( )·2=… 1)7070 2)6767 3)6868 4)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

41 MENU NATURALI MENU GENERALE

42 Test divisione DOMANDA N°1: Quale è il valore della seguente divisione? 7 : 0 = … 1)77 2)è impossibileè impossibile 3)00 4)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

43 Test divisione DOMANDA N°2: La divisione gode della proprietà associativa? 1)SiSi 2)NoNo 3)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

44 Test divisione DOMANDA N°3: Lespressione a : b = c significa che: 1)c=b:ac=b:a 2)a=b:ca=b:c 3)a=b·ca=b·c 4)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

45 Test divisione DOMANDA N°4: Quale è il valore della seguente espressione? (225:15):3=… 1)1010 2)55 3)1515 4)Non soNon so MENU NATURALI MENU GENERALE

46 MENU NATURALI MENU GENERALE

47 MENU NATURALI MENU GENERALE

48 Potenza La moltiplicazione serve a definire loperazione di potenza di numeri naturali. Si dice potenza di un numero naturale a il prodotto di più fattori uguali al numero stesso. In simboli si scrive: a n dove a è la base, cioè il numero che deve essere moltiplicato per se stesso tante volte quanto indicato dallesponente n. Esempio: 3 2 =3·3=9 5 4 =5·5·5·5=625 MAPPA CONCETTUALE MENU NATURALI MENU GENERALE

49 I NUMERI NATURALI Struttura dellinsieme N Cenni storici MENU NATURALI MENU GENERALE

50 Struttura dellinsieme N La successione dei numeri naturali 0, 1, 2, 3, 4, 5 … è un insieme infinito costituito cioè da infiniti elementi che si ottengono ognuno dal precedente aggiungendo una unità. Nel sistema di numerazione da noi usato, cioè il sistema di numerazione decimale, le cifre utilizzate sono dieci: e con esse si compongono tutti i numeri. Nella rappresentazione insiemistica per elencazione linsieme N è così rappresentato: N={0,1,2,3,4,5,…} E possibile rappresentare i numeri naturali su una semiretta orientata dopo aver fissato unopportuna unità di misura corrispondente a ununità : u A La semiretta orientata è illimitata a destra, come indica la freccia. E da notare che ad ogni numero naturale corrisponde un punto, ma non viceversa. Ad esempio, al punto A non corrisponde un numero naturale. MENU NATURALI MENU GENERALE

51 Struttura dellinsieme N (continua) Due numeri naturali a e b si dicono uguali se ad entrambi corrisponde lo stesso punto sulla semiretta orientata. Valgono quindi le proprietà delluguaglianza: 1) Proprietà riflessivaa = a 2) Proprietà simmetricase a = b allora b = a 3) Proprietà transitivase a = b e b = c allora a = c Analogamente si possono definire due relazioni di disuguaglianza: a)Ogni numero naturale è maggiore di quelli che lo precedono nella successione e quindi sulla semiretta orientata. Esempio:5 > 1,6 > 0 b)Ogni numero naturale è minore di quelli che lo seguono nella successione e quindi sulla semiretta orientata, pertanto lo zero è il minore numero dellinsieme N. Dati due numeri a e b si può verificare una sola di queste tre soluzioni: a b Tale principio è detto di tricotomia. MENU NATURALI MENU GENERALE

52 Cenni storici La nozione di numero si può sicuramente far risalire alle epoche più antiche in cui visse luomo, come testimoniano le pitture rinvenute sulle pareti delle caverne preistoriche ed altre testimonianze archeologiche. Ma come è nato il concetto di numero? Inizialmente a colpire luomo primitivo furono sicuramente più le differenze che le somiglianze: un lupo e molti lupi, una pecora e un gregge, un albero e una foresta creavano contrasti più facili da cogliere che non la similarità, intesa come uguale numerosità, fra un lupo e un sasso, fra una pecora e un albero. A poco a poco però attraverso losservazione le differenze stesse sembrarono rinviare a delle somiglianze: il contrasto tra un solo lupo e molti lupi, tra una pecora e un gregge, tra un albero e una foresta suggerirono che un lupo, una pecora e un albero hanno qualcosa in comune: la loro unicità. Attraverso lo stesso tipo di approccio venne osservato che certi altri gruppi, come le coppie, possono essere messi in corrispondenza biunivoca: le mani possono essere appaiate con i piedi, con gli occhi, con le orecchie o con le narici. Questo riconoscimento, raggiunto al termine di un processo lungo e graduale, di una proprietà astratta che certi insiemi hanno in comune, e che chiamiamo numero, rappresenta un grande passo verso la matematica moderna. Luomo primitivo non conosceva i numeri. Per contare, per esempio, le pecore del suo gregge, usava le dita, ossia alzava un dito per ogni pecora. Annotava poi il totale tracciando, sulla sabbia, altrettante dita, oppure facendo altrettante tacche su un pezzo di legno. Contava anche associando a ciascun oggetto un bastoncino: era quindi in grado di annotare il totale conservando il mazzetto di bastoncini. Attraverso i secoli, luomo ha imparato a dare un nome ad ogni numero e a rappresentare ogni numero con un simbolo. I numeri naturali sono stati introdotti, fin dallantichità, per contare gli oggetti di un dato insieme. MENU NATURALI MENU GENERALE

53 Test finale 1) Indicare quali proprietà si sono applicate per ognuna delle seguenti uguaglianze: = =85 (12-2)·3=12·3-2·3= =(721-21)- (361-21)= =360 72·5·10=10·5·72= :14=(882:2):(14:2)= 441:7=63 2) Calcola, nellinsieme N, le seguenti espressioni: a) 2·(3+5-7)=b) 0·(14+5-7)= c) ( )·5=d) (7-6)·[(8-7)·(12-11)]= e) ·(6-4)=f) (100-50)·(6-4)= g) :(6-4)=h) (100-50):(6-4)= i) ·2-4·5+3·12:6-60:2:3-4·2= l) (45-9·4-243:3)·39+6·8:16+20:4-64:2:4= MENU NATURALI MENU GENERALE

54 Mappa concettuale ADDIZIONE a + b Insieme NInsieme N dei numeri naturali MOLTIPLICAZIONE a · b SOTTRAZIONE a - b DIVISIONE a : b ammette loperazione inversa Potenza anan ORDINAMENTO SIMBOLI Se ab Se a multiplo di b e b0 in esso si definisce attraverso TEST FINALE MENU NATURALI MENU GENERALE

55 Il concetto di numero razionale Le frazioni I numeri razionali MENU GENERALE

56 Le frazioni La frazione come operatore Prodotto e potenza di frazioni Frazioni equivalenti Confronto tra frazioni Addizione e sottrazione di frazioni MENU RAZIONALI MENU GENERALE

57 I numeri razionali Il concetto di numero razionale I numeri decimali MENU RAZIONALIMENU GENERALE

58 La frazione come operatore La parola frazione deriva dal latino frangere che significa rompere, fare a pezzi. In matematica la frazione di una certa quantità è quella parte ottenuta dividendo tale quantità in m parti uguali e considerandone n. Loperatore frazionario × è il procedimento che consente di dividere in n parti uguali la quantità di partenza e di considerarne m. MENU RAZIONALIMENU GENERALE

59 Esempio Quantità inizialeOperatore frazionarioFrazione MENU RAZIONALIMENU GENERALE

60 Se la quantità iniziale è rappresentata da un numero p non divisibile per m (cioè non esiste un numero intero q che moltiplicato per m ci dia p) allora loperatore frazionario x applicato a p ci dà: di 8 equivale a di 5 equivale a di 13 equivale a MENU RAZIONALIMENU GENERALE

61 Se n=m allora loperatore frazionario lascia invariata la quantità su cui viene applicato. Ad esempio di 3 dà proprio 3, di 8 dà 8. Questo perché prima abbiamo diviso in parti uguali una certa quantità e poi labbiamo ricomposta mettendo insieme le parti in cui lavevamo frazionata. In una generica frazione, n viene detto numeratore e d denominatore. Il denominatore deve essere sempre diverso da zero perché la divisione per 0 non è definita. Il denominatore indica in quante parti bisogna dividere lunità. Il numeratore n indica in quante volte bisogna considerare lunità frazionaria MENU RAZIONALIMENU GENERALE

62 Esempi di 12 di 6 di 8 MENU RAZIONALIMENU GENERALE

63 Esercizi Calcola: di 24di 160 di 270 di 20 di 21 di 24 di MENU RAZIONALIMENU GENERALE

64 Prodotto e potenza di frazioni Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori delle frazioni date. Esempi MENU RAZIONALIMENU GENERALE

65 Divisione tra frazioni Dividere una frazione per una frazionesignifica moltiplicare per linversa di : Esempio: Due frazioni sono inverse fra loro quando il loro prodotto è uguale a 1 Esempio:è inversa diinfatti MENU RAZIONALIMENU GENERALE

66 Potenza di frazioni Data la frazione e il numero naturale n, si definisce potenza n-esima di e si scrive, il prodotto di n fattori uguali ad. Se n=0,,cioè qualunque frazione, elevata a 0, dà come risultato 1. Lespressione con b0 non è definita in quanto è uguale a 0 0, espressione priva di significato matematico. Se allora Esempio infatti MENU RAZIONALIMENU GENERALE

67 Esercizi Calcola: ; ; ;; ; ; ; ; MENU RAZIONALIMENU GENERALE

68 Frazioni equivalenti Data una qualsiasi frazione, se moltiplichiamo o dividiamo numeratore e denominatore per uno stesso numero otteniamo unaltra frazione detta frazione equivalente ad. Esempio MENU RAZIONALIMENU GENERALE

69 Una frazione si dice ridotta ai minimi termini quando numeratore e denominatore sono primi fra loro, cioè se non hanno fattori in comune. Consideriamo ad esempio la frazione. La prima cosa che andiamo a fare è fattorizzarne i termini, cioè scomporre numeratore e denominatore in fattori primi: Dividendo per 2 si ottiene: Come si può vedere il numeratore e il denominatore hanno ancora un fattore in comune, cioè il 2. Quindi dividiamo ancora e otteniamo. La frazione ottenuta si dice ridotta ai minimi termini. Una frazione non ridotta ai minimi termini si dice riducibile. MENU RAZIONALIMENU GENERALE

70 Quando si calcola il prodotto tra frazioni è quindi utile ridurre prima le frazioni ai minimi termini. Dopo aver effettuato tale operazione occorre vedere se la frazione prodotto ottenuta è a sua volta riducibile e procedere alla semplificazione di questa. Potevamo operare anche in questo modo: che comunemente viene detto procedimento di semplificazione in croce. MENU RAZIONALIMENU GENERALE

71 Tutte le frazioni equivalenti fra loro costituiscono un insieme infinito di frazioni di cui una sola è ridotta ai minimi termini; le altre possono ottenersi da essa moltiplicandone numeratore e denominatore per uno stesso numero. A tale insieme viene dato il nome di classe di frazioni equivalenti. MENU RAZIONALIMENU GENERALE

72 Consideriamo adesso due frazioni qualsiasi: Determiniamo alcune frazioni equivalenti: Come si può osservare, tra le frazioni equivalenti a e a sono presenti due frazioni aventi a denominatore lo stesso numero: Naturalmente ve ne saranno infinite con uguale denominatore e precisamente tutte quelle che hanno a denominatore un multiplo del numero 21, detto comunemente minimo comune multiplo dei denominatori. e e MENU RAZIONALIMENU GENERALE

73 In generale comunque è sempre possibile trasformare due frazioni qualsiasi in frazioni ad esse equivalenti e aventi lo stesso denominatore. Per poter fare questo occorre: cercare un multiplo comune ai denominatori dividere tale nuovo denominatore per ciascun vecchio denominatore moltiplicare ciascun quoto per il corrispondente numeratore. Esempio Vogliamo trasformare e in frazioni ad esse equivalenti aventi lo stesso denominatore. Tra i multipli comuni a 5 e a 4 prendiamo il numero 20 (potremmo prenderne qualsiasi). Dividendo 20 per 5 otteniamo 4 e dividendo 20 per 4 otteniamo 5. moltiplicando questi quoti per 2 e per 3 otteniamo le frazioni e. MENU RAZIONALIMENU GENERALE

74 Esercizi 1) Scrivi almeno 5 frazioni equivalenti a ciascuna delle seguenti: 2) Dove è possibile, riduci ai minimi termini: 3)Riconduci allo stesso denominatore le seguenti frazioni: a) b) c) MENU RAZIONALIMENU GENERALE

75 Addizione e sottrazione di frazioni Somma e differenza di frazioni con uguale denominatore La somma (o differenza) di due o più frazioni aventi uguale denominatore è una frazione che ha per denominatore il denominatore dato e per numeratore la somma (o differenza) dei numeratori. Esempi MENU RAZIONALIMENU GENERALE

76 Somma e differenza di frazioni con diverso denominatore Quando si devono sommare (o sottrarre) frazioni con diverso denominatore occorre prima di tutto trasformare le frazioni date in frazioni equivalenti che abbiano per denominatore un multiplo comune dei denominatori dati. Di solito, per brevità di calcolo, si sceglie il m.c.m. tra i denominatori. Il procedimento da seguire per addizionare o sottrarre le frazioni è il seguente: tracciare una linea di frazione abbastanza lunga da contenere tutti i numeratori; sotto la linea di frazione scrivere il denominatore-multiplo scelto (è conveniente scrivere il minimo comune multiplo dei denominatori); dividere tale denominatore per ciascuno dei denominatori delle frazioni che si stanno sommando (o sottraendo); moltiplicare il quoto ottenuto per il corrispondente numeratore; scrivere il risultato al posto del vecchio numeratore; sommare (o sottrarre) i nuovi numeratori; scrivere la nuova frazione ottenuta. MENU RAZIONALIMENU GENERALE

77 Esempi Esercizi Calcola: MENU RAZIONALIMENU GENERALE

78 I numeri decimali Uno stesso numero razionale può essere rappresentato da tante frazioni diverse, purchè tutte equivalenti fra loro. Ad esempio le frazioni,, rappresentano lo stesso numero razionale perché sono equivalenti. Ma vi è un altro modo di rappresentare i numeri razionali: la scrittura decimale. MENU RAZIONALIMENU GENERALE

79 La scrittura esprime il risultato della divisione m : n. Quindi: Come si può notare, mentre le prime due frazioni hanno dato luogo ad un numero decimale finito, le altre sono espresse da un numero decimale illimitato, in cui però ci sono dei gruppi di cifre che si ripetono costantemente, cioè un numero decimale periodico. La domanda che ci si pone è la seguente: dato un numero razionale espresso sotto forma di frazione, come sarà la sua rappresentazione decimale? MENU RAZIONALIMENU GENERALE

80 Definizione Si chiama frazione decimale una frazione che ha per denominatore una potenza del 10 con esponente maggiore di zero. Sono ad esempio frazioni decimali Ogni frazione decimale si può rappresentare con un numero decimale finito. Infatti la divisione per una potenza del 10 comporta un semplice spostamento a sinistra della virgola:,,,, MENU RAZIONALIMENU GENERALE

81 Le potenze del numero 10 danno luogo ad una scomposizione che contiene come fattori primi solo potenze del 2 e del 5. Se una frazione, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero che ha come fattori della scomposizione solo potenze del 2 e/o del 5, è facile trasformarla in una frazione equivalente che sia una frazione decimale, che dà origine cioè ad un numero decimale finito. Per esempio: MENU RAZIONALIMENU GENERALE

82 Un numero decimale finito può essere sempre scritto per mezzo di una frazione decimale moltiplicando e dividendo per le opportune potenze del 10. Ad esempio: Se una frazione ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e al 5, essa non potrà essere trasformata in una frazione decimale, e quindi il numero decimale ad essa associato non potrà essere finito. MENU RAZIONALIMENU GENERALE

83 Ad esempio la frazione dà origine ad un numero decimale illimitato. Ma questo vale per tutte le frazioni con a denominatore un numero la cui scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e al 5? Quando eseguiamo una divisione a:b otteniamo un quoziente intero con un resto che è minore del divisore b (ad esempio 17:6=2 con resto 5, e 5 è minore di 6). Si può proseguire la divisione moltiplicando per 10 il resto e dividendo di nuovo. Otteniamo come quoziente la prima cifra decimale ed un nuovo resto con le stesse caratteristiche del precedente (50 : 6 = 8 con resto 2, e 2 è minore di 6). Se ripetiamo il procedimento altre volte, non troveremo comunque mai resto zero, altrimenti il numero decimale sarebbe finito e la frazione sarebbe una frazione decimale, cosa che abbiamo esclusa. Il resto sarà dunque una cifra compresa tra 1 e b (nellesempio il resto potrà solo assumere i valori 1, 2, 3, 4, 5). Perciò dopo al massimo b divisioni (6 divisioni nellesempio), la cifra del resto dovrà ripetere un valore precedente. Da quel punto in poi i quozienti ed i rispettivi resti si dovranno ripetere in successione costante. MENU RAZIONALIMENU GENERALE

84 Esempi si scrive Un numero come o si dice periodico semplice perché il periodo, cioè il gruppo di cifre che si ripetono, inizia subito dopo la virgola. Un numero come o si dice periodico misto perché il periodo non inizia subito dopo la virgola. In questultimo caso, la parte compresa tra la virgola ed il periodo si chiama antiperiodo Ad esempio: non cè antiperiodo53 periodo 6 antiperiodo3 periodo 57 antiperiodo8 periodo 1 antiperiodo24 periodo MENU RAZIONALIMENU GENERALE

85 La frazione che genera un numero decimale periodico è determinabile mediante una semplice regola. La frazione generatrice di un numero decimale periodico è una frazione che ha per numeratore la differenza tra il numero intero che si ottiene togliendo la virgola ed il numero intero che si ottiene eliminando le cifre del periodo, e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dellantiperiodo. Esempi MENU RAZIONALIMENU GENERALE

86 Riassumendo, possiamo dire che: Una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione contiene solo potenze del 2 e/o del 5, dà origine ad un numero decimale finito Una frazione che, ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero la cui scomposizione contiene altri fattori oltre al 2 e al 5, dà origine ad un numero decimale periodico Un numero razionale quindi può essere espresso o da una qualsiasi delle frazioni equivalenti tra loro secondo la relazione di equivalenza introdotta o dalla sua espressione decimale: sono espressioni diverse dello stesso numero razionale. MENU RAZIONALIMENU GENERALE

87 Esercizi 1) Scrivi sotto forma di numero decimale le frazioni che seguono: 2) Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali: 3) Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni: 4) Senza eseguire le divisioni, stabilisci quali frazioni danno origine a numeri decimali finiti, quali a numeri decimali periodici semplici, quali a numeri decimali periodici misti. MENU RAZIONALIMENU GENERALE

88 Confronto tra frazioni Confrontare due frazioni se queste hanno lo stesso denominatore è semplice: la frazione maggiore è quella che ha il numeratore maggiore. Daltra parte, se due frazioni non hanno lo stesso denominatore, se ne possono scegliere altre ad esse rispettivamente equivalenti che abbiano lo stesso denominatore. Per fare ciò possiamo considerare le due frazioni che hanno per denominatore il m.c.m. fra i denominatori delle due frazioni, o anche il prodotto stesso dei due denominatori. Date due frazioni e prenderemo dunque le frazioni ad esse equivalenti e potremo dire chese e solo se Per confrontare due numeri razionali positivi possiamo allora confrontare due qualsiasi frazioni che li rappresentino. MENU RAZIONALIMENU GENERALE

89 Esempi infatti ed èperchè MENU RAZIONALIMENU GENERALE

90 Esercizi 1) Ordina in senso crescente i seguenti numeri razionali: 2) Confronta le seguenti coppie di frazioni e individua la minore MENU RAZIONALIMENU GENERALE

91 Il concetto di numero razionale Supponiamo di avere a disposizione una serie di nove bicchieri graduati tutti uguali e due siringhe da 10ml: una per lacqua e una per linchiostro. Immettiamo nei primi tre bicchieri rispettivamente 1ml, 5ml e 10ml di inchiostro e tanta acqua quanto basta per portare il livello del liquido a 10ml. Nella seconda serie da tre bicchieri immettiamo rispettivamente 2ml, 10ml e 20 ml di inchiostro e tanta acqua quanto basta per portare il livello del liquido a 20ml. Infine nella terza serie da tre bicchieri immettiamo rispettivamente 3ml, 15ml e 30ml di inchiostro e tanta acqua quanto basta per avere un livello del liquido risultante pari a 30ml. 5/10 3/30 20/2010/202/20 10/10 30/3015/30 1/10 MENU RAZIONALIMENU GENERALE

92 Il rapporto inchiostro/liquido-totale naturalmente varia tra i bicchieri e può essere espresso attraverso una frazione numerica. La cosa interessante è che i bicchieri aventi del liquido con la stessa gradazione di colore sono rappresentati da frazioni tra loro equivalenti. Questo ci permette di affermare che operando una partizione dellinsieme dei bicchieri in base al criterio del colore, tali bicchieri formano una classe di equivalenza. Se non abbiamo limitazioni sulla quantità dacqua e di inchiostro, possiamo ottenere un dato colore in numero infinito di modi, poiché esistono infinite frazioni equivalenti ad una data. Ciò significa che ogni classe di equivalenza individuata dal colore è costituita da infinite frazioni. Chiameremo ciascuna classe di equivalenza col nome di numero razionale. Nel nostro gioco mentre a ogni bicchiere corrisponde una frazione, a ogni colore corrisponde un numero razionale. Il numero razionale rappresenta il rapporto fra il numeratore e il denominatore delle frazioni equivalenti che esso rappresenta MENU RAZIONALIMENU GENERALE

93 Esercizi 1)Scrivi almeno 5 frazioni di una classe di equivalenza individuata dal numero razionale 2) Scrivi il rappresentante della classe di equivalenza cui appartengono le seguenti frazioni: 3) Indica fra le seguenti frazioni quelle corrispondenti allo stesso numero razionale: MENU RAZIONALIMENU GENERALE

94 Test finale A 1) 7 signore dividono una pezza di seta in parti uguali, ma 3 di esse decidono di mettersi in comune e di usare 2/5 della loro seta per fare abiti di Carnevale. Se la seta era 70 metri, quanti metri serviranno per gli abiti di carnevale? 2) Lorenzo si versa nel bicchiere ¼ della bottiglia di aranciata. Se Ilaria, con una spinta, gliene fa cadere 2/3, quale frazione dellaranciata della bottiglia è caduta? Sapresti dire, allora, quale frazione di tale aranciata rimane a Lorenzo? 3) Ognuno di noi ha ricevuto metà del corredo cromosomico dal padre e metà dalla madre. Quale frazione abbiamo del corredo cromosomico del nonno? E del padre di questi? 4) Lacqua di un grosso condotto viene suddivisa in 5 condotti uguali e ognuno di questi riversa la sua acqua in 5 tubi, ognuno dei quali porta acqua a 5 ville. Se nel condotto iniziale fluiscono 5000 litri di acqua al secondo, quanta acqua al secondo arriverà a ogni villa? Essa equivale a quale frazione dellacqua iniziale? 5) Il capitale di Marco aumenta ogni anno diventando i 5/4 dellanno precedente. Di quanto sarà aumentato dopo 3 anni? E dopo 5 anni? E dopo n anni? 6) Devo dividere 9 litri di olio in ampolle da 3/8 di litro. Quante ampolle occorreranno? 7) Divido 3 focacce fra 4 amici. Se gli amici diventano 20, quante focacce dovrò avere per dar loro sempre la stessa quantità? 8) Se le donne che ricoprono le alte cariche pubbliche da 7/30 diventassero 2/9, per i movimenti paritari questo sarebbe un traguardo augurabile oppure no? 9) Luigi guadagna 5/4 dello stipendio di Alessio, mentre Andrea guadagna i 7/3 dello stipendio di Alessio. Chi guadagna di più? 10) Percorro in macchina 5/8 della strada e in bicicletta 3/10. Il resto della strada è ancora di 6 chilometri. Quanto è lungo tutto il percorso? MENU RAZIONALIMENU GENERALE

95 Test finale B Calcola il valore delle seguenti espressioni: MENU RAZIONALIMENU GENERALE

96 RAPPORTI E PROPORZIONI PROPORZIONALITA DIRETTA ED INVERSA MENU GENERALE

97 Dal rapporto alla proporzione Proprietà delle proporzioni MENU PROPORZIONI MENU GENERALE

98 Dal rapporto alla proporzione Dati due numeri a e b, con b0, si chiama rapporto fra i due numeri il quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo, cioè a : b. Si chiama invece, rapporto inverso il quoziente ottenuto dividendo il secondo per il primo, cioè b : a. Tale numero sarà un numero razionale esprimibile sotto forma di frazione. Esempi di rapporti Rapporto fra numeri: è il numero che si ottiene dividendo il primo numero per il secondo. Rapporto tra grandezze omogenee: è il numero che si ottiene dividendo la prima grandezza per la seconda (o la misura della prima grandezza rispetto alla seconda). Rapporto fra grandezze eterogenee: è la grandezza che si ottiene dividendo la prima grandezza per la seconda (2 : 5 = 0,4) (15kg : 3kg = 5kg) (40m : 5s = 8m/s) MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

99 In un rapporto, il dividendo viene detto antecedente e il divisore conseguente. Luguaglianza di due rapporti è una proporzione: a : b = c : d Tale uguaglianza si legge in questo modo: Il rapporto fra a e b è uguale al rapporto fra c e d oppure: a sta a b come c sta a d. I numeri che compaiono nella proporzione vengono detti termini della proporzione. In particolare il primo e il quarto vengono detti estremi, il secondo e il terzo medi. Una proporzione si dice continua se i medi sono uguali Esempio:36 : 12 = 12 : 4 In generale la forma di una proporzione continua è la seguente: a : b = b : c In una proporzione continua b viene detto medio proporzionale MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

100 La proprietà fondamentale In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. SE a : b = c : d ALLORA b x c = a x d Esempi 7 : 2 = 21 : 62 x 21 = 7 x 6 = 42 Grazie alla proprietà fondamentale possiamo quindi verificare se quattro numeri, in un dato ordine, formano una proporzione. Adesso andremo a vedere come, sfruttando la proprietà fondamentale, è possibile calcolare un termine incognito conoscendo gli altri termini della proporzione. MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

101 Poniamoci una domanda su un problema abbastanza semplice: se un operaio percepisce 900 in un mese quanti euro percepirà in due mesi e mezzo? In questo caso, basterà moltiplicare 900 per 2,5 e otterremo il risultato. Ma se pensiamo il problema in termini di rapporti tra i termini numerici che vi compaiono, potremmo andare a scrivere la seguente proporzione: 900 : 1 = x : 2,5 Se applichiamo la proprietà fondamentale otteniamo: 1 x = 900 2,5 Il termine incognito a questo punto sarà dato proprio dal prodotto tra i termini numerici dati. Quindi attraverso la proprietà fondamentale possiamo calcolare il valore dellincognita tenendo conto ogni volta della posizione che essa occupa allinterno della proporzione. In particolare: MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

102 Se il termine incognito è un estremo, esso si calcola dividendo il prodotto dei medi per lestremo noto. Se il termine incognito è un medio, esso si calcola dividendo il prodotto degli estremi per il medio noto. Se la proporzione è continua e il termine incognito è un medio allora esso sarà dato dalla radice quadrata del prodotto degli estremi; se il termine incognito invece sarà un estremo lo si otterrà dividendo il quadrato del medio per laltro estremo. Esempi x : 3 = 4 : 9 Per la proprietà fondamentale 3 4 = x 9 e quindi Esempi 5 : x = 15 : 7 SE a : b = b : c ALLORA b b = a c. Cioè b 2 = a c. Dunque e mentre Esempi3 : x = x : 12 MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

103 Proprietà delle proporzioni Le proporzioni godono di interessanti e utilissime proprietà che ne fanno uno strumento molto potente nella risoluzione di problemi riguardanti i più diversi ambiti. Riuscire ad applicare nella maniera corretta tali proprietà è fondamentale nella risoluzione di tali problemi. Vediamole tutte quante. PROPRIETA DELLINVERTIRE Data la proporzione a : b = c : d, poiché, se due rapporti sono uguali, lo sono anche i loro inversi, si può scambiare di ogni posto ogni antecedente col proprio conseguente, e la proporzione resta valida. SE a : b = c : d ALLORA b : a = d : c Esempi 6 : 3 = 24 : 12diventa 3 : 6 = 12 : 24 9 : 2 = 45 : 10diventa 2 : 9 = MENU PROPORZIONI MENU GENERALE

104 PROPRIETA DEL PERMUTARE In ogni proporzione, poiché il prodotto dei medi è eguale al prodotto degli estremi e il prodotto è commutativo, è possibile scambiare di posto i medi fra loro e/o gli estremi fra loro, e la proporzione resta valida. SE a : b = c : d ALLORA Esempio 4 : 6 = 20 : 30 permutando i medi4 : 20 = 6 : 30 permutando gli estremi30 : 6 = 20 : 4 Se in una proporzione i medi e gli estremi vengono permutati simultaneamente si ottiene un risultato banale cioè la proporzione scritta a rovescio. Esempio7 : 5 = 21 : 15diventa 15 : 21 = 5 : 7 MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

105 PROPRIETA DEL COMPORRE In una proporzione, la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo (o al quarto). a : b = c : d (a + b) : a = (c + d) : c oppure (a + b) : b = (c + d) : d Esempi 4 : 7 = 12 : 21 Applicando la proprietà del comporre otteniamo: (4 + 7) : 4 = ( ) : 12 cioè 11 : 4 = 33 : 12 Quella che abbiamo ottenuto è una nuova proporzione. Infatti: 4 33 = = 132. MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

106 PROPRIETA DELLO SCOMPORRE La differenza fra il primo e il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza fra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto). Data la proporzione : a : b = c : d, se a > b e c > d si ha che (a – b) : a = (c – d) : c oppure (a – b) : b = (c – d) : d; se, invece, a < b e c < d, prima di eseguire le sottrazioni si dovrà applicare ai termini della proporzione la proprietà dellinvertire. Esempio 7 : 2 = 28 : 8 Applichiamo la proprietà dello scomporre: (7 – 2) : 2 = (28 – 8) : 8 cioè 5 : 2 = 20 : 8 Si è ottenuta una nuova proporzione. Infatti 2 20 = 5 8 = 40 MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

107 Le proprietà del comporre e dello scomporre si rivelano utilissime quando si tratta di risolvere problemi del tipo somma-rapporto e del tipo differenza-rapporto. Esempio Il rapporto fra due numeri è 2/5 e la loro somma è uguale a 40. Determinare i due numeri. x + y =40x :y = 2 : 5 Applicando la proprietà del comporre otteniamo: (x + y) : x = (2 + 5) : 2 40 : x = 7 : 2 Determina due numeri la cui differenza è pari a 22 e il cui rapporto è uguale a 3/2.(devi applicare la proprietà dello scomporre) Esercizio MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

108 Esercizi 1)Trova quali dei seguenti rapporti sono equivalenti a 21/9: 3/7; 7/3; 25/13;210/90; 49/21 2) Calcola il valore di x 3) Calcola il, termine incognito 4) Trova due numeri sapendo che la loro somma è 45 e il loro rapporto 4/5 5) Nellanidride solforica il rapporto fra le masse di zolfo e di ossigeno è 2/3. Quanti grammi di zolfo sono contenuti in 250g di anidride solforica? 6) Se Mario e Carlo hanno in tutto 240 figurine e Carlo ne possiede i 3/5 di quelle di Mario, quante ne ha ciascuno? MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

109 Grandezze direttamente ed inversamente proporzionali Prima di analizzare nei dettagli largomento riguardante la proporzionalità diretta e inversa fra grandezze, è opportuno ritornare brevemente su un concetto tipicamente matematico che trova largo uso nelle scienze sperimentali: quello di funzione. Si considerino due grandezze qualsiasi che per comodità indichiamo con x e y. Spesso si verifica (soprattutto in fisica) che scelte le due grandezze in modo opportuno, al variare della prima (la x) anche la seconda (la y) subisca variazioni. Se poi la legge è tale che ad ogni valore assunto dalla x, è possibili associare uno ed un solo valore della y diremo allora che y è funzione di x. Denoteremo questa condizione con la scrittura y = f(x) nella quale la grandezza x viene detta variabile indipendente mentre la grandezza y variabile dipendente nel senso che i valori assunti da questa dipendono da quelli assegnati alla x. MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

110 Consideriamo ora unesperienza nella quale vengono pesati blocchetti di ferro di volume assegnato e rispettivamente uguale a 1, 2, 3, 4, 5, 6 cm 3. La tabella che segue mostra i valori del peso al variare del volume. Volume (cm 3 ) Peso (g) Osservando attentamente la tabella ci si rende conto che esiste una regolarità tra i valori assunti dalle due grandezze fisiche, e cioè quando il volume raddoppia, triplica, ecc., anche il peso raddoppia, triplica, ecc… Possiamo esprimere questa regolarità anche notando che il rapporto tra il peso P ed il volume V si mantiene costante. Infatti: MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

111 In generale quando due grandezze x e y sono tali che il loro rapporto si mantiene costante diremo allora che le due grandezze sono direttamente proporzionali. In formule scriveremo : (dove k rappresenta una qualsiasi costante) e chiameremo questa legge della proporzionalità diretta. Si considerino ora linsieme dei rettangoli aventi per area un valore dato A. Se si indicano con b e h rispettivamente la base e laltezza dei rettangoli in questione, lespressione che determina larea sarà b h = A Anche in questo caso tra le due grandezze esiste una dipendenza ma di tipo completamente diverso da quella vista sopra. Ora infatti è immediato riconoscere che se il valore di b raddoppia, triplica ecc., affinchè larea si mantenga sempre uguale ad A. occorre necessariamente che il valore di h diventi rispettivamente la metà, un terzo, ecc. MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

112 In generale quando due grandezze x e y sono tali che il loro prodotto si mantiene costante diremo allora che le due grandezze sono inversamente proporzionali. In formule scriveremo x y = k (k costante qualsiasi) e chiameremo questa legge della proporzionalità inversa. La rappresentazione attraverso una tabella può aiutare a comprendere meglio quanto è stato detto. Posto A = 24 cm 2 assegniamo valori arbitrari alla base b e determiniamo i corrispondenti valori dellaltezza h. base b (cm) Altezza h (cm) MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

113 ESERCIZI 1) Stabilisci se tra le seguenti coppie di grandezze variabili esiste una relazione di proporzionalità diretta, inversa oppure non esiste alcun legame di proporzionalità. DirettaInversaNessun legame Calorie assimilate e peso di una persona Superficie e altezza di un trapezio Strada percorsa e benzina consumata da unauto Numero di operai e tempo di esecuzione di un lavoro Crescita di una pianta e tempo MENU PROPORZIONIMENU GENERALE

114 2) Individua le relazioni fra gli elementi delle seguenti tabelle e trova gli elementi mancanti. x24610 y123… x24816 y842… x15810 y37 … x4576 y91115… MENU PROPORZIONIMENU GENERALE


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