Some aspects of the diffusion of tensor analysis in post-Unitarian Italy journals Luca Dell’Aglio 6th ESHS Lisbon 2014 Session.

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1 Some aspects of the diffusion of tensor analysis in post-Unitarian Italy journals Luca Dell’Aglio luca.dellaglio@unical.it 6th ESHS Lisbon 2014 Session 29: Mathematical specialization, editorial strategies and audiences of 18th to 20 th century periodicals

2 Italian scientific journals and absolute differential calculus Annali di Matematica pura ed applicata Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo In particular:

3 The basic concepts of the theory - covariant differentiation  1886-1887 - tensor  1888-1889 First systematic expositions - Delle derivazioni covarianti e controvarianti e del loro uso nella analisi applicata  1888 - Résumé de quelques travaux sur les systèmes variables de fonctions associés à une forme différentielle quadratique  1892 - Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications(with T. Levi-Civita)  1901 Use in general relativity  1912 The beginning of absolute differential calculus

4 Ricci-Curbastro ’ s early papers Ricci-Curbastro G. 1877a, “Sopra un sistema di due equazioni differenziali lineari …”, Giornale di matematiche, 15, pp. 135-153 Ricci-Curbastro G. 1877b, “‘Sopra la deduzione di una nuova legge di elettrodinamica’, ‘Sopra il modo di agire delle forze pondero- ed elettromotrici fra due conduttori filiformi’ - per B. Clausius”, Il Nuovo Cimento, s. 3, t. 1, pp. 58-72; 89-106 Ricci-Curbastro G. 1877c, “Sulla teoria elettrodinamica di Maxwell”, Il Nuovo Cimento, s. 3, t. 2, pp. 5-27; 93-116 Ricci-Curbastro G. 1882, “Sulla funzione potenziale di conduttori di correnti galvaniche costanti”, Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, s. 5, t. 12, pp. 1025-1048 differential invariants Ricci-Curbastro G. 1884, “Principi di una teoria delle forme differenzali quadratiche”, Annali di Matematica pura ed applicata, s. 2, t. 12, pp. 135-167 Ricci-Curbastro G. 1886a, “Sui parametri e gli invarianti delle forme quadratiche differenziali”, Annali di Matematica pura ed applicata, s. 2, t. 14, pp. 1-11 definition of covariant differentiation Ricci-Curbastro G. 1887a, “Sulla derivazione covariante ad una forma quadratica differenziale”, Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, s. 4, t. 3, pp. 15-18. definition of tensor Ricci-Curbastro G. 1889, “Sopra certi sistemi di funzioni”, Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, s. 4, t. 5 1, pp. 112-118.

5 Theory of algebraic forms (Aronhold) Ricci-Curbastro 1884, 1886 Christoffel 1869 Intrinsic differential geometry (Gauss 1827, Riemann 1854 (1868)) Casorati 1860-61 Lipschitz 1869 Beez Algebraic theory of differential invariants von Brill

6 Christoffel 1869 algebraic reduction of Aequivalenzproblem – algorythms of covariant differentiation Ricci-Curbastro1887 analytical interpretation of Christoffel’s algorythms (extension of Lamé’s method) Theory of differential parameters (Lamé, Beltrami) – ‘more natural’ derivatives in the study of the equations of mathematical physics Ricci-Curbastro 1886 algebraic reduction of the theory of differential parameters – use of Christoffel’s algorythms Ricci-Curbastro 1884 Invariant theory of differential equations Algebraic theory of differential invariants

7 Initial aspects of absolute differential calculus (i) algebraic theory of differential invariants; (ii) method in the theory of partial differential equations; (iii) extension of classical analysis in Riemannian spaces; (iv) method of expression of laws of invariant nature.

8 Early developments of absolute differential calculus 1892  Ricci-Curbastro: geometrical works 1896-1899  Levi-Civita: mechanics, potential theory 1895  Geometry (U. Amaldi, R. Banal, L. Bianchi, U. Cisotti, A.F. Dall’Acqua, A. Finzi, G. Fubini, E.E. Levi, A. Tonolo) Mathematical physics (U. Amaldi, A.F. Dall’Acqua, G. Fubini, A. Malipiero, A. Viterbi) Analysis (E. Pascal, T. Levi-Civita)

9 Annali di Matematica pura ed applicata, 1 Casorati F. 1860-1861, “Ricerca fondamentale per lo studio di una certa classe di proprietà delle superficie curve”, s. 1, t. 3, pp. 363-379, t. 4, pp. 177-185. Ricci-Curbastro G. 1884, “Principi di una teoria delle forme differenzali quadratiche”, s. 2, t. 12, pp. 135-167. Ricci-Curbastro G. 1886a, “Sui parametri e gli invarianti delle forme quadratiche differenziali”, s. 2, t. 14, pp. 1-11. Ricci-Curbastro G. 1887b, “Sui sistemi di integrali indipendenti di una equazione lineare ed omogenea a derivate parziali del 1° ordine”, s. 2, t. 15, pp. 127-159.

10 Annali di Matematica pura ed applicata, 2 Banal R. 1896, “Sulle varietà a tre dimensioni con una curvatura nulla e due eguali”, s. 2, t. 24, pp. 213-240. Dall'Acqua A.F. 1901b, “Sulla teoria delle congruenze di curve in una varietà qualunque a tre dimensioni”, s. 3, t. 6, pp. 1-40. Levi-Civita T. 1896a, “Sulle trasformazioni delle equazioni dinamiche”, s. 2, t. 24, pp. 255-300.

11 Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, 1 Ricci-Curbastro’s notes Ricci-Curbastro G. 1886b, “Sui sistemi di integrali indipendenti di una equazione lineare ed omogenea a derivate parziali del 1° ordine”, s. 4, t. 2, pp. 190-194. Ricci-Curbastro G. 1887a, “Sulla derivazione covariante ad una forma quadratica differenziale”, s. 4, t. 3, pp. 15-18 Ricci-Curbastro G. 1889, “Sopra certi sistemi di funzioni”, s. 4, t. 5 1, pp. 112-118 Ricci-Curbastro G. 1893b, “Dei sistemi di coordinate atti a ridurre le espressione del quadrato dell'elemento lineare alla forma ds 2 =(U+V)(du 2 +dv 2 )”, s. 5, t. 2 1, pp. 73-81. Ricci-Curbastro G. 1893c, “A proposito di una Memoria sulle linee geodetiche del sig. G. Koenigs”, s. 5, t. 2 2, pp. 146-148. Ricci-Curbastro G. 1893d, “Alcune parole a proposito della precedente risposta del sig. Koenigs”, s. 5, t. 2 2, pp. 338-339. Ricci-Curbastro G. 1895b, “Sulla teoria degli iperspazi”, s. 5, t. 4 2, pp. 232-237. Ricci-Curbastro G. 1902, “Formole fondamentali nella teoria generale delle varietà e della loro curvatura”, s. 5, t. 11 1, pp. 355-362. Ricci-Curbastro G. 1905, “Sui gruppi continui di movimenti rigidi negli iperspazii”, s. 5, t. 14 2, pp. 112-118.

12 Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, 2 Padova’s notes and Bianchi’s identities Padova E. 1889a, “Sulle deformazioni infinitesime”, s. 4, t. 5 1, pp. 174-178. Padova E. 1889b, “La teoria di Maxwell negli spazi curvi”, s. 4, t. 5 1, pp. 875-880. Padova E. 1890, “Estensione del problema di De St. Venant”, s. 4, t. 6 2, pp. 95-102.  Bianchi L. 1902, “Sui simboli a quattro indici e sulla curvatura di Riemann”, s. 5, t. 11 1, pp. 3-7.

13 Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, 3 Geometry Amaldi U., 1902b, “Sulle superficie che contengono sistemi doppi ortogonali isotermi di cerchi geodetici”, s. 5, t. 11 1, pp. 198-204; 237-242. Banal R. 1897, “Sugli spazii a curvatura costante”, s. 5, t. 6 2, pp. 357-362. Banal R. 1898, “Sugli spazii a curvatura costante”, s. 5, t. 7 1, pp. 7-15. Banal R. 1899, “Sulla deformabilità delle superficie a tre dimensioni”, s. 5, t. 8 2, pp. 13-22. Dall'Acqua A.F. 1903a, “Sulle terne ortogonali di congruenze a invarianti costanti”, s. 5, t. 12 1, pp. 153-158. Fubini G. 1905, “Sulle coppie di varietà geodeticamente applicabili”, s. 5, t. 14 1, pp. 678-683; s. 5, t. 14 2, pp. 315-322. Levi-Civita T. 1899a, “Sulle congruenze di curve”, s. 5, t. 8 1, pp. 239-246.

14 Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, 4 Mathematical physics Dall'Acqua A.F. 1903b, “Moti di un punto libero a caratteristiche indipendenti”, s. 5, t. 12 1, pp. 243-249. Dall'Acqua A.F. 1903c, “Traiettorie dinamiche di un punto libero, sollecitato da forze conservative”, s. 5, t. 12 1, pp. 332-340. Viterbi A. 1900, “Sulla trasformazione delle equazioni della dinamica a due variabili”, s. 5, t. 9 1, pp. 66-70; 97-102. Viterbi A. 1901, “Sui casi d'equilibrio d'un corpo elastico isotropo, che ammettono sistemi isostatici di superficie”, s. 5, t. 10 1, pp. 408-412.

15 Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, 5 Analysis Pascal E. 1902, “Sulla teoria invariantiva delle espressioni ai differenziali totali di second'ordine, e su di una estensione dei simboli di Christoffel”, s. 5, t. 11 2, pp. 105-112. Pascal E. 1903a, “Introduzione alla teoria delle forme differenziali di ordine qualunque”, s. 5, t. 12 1, pp. 325-332. Pascal E. 1903b, “Sulla costruzione dei simboli a carattere invariantivo nella teoria delle forme differenziali di ordine qualunque”, s. 5, t. 12 1, pp. 367-377. Pascal E. 1906c, “Sui simboli di Riemann nel Calcolo differenziale assoluto”, s. 5, t. 15 1, pp. 670-674.

16 Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, 1 Banal R. 1895, “Di una classe di superficie a tre dimensioni a curvatura totale nulla”, s. 7, t. 6, pp. 998-1004. Cattaneo P. 1902, “Sulle congruenze di linee in uno spazio piano a tre direzioni”, s. 8, t. 4, pp. 41-50. Cisotti U. 1908-1909, “Espressione del prodotto vettoriale in coordinate generali”, s. 8, t. 11, 68, pp. 33-37. Dall'Acqua A.F. 1900, “Ricerche sulle congruenze di curve in una varietà qualunque a tre dimensioni”, s. 8, t. 2, 59, pp. 245-252. Dall’Acqua A.F. 1901a, “Alcune deformazioni delle congruenze normali”, s. 8, t. 3, 60, pp. 561-565. Malipiero A. 1901, “Sulla trasformazione delle equazioni della dinamica”, s. 8, t. 3, 60, pp. 469-485. Pascal E. 1905-1906, “Sulle matrici formate cogli elementi di un sistema covariante”, 65, pp. 1117-1120.

17 Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, 2 Levi-Civita’s papers Levi-Civita T. 1893-1894, “Sugli invarianti assoluti”, s. 7, t. 5, pp. 1447-1523. Levi-Civita T. 1896b, “Sul moto di un sistema di punti materiali soggetti a resistenze proporzionali alle rispettive velocità”, s. 7, t. 7, pp. 1004-1008. Levi-Civita T. 1897-1898, “Sopra una trasformazione in sé stessa dell'equazione ∆ 2 ∆ 2 =0”, s. 7, t. 9, pp. 1399-1410. Levi-Civita T. 1913, “Sulla trasformazione delle equazioni lineari a derivate parziali del secondo ordine”, 72, pp. 1331- 1357.

18 Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, 3 Ricci-Curbastro G. 1882, “Sulla funzione potenziale di conduttori di correnti galvaniche costanti”, s. 5, t. 12, pp. 1025-1048. Ricci-Curbastro’s geometrical papers Ricci-Curbastro G. 1893a, “Di alcune applicazioni del Calcolo differenziale assoluto alla teoria delle forme differenziali quadratiche binarie e dei sistemi a due variabili”, s. 7, t. 4, pp. 1336-1364. Ricci-Curbastro G. 1894, “Sulla teoria delle linee geodetiche e dei sistemi isotermi di Liouville”, s. 7, t. 5, pp. 643-681. Ricci-Curbastro G. 1895a, “Sulla teoria intrinseca delle superficie ed in ispecie di quelle di 2° grado”, s. 7, t. 6, pp. 445-488. Ricci-Curbastro G. 1897, “Della equazione fondamentale di Weingarten nella teoria delle superficie applicabili”, s. 7, t. 8, pp. 1230-1238. Ricci-Curbastro G. 1904, “Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque”, s. 8, t. 6, 63, pp. 1233-1239.

19 Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1 Amaldi U. 1902a, “Tipi di potenziali che, divisi per una funzione fissa, si possono far dipendere da due sole variabili”, 16, pp. 1- 45. Dall'Acqua A.F. 1912, “Le equazioni di Hamilton-Jacobi che si integrano per separazione di variabili”, 33, pp. 341-351. Fubini G. 1904, “Sulle traiettorie di un problema dinamico”, 18, pp. 301-310.

20 Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 2 Foundational papers Pascal E. 1906b, “Sulla equivalenza di due sistemi di forme differenziali multilineari, e su quella di due forme differenziali complete di 2° ordine”, 22, pp. 97-105. Pascal E. 1907, “Su di una generalizzazione delle forme differenziali e dei sistemi covarianti del Calcolo differenziale assoluto”, 23, pp. 38-52. Sinigallia L. 1903a, “I simboli di Christoffel estesi per le forme differenziali di primo ordine e di grado qualunque”, 17, pp. 287- 296. Sinigallia L. 1905, “Sugli invarianti differenziali”, 19, pp. 161-184.

21 Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 3 Levi-Civita T. 1917, “Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura riemanniana”, 42, pp. 173-215. Severi F. 1917, “Sulla curvatura delle superficie e varietà”, 42, pp. 227-259. Palatini A. 1919, “Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton”, 43, pp. 203-212.

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