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ANALISI NUMERICA. Introduzione Importanza Avvento dei calcolatori Tecniche: metodi iterativi (sperimentali) differenze finite elementi finiti gusci finiti.

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1 ANALISI NUMERICA

2 Introduzione Importanza Avvento dei calcolatori Tecniche: metodi iterativi (sperimentali) differenze finite elementi finiti gusci finiti (shell) Numerosi campi di applicazione

3 Le differenze finite FORMULAZIONE Rappresentazione di una derivata come una serie di Taylor troncata Definita una funzione T(x) (temperatura in funzione dello spazio), si può scrivere il suo sviluppo nell’intorno di x i Troncando (commettendo un errore) lo sviluppo al 2° termine si ha:

4 Introducendo la simbologia comune nell’analisi numerica si ha: A x ° ° ° ° i= T 1 T 2 T 3 T 4 ° ° ° T i-1 T i T i+1 DxDx Dallo sviluppo in serie di Taylor: B

5 Sia la relazione A che la relazione B rappresentano la derivata su x i : AForward Difference Form BBackward Difference Form Sottraendo le espressioni e trascurando i termini di grado superiore si ha: C T i-1 T i T i+1 Differenza finita centrale

6 In tutte le forme A B C è presente un errore di troncamento: o(h) o(h) o(h 2 ) proporzionale a  x  x (  x) 2 Sommando le espressioni: si ottiene: derivata seconda

7 In notazione di analisi numerica: T i-1 T i T i+1 xx Si riesce quindi ad esprimere la derivata prima e seconda della temperatura in un punto del dominio in funzione dei valori di temperatura nel punto e nel suo intorno. L’analisi alle differenze finite consiste nel sostituire le equazioni differenziali con le espressioni approssimate appena introdotte, complete delle condizioni al contorno.

8  x=  y j i x y TiTi Scriviamo le equazioni in base alla forma A (forward):

9 Si possono sostituire le equazioni differenziali con le forme approssimate o si può analizzare il bilancio termico; ciò consente un migliore controllo sul fenomeno fisico (si applica alle condizioni al contorno). L’equazione che regola la distribuzione di temperatura (nel caso stazionario) è: T i,j Bilancio termico rispetto all’area tratteggiata sostituendo, si ottiene: Risolvendo rispetto a T(j,i) e ponendo

10 Applicando l’ultima equazione a tutti i nodi (N) si ottengono N equazioni in N incognite. si ottiene: In forma classica si può scrivere, supponendo che  = 1 (  x =  y) e che non vi sia generazione di calore: T i,j T i,j+1 T i,-1j T i,j-1 T i,-1j ovvero, la temperatura nel nodo i,j rappresenta la media aritmetica dei nodi più vicini.

11 REGIME STAZIONARIO SIMMETRIA CILINDRICA r  z j = 0 i = 0 j i L’equazione si può riscrivere, ponendo i = r e j = z r i = i  r e z i = j  z

12 Nei casi più comuni: quindi: con e risolvendo rispetto a T ij si ottiene:

13 Bilancio sull’area tratteggiata in regime stazionario CONDIZIONI AL CONTORNO Esempio Schematizzazione:  x/2 BILANCIO = T1T1 T3T3 T2T2 ToTo

14 Risolvendo rispetto a T 0 Numero di Biot discretizzato N = E + I E = n° nodi esterni I = n° nodi interni E Equazioni contorno I Equazioni interne ESEMPIO BIDIMENSIONALE (ALETTA) TCTC Fluido T  DOMINIO DI N NODI T 1 = T 6 = T 7 = T C T 4 T 9 T 3 T 8 T 2 condizioni al contorno (unico interno)

15 Temperatura nodo m al tempo j Schema esplicito (monodimensionale) Reticolo monodimensionale La derivata temporale rispetto al tempo si scrive in forma approssimata: Per lo spazio: CONDUZIONE REGIME VARIABILE La si scrive:

16 Risolvendo rispetto alla (temperatura dell’istante successivo) si ottiene: dove: è il numero di Fourier discreto Con questo metodo il valore della temperatura degli istanti successivi si trova senza metodi iterativi ma direttamente dai valori precedenti (esplicito) m = … cond. iniz.j = 0 m = …… m j = 1

17 CONDIZIONE STABILITA’ NODI INTERNI sempre Tale condizione produce limitazioni sulla scelta di  Esempio ottengo Istante j se introduco termodinamicamente impossibile T m-1 m m+1 j j+1 T Si dimostra che per evitare oscillazioni divergenti di temperatura i coefficienti devono essere positivi

18 CASO BIDIMENSIONALE risolvendo rispetto a  x =  ym, n con Condizione di stabilità

19 CONDIZIONI AL CONTORNO (CASO MONODIMENSIONALE) Fluido h,T  T1T1 T2T2 xx Bilancio energetico = 3 da cui: (ulteriore limitazione sui nodi interni) Condizione di stabilità

20 Limitazioni per la stabilità talvolta impongono l’uso schema implicito (stabilità illimitata) xx T1T1 T2T2 T , h SCHEMA IMPLICITO Sistema di equazioni algebriche simultanee con tre incognite (metodi iterativi) Viene fatta all’istante j+i Condizioni al contorno


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