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IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA I prodotti notevoli dei polinomi.

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1 IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA I prodotti notevoli dei polinomi

2 INDICE Blaise Pascal, nel 1654, scrisse un intero libro, “Le Triangle Aritmétique”, dedicato al triangolo di Tartaglia e alle sue proprietà, in particolare nel campo del calcolo combinatorio. Questo studio fu tanto iportante che portò, in seguito, a ribattezzare il triangolo di Tartaglia con il nom di “TRIANGOLO di PASCAL” e come tale è ormai noto in tutto il mondo. Più giustamente, però, si dovrebbe parlare di “TRIANGOLO CINESE”; in un libro cinese del 1303 intitolato “Prezioso Specchio dei Quattro Elementi”, scritto dal matematico cinese Zhu Shijie, tale triangolo appare con il nome di “Tavola del Vecchio Metodo dei Sette Quadrati Moltiplicatori ” Niccolò Fontana: la storia --> vai Costruzione del triangolo --> vai Proprietà --> vai Il Triangolo nella storia --> vai FINE bibliografia --> vai

3 Il triangolo di Tartaglia è stato ideato da Niccolò Fontana, detto il Tartaglia, nato a Brescia nel 1499 e morto a Venezia il 13 Dicembre Il soprannome gli venne dato per un difetto di pronuncia causatogli da una ferita riportata al viso durante il saccheggio di Brescia nel Insegnò a Verona, Mantova e a Venezia. Oltre al triangolo, che porta anche il suo nome, il matematico ebbe altre intuizioni: nel 1535 risolvendo dei problemi di terzo grado (equazioni di 3° grado) riuscì a trovare una soluzione sempre valida cioè: x3+px+q. Nel 1546 comparve l’opera più importante di Tartaglia dal titolo “Quesiti et invenzioni diverse”, in quest’opera sono risolti problemi di balistica meccanica e fabbricazioni di esplosivi ma l’argomento principale rimane l’algebra. Nel 1560 venne stampato il suo “General trattato di numeri et misure” opera enciclopedica di matematica elementare dove si trova anche il famoso TRIANGOLO. Gli si deve in oltre la prima traduzione in volgare degli Elementi di Euclide. STORIA

4 RigaSviluppo delle potenze del binomio: (a+b) n 01(a+b) 0 = 1 11 (a+b) 1 = 1a + 1b = a + b (a+b) 2 = 1a 2 + 2ab + 1b (a+b) 3 = 1a 3 + 3a 2 b +3ab 2 + 1b (a+b) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 + 1b (a+b) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 +10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1b (a+b) 6 = 1a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b a 3 b a 2 b 4 + 6ab 5 + 1b Il «Triangolo di Tartaglia», è una disposizione geometrica a forma di triangolo dei coefficienti binomiali, ossia dei coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) elevato ad una qualsiasi potenza n La costruzione del Triangolo di Tartaglia è estremamente semplice se si considera che ogni elemento di una riga è la somma di due elementi della riga precedente. Costruiamo, per esempio la sesta riga a partire dalla quinta riga: La sesta riga sarà: 1 (1+5) (5+10) (10+10) (10+5) (5+1) 1 Cioè: COSTRUZIONE

5 PROPRIETÁ Notiamo che: Osservando le diagonali da qualsiasi lato del triangolo la prima diagonale è sempre formata da tutti 1. La seconda è formata dalla successione di tutti i numeri interi (1,2,3,4,5,6,7…) Nella terza, formata dai numeri 1,3,6,10, 15, 21, 28, 36, 45 …, riconosciamo i numeri triangolari, cioè la somma dei primi n numeri naturali: 1 = 1 3 = = = = = = =

6 La somma degli elementi della riga N-esima è 2N: = 2 = = 4 = = 8 = = 16 = = 32 = = 64 = 26 PROPRIETÁ I numeri formati dalle cifre delle prime 4 righe sono le potenza di 11: 11 = = = = 114

7 Nel Triangolo di Tartaglia, troviamo anche i numeri di Fibonacci. Per evidenziarli, disponiamo il Triangolo in questo modo: NUMERI DI FIBONACCI Si tratta di una successione di numeri in cui un numero è il risultato della somma dei due precedenti. La sequenza prende il nome dal matematico pisano del XIII secolo Leonardo Fibonacci e i termini di questa successione sono chiamati numeri di Fibonacci. L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli. PROPRIETÁ La somma dei numeri delle diagonali sono proprio i numeri di Fibonacci:

8 STORIA Eppure il triangolo non fu opera interamente sua: OMAR KHAYYAM (1050c./1122), noto in Occidente come uno dei maggiori poeti persiani, nella sua opera Algebra espone una regola da lui trovata per determinare le potenze successive di un binomio. Anche nel trattato di AL-KASHI (morto verso il 1436), compare il teorema del binomio nella forma del triangolo di Pascal. Più antico è il triangolo del matematico cinese CHU-SHIH-CHIEH (XIII secolo) che apre la sua opera con il triangolo di Tartaglia, intitolandolo Tavola del vecchio metodo dei sette quadrati moltiplicatori. Tartaglia fu il primo ad esporlo nel suo testo General trattato di numeri et misure del 1556, ma un secolo dopo BLAISE PASCAL ( ) lo caratterizzò con nuove proprietà fino ad allora sconosciute e lo rappresentò usando la forma del triangolo rettangolo. Anche NEWTON ( ) lo ripropose, in modo completamente nuovo, nei suoi studi sul calcolo delle probabilità. Per capire meglio l‘opera di Tartaglia, è necessario risalire fino a LEONARDO DA PISA, detto FIBONACCI, che visse nel XIII secolo e fu il più grande matematico del Medioevo. Divenne celebre per aver scritto il primo grande libro di matematica composto il Occidente, il Liber abaci. Parte del lavoro di Fibonacci è in realtà presente all‘interno del Triangolo di Tartagli Eppure il triangolo non fu opera interamente sua: OMAR KHAYYAM (1050c./1122), noto in Occidente come uno dei maggiori poeti persiani, nella sua opera Algebra espone una regola da lui trovata per determinare le potenze successive di un binomio. Anche nel trattato di AL-KASHI (morto verso il 1436), compare il teorema del binomio nella forma del triangolo di Pascal. Più antico è il triangolo del matematico cinese CHU-SHIH-CHIEH (XIII secolo) che apre la sua opera con il triangolo di Tartaglia, intitolandolo Tavola del vecchio metodo dei sette quadrati moltiplicatori. Tartaglia fu il primo ad esporlo nel suo testo General trattato di numeri et misure del 1556, ma un secolo dopo BLAISE PASCAL ( ) lo caratterizzò con nuove proprietà fino ad allora sconosciute e lo rappresentò usando la forma del triangolo rettangolo. Anche NEWTON ( ) lo ripropose, in modo completamente nuovo, nei suoi studi sul calcolo delle probabilità. Per capire meglio l‘opera di Tartaglia, è necessario risalire fino a LEONARDO DA PISA, detto FIBONACCI, che visse nel XIII secolo e fu il più grande matematico del Medioevo. Divenne celebre per aver scritto il primo grande libro di matematica composto il Occidente, il Liber abaci. Parte del lavoro di Fibonacci è in realtà presente all‘interno del Triangolo di Tartagli Eppure il triangolo non fu opera interamente di Niccolò Fontana: OMAR KHAYYAM (1050c./1122), noto in Occidente come uno dei maggiori poeti persiani, nella sua opera Algebra espone una regola da lui trovata per determinare le potenze successive di un binomio. Più antico è il triangolo del matematico cinese CHU-SHIH-CHIEH (XIII secolo) che apre la sua opera con il triangolo di Tartaglia, intitolandolo Tavola del vecchio metodo dei sette quadrati moltiplicatori. Tartaglia fu il primo ad esporlo nel suo testo General trattato di numeri et misure del 1556, ma un secolo dopo BLAISE PASCAL ( ) lo caratterizzò con nuove proprietà fino ad allora sconosciute e lo rappresentò usando la forma del triangolo rettangolo. Anche NEWTON ( ) lo ripropose, in modo completamente nuovo, nei suoi studi sul calcolo delle probabilità. Per capire meglio l‘opera di Tartaglia, è necessario risalire fino a LEONARDO DA PISA, detto FIBONACCI, che visse nel XIII secolo e fu il più grande matematico del Medioevo. Divenne celebre per aver scritto il primo grande libro di matematica composto in Occidente, il Liber abaci. Parte del lavoro di Fibonacci è in realtà presente all‘interno del Triangolo di Tartaglia, come già visto.

9 BIBLIOGRAFIA: FINE Realizzato da: Angelo Stummo


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