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Bohr Fu grazie alle nuove idee della fisica quantistica che Bohr riuscì a «superare» le difficoltà incontrate da Rutherford, apportando una fondamentale.

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1 Bohr Fu grazie alle nuove idee della fisica quantistica che Bohr riuscì a «superare» le difficoltà incontrate da Rutherford, apportando una fondamentale «correzione» al modello planetario dell’atomo.

2 Gas rarefatto incandescente Gas rarefatto freddo Spettro a righe (discontinuo) Spettro continuo Spettro di assorbimento analisi spettrale Le ricerche di Bohr si basarono essenzialmente sull’analisi spettrale della luce emessa e assorbita da vari materiali. Si distinguono tre situazioni fondamentali. Sorgente densa calda

3 Emissione Assorbimento negativo  Utilizzando lo stesso gas, gli spettri di assorbimento ed emissione corrispondono come l’uno il negativo dell’altro. impronta digitale  Ogni gas ha uno spettro specifico (serie di righe spettrali) tanto da essere come la sua impronta digitale regolarità  Le righe non sono disposte a caso, ma sembrano seguire una certa regolarità. accumulo  Un aspetto particolare è l’accumulo delle righe man mano che si va verso lunghezze d’onda maggiori

4 Equazione di Rydberg zona riga λ In pratica, sostituendo a n 1 il numero d’ordine della zona spettrale osservata e a n 2 il numero d’ordine della riga all’interno della zona, con l’equazione di Rydberg si ottiene il valore della λ (colore) della riga analizzata. ubbidisce legge matematica! Le righe, in ogni zona, si «accumulano» da sx a dx. Non sono disposte a caso: si dimostrò che la loro posizione ubbidisce ad una legge matematica! Spettro dell’idrogeno Zone spettrali (n 1 ) Righe spettrali (n 2 ) Balmer Serie di Balmer Lyman Serie di Lyman Paschen Serie di Paschen Zona Visibile n 1 =2 R =costante di Rydberg n 1 = numero d’ordine di zona spettrale n 2 = numero d’ordine di riga λ λ = lunghezza d’onda (colore) Il gas idrogeno presenta righe ben precise nelle tre zone principali dello spettro (infrarossa, visibile, Ultravioletta). Zona alta frequenza n 1 =1 Zona I.F. n 1 =3

5 Bohr La nascente fisica dei «quanti» suggerì a Bohr la risposta. Di seguito, in sintesi, la strada seguita da Bohr per spiegare lo spettro dell’idrogeno alla luce della teoria quantistica. emissioneassorbimentoelettromagnetici sicuramente cariche elettriche variazione L‘emissione e l’assorbimento di segnali luminosi (elettromagnetici) da parte di un corpo materiale (es. gas idrogeno) sono sicuramente da collegare con le cariche elettriche all’interno degli atomi e con la variazione del loro stato di moto (dalla teoria di Maxwell), ma… Perché i colori emessi sono sempre e solo proprio quelli, con le posizioni e i valori ben precisi di λ? non si riusciva Ancora una volta, utilizzando le leggi classiche dell’elettromagnetismo (equazioni di Maxwell) non si riusciva a spiegare perché la serie di righe spettrali dell’idrogeno rispetta l’equazione empirica di Rydberg.

6 e - L=mvr  L’e -, in quanto corpo in moto circolare, ha un momento angolare L=mvr riposo e - mv 0 r 0 =k mv 0 = r 0 =  Considerando un atomo di H a riposo, il momento angolare dell’ e -  mv 0 r 0 =k. (m=massa ; v 0 = velocità a riposo; r 0 = raggio a riposo) r 0  Il raggio r 0 dell’atomo di H, da varie sperimentazioni, risultò 0,5 angstrom m e -  La massa m dell’ e - si conosceva grazie a Thomson e Millikan. e - v  La velocità dell’ e - v 0 l’aveva ricavata Rutherford. momento angolare L 0 Si potè, quindi, facilmente calcolare Il momento angolare L 0. L 0 mv 0 r 0 = h/2π Bohr, confrontando tale valore con i lavori di Planck, notò che valeva  L 0 = mv 0 r 0 = h/2π h= costante di Planck (dove h= costante di Planck). + _ V0V0V0V0 L=mv 0 r 0 r0r0r0r0 m

7 eccitato Un atomo, tuttavia, non rimane sempre a riposo: può essere eccitato. eccitato, Se eccitato, l’elettrone certamente cambia orbita (si allontana o si avvicina al nucleo) mrv mv 1 r 1 ≠ mv 0 r 0 La massa m si suppone rimanga invariata, ma il raggio r e la velocità v dovranno essere diversi da quelli a riposo per cui lo sarà anche il momento angolare  mv 1 r 1 ≠ mv 0 r 0. v1=v1= 2πmr 1 nhnh + V0V0V0V0 L=mv 0 r 0 r0r0r0r0 m Da questa formula si ricava … V1V1V1V1 r1r1r1r1 m condizione multiplo intero h/2π)  Bohr, riuscì a «far quadrare i conti», mettendo d’accordo dati sperimentali e teoria di Maxwell, ponendo la condizione che il nuovo momento angolare abbia un valore multiplo intero di quello a riposo (h/2π)  L 1 = mv 1 r 1 = nh/2π n L 1 = mv 1 r 1 = nh/2π (dove n = 1,2,3,4… numero intero). L 1 =mv 1 r 1

8 Considerando valido il modello planetario di Rutherford, in ogni momento  F el = -F c, cioè m x v 2 = K el q 2 r v1=v1= 2πmr 1 nhnh v0=v0= 2πmr 0 h riposoeccitazione Considerando i due momenti, a riposo ed in eccitazione avremo: e V 1 Sostituiamo la velocità V 1 utilizzando la precedente formula  m x n 2 h 2 4π2m2r124π2m2r124π2m2r124π2m2r12 = K el q 2 r n2h2 n2h2 n2h2 n2h2 4π2mr14π2mr14π2mr14π2mr1 = Si ricava il raggio K el q 2 4π 2 m n2h2 n2h2 n2h2 n2h2 r 1 = Cioè la distanza della nuova orbita n Osservando bene quest’ultima formula: solo n risulta variabile! (tutti gli altri parametri sono costanti). e - Questo significa che le distanze (raggi delle orbite) permesse all’e - non possono essere di qualsiasi valore, ma solo multiple intere della distanza minima possibile (0,5 angstrom per l’H)

9 Considerando l’atomo planetario, ad ogni orbita corrisponde una specifica energia. e - E T Passando, perciò, da una all’altra l’e - subirà una variazione della sua E T. E 0 E 1 Considerando due, riposo ed eccitato, avremo E 0 ed E 1. cambio di stato variazione ΔE=E 1 – E 0 Nel cambio di stato avremo una variazione di energia ΔE=E 1 – E 0 Riprendendo la formula di Rutherford per la E  E T = - ½ K el q 2 r Si avrà… - ½ - ½ K el q 2 r1r1r1r1 ½ r0r0r0r0 E 1 – E 0 = + ΔE= K el q 2 4π 2 m n2h2 n2h2 n2h2 n2h2 r =r =r =r = Nella diapositiva precedente abbiamo ricavato r 1 r 0 Sostituendo, rispettivamente r 1 e r 0, e semplificando l’equazione, si arriverà a… ΔE= 2K el 2 q 4 m π 2 n02h2n02h2n02h2n02h2 n02n02n02n02 n12n12n12n ()

10 ΔE= 2K el 2 q 4 m π 2 n02h2n02h2n02h2n02h2 n02n02n02n02 n12n12n12n () e - momentaneamenteE 1 E 0 Ovviamente l’e - (quindi l’atomo) assume momentaneamente il nuovo valore di energia E 1 (stato eccitato) per poi ritornare, immediatamente, a quello di riposo E 0. ΔE nullanulla Dato che vale la legge della conservazione dell’energia, queste variazioni di energia ΔE non vengono dal nulla, né svaniscono nel nulla… fornirgli Per eccitare un atomo occorre fornirgli energia dall’esterno (calore, elettricità, luce ecc.). Per tornare allo stato di riposo l’atomo, deve cedere la stessa quantità di energia assorbita. e - solo elettromagnetica Una carica elettrica, come lo è l’e -, può assorbire energia di varia natura, ma può cederla solo in forma elettromagnetica (radiazioni). ΔE spettro Visto, inoltre, che energia assorbita e ceduta devono coincidere (conservazione dell’energia), noi possiamo conoscere il valore di ΔE tra due stati (riposo ed eccitato) analizzando lo spettro dei segnali elettromagnetici dell’atomo (righe di assorbimento o di emissione). n numeri interi Osservando bene anche questa equazione, come la precedente le uniche variabili sono le n, cioè numeri interi (1,2,3,4…). ΔE quantizzati Si può ben intuire, quindi, che i valori di ΔE non possono essere causali e imprevedibili, ma devono assumere valori ben intervallati tra loro, cioè «quantizzati». ben precise Lo spettro, allora, sarà costituite da ben precise righe di colori.

11 K el, q, m, π, h, n o C R Ora i valori di K el, q, m, π, h, n o C sono fissi e noti: possiamo indicarli con una sola lettera R. f f=C/λ C La frequenza d’onda f è proporzionalmente inversa alla lunghezza d’onda, f=C/λ (dove C=velocità della luce) sostituendo  ΔE= hf Quindi posso ammettere che la più piccola differenza di energia, assorbita o emessa da un elettrone, equivalga a ΔE= hf 2K el 2 q 4 m π 2 n02h2n02h2n02h2n02h2 n02n02n02n02 n12n12n12n () λ hC = hC Portando il fattore hC a destra… 2K el 2 q 4 m π 2 n02h3Cn02h3Cn02h3Cn02h3C n02n02n02n02 n12n12n12n () λ 1 = n02n02n02n02 n12n12n12n12 - () λ 1 = R Ma questa è l’equazione empirica di Rydberg per lo spettro dell’idrogeno! 2K el 2 q 4 m π 2 n02h2n02h2n02h2n02h2 n02n02n02n02 n12n12n12n () = ΔEquantum e - Ogni riga di colore è «prodotta», quindi, da una ΔE, da un «quantum» di energia assorbito o emesso quando l’e - passa da un’orbita ad un’altra quantum E=hf Ora, dato che si tratta di energia elettromagnetica, sappiamo che il suo valore più piccolo di un segnale è proprio il «quantum» scoperto da Planck  E=hf

12 formula empirica Rydberg Bohr, in pratica, giunse alla formula empirica che Rydberg e altri ottennero analizzando le righe spettrali… leggi Newton-Maxwell Rutherford  partendo da leggi di Newton-Maxwell applicate al moto dell’elettrone, come teorizzato da Rutherford, ma ponendo una condizione… mvr= n h/2π  quantizzazione del momento angolare  i valori del momento angolare devono essere mvr= n h/2π (cioè multipli interi di una quantità fissa)  quantizzazione del momento angolare. quantizzazione delle orbite. Questo, ovviamente, comporta l’esistenza di specifiche e determinate orbite permesse all’elettrone  quantizzazione delle orbite. determinate quantumE=hf quantizzazione delle energie L’elettrone passando da un’orbita all’altra assorbe o emette solo determinate quantità di energia, multipli interi del quantum di Planck E=hf (differenza di energia tra le due orbite) e quindi ben precise righe spettrali  quantizzazione delle energie. 7livelli energeticin Dall’analisi delle righe dello spettro, Bohr ricavò per l’H 7 possibili orbite, che chiamò livelli energetici n, numerati da 1 a 7. e - Le righe totali dello spettro sono molto più di 7, in quanto i «salti», da un’orbita all’altra, non sono sempre gli stessi (l’e - può fare salti singoli, doppi, tripli ecc. ), inoltre i salti singoli hanno valori energetici (quindi righe) differenti in base al livello di partenza.

13 1.L’elettrone si muove secondo un’orbita circolare intorno al nucleo ed il suo moto è regolato dalla forza elettrica di Coulomb e dalla forza centrifuga. 2.Il moto dell’elettrone è descritto dalle leggi di Newton, ma non tutte le orbite sono permesse: solo quelle di raggio r tale che il momento angolare mvr = nh/2π orbita stazionaria 3.Se l’elettrone permane in un’orbita, non emette alcuna radiazione elettromagnetica e pertanto la sua energia è costante: l’orbita viene detta orbita stazionaria. 4.Una radiazione elettromagnetica viene assorbita o emessa solo quando un elettrone salta da un’orbita all’altra: L’energia assorbita o emessa è «quantizzata», vale un quantum ΔE = hf. Il salto tra le orbite è definito «salto quantico». 1.L’elettrone si muove secondo un’orbita circolare intorno al nucleo ed il suo moto è regolato dalla forza elettrica di Coulomb e dalla forza centrifuga. 2.Il moto dell’elettrone è descritto dalle leggi di Newton, ma non tutte le orbite sono permesse: solo quelle di raggio r tale che il momento angolare mvr = nh/2π orbita stazionaria 3.Se l’elettrone permane in un’orbita, non emette alcuna radiazione elettromagnetica e pertanto la sua energia è costante: l’orbita viene detta orbita stazionaria. 4.Una radiazione elettromagnetica viene assorbita o emessa solo quando un elettrone salta da un’orbita all’altra: L’energia assorbita o emessa è «quantizzata», vale un quantum ΔE = hf. Il salto tra le orbite è definito «salto quantico». postulati Vengono definiti postulati in quanto non dimostrabili e contro le leggi della fisica classica, ma necessari per giustificare i fenomeni osservati (così deve essere!). e - In altre parole, solo ammettendo quanto sopra è possibile giustificare gli spettri di emissione e assorbimento, nonché il fatto che una carica elettrica, come l’e -, possa non emettere luce pur avendo un moto accelerato e, quindi, non perdere energia, anche se questo contrasta con le teorie classiche. Il lavoro di Bohr si riassume nei seguenti postulati:


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