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LO STANDARD MODEL COME TEORIA EFFETTIVA Paolo Bellan Università di Padova - Dottorato di Ricerca in Fisica - XX Ciclo.

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1 LO STANDARD MODEL COME TEORIA EFFETTIVA Paolo Bellan Università di Padova - Dottorato di Ricerca in Fisica - XX Ciclo

2 CONTENUTI &  dello SM Origine delle masse nello SM Correzioni quantistiche ad m H Il Potenziale Efficace I: descrizione qualitativa Il Potenziale Efficace II: derivazione analitica e tecniche di calcolo Il Potenziale Efficace III: R-G improvement Stabilità e metastabilità del potenziale La probabilità di tunneling: derivazione, BOUNCE Correzioni quantistiche: accenni alle tecniche e risultati.

3 Descrive coerentemente praticamente tutti i fenomeni osservati nel laboratori di Fisica delle particelle e di HEP; Testato con successo sino alle energie della scala e-w (~ 10 2 GeV); Eccellente accordo coi dati dei vari esperimenti di tutto il mondo; Contiene “CHICCHE” teoriche di notevole importanza: rinormalizzabilità del modello, meccanismo GIM, presenza di simmetrie accidentali etc. Non contempla la Gravità; Non fornisce possibili spiegazioni per alcuni fenomeni sperimentali (masse dei neutrini, pentaquarks(?), QGP, …); astrofisici (D.E. / D.M.); Non spiega l’origine dell’entità delle masse dei fermioni, del mixing tra i flavour e della violazione di CP; Troppi parametri liberi; Non si pronuncia sull’unificazione delle c.c. ad alte energie Problemi della GERARCHIA di gauge / della NATURALEZZA Teoria Efficace Naturale considerare lo SM quale una Teoria Efficace o di bassa energia, restirzione di una teoria piú generale con nuovi gradi di Λ NP

4 termini cinetici nella forma: ove ma non sono permessi termini di massa di Dirac o di Majorana: Pertanto per i campi a spin ½ i termini di massa sono proibiti nel limite di simmetria esatta Ma anche per i campi bosonici A μ a spin 1 sono proibiti termini di massa tipo M 2 A μ A μ.... Tali termini di massa si dicono Rimangono “non protetti” soltanto i termini di massa per campi a spin 0 tipo M 2 φ L + φ L… Per generare le masse non nulle di fermioni e bosoni di gauge si introduce la rottura spontanea della simmetria di gauge della lagrangiana mediante l’introduzione di un campo scalare φ dal VEV non nullo ed il meccanismo di Higgs… Proprietà di anti-commutazione delle matrici γ ( ↔ comportamento sotto trasformazioni di Lorentz ) richiesta di invarianza sotto trasf. di Gauge locali Per campi a spin ½:

5 Scelta più semplice: φ “elementare” (anche se si studiano teorie in cui…) doppietto di SU(2) (affinché siano scalari i termini di massa dei fermioni tipo potenziale semi-definito positivo ed inf. limitato a d ≤4  φ 4 Higgs self -interactions NB: struttura valida solo a livello albero  correzioni quantistiche potenzialmente larghe… M H non è protetta da alcuna simmetria  dipendenza quadratica dal cut-off della teoria: δm² ~ Λ² NUOVA PARTICELLA di massa M Stabilità del settore bosonico / fermionico rispetto alle correzioni radiative: δm/m << 1 up 2 M~10 19 GeV Se M 2 >> 10 2 GeV  severo fine-tuning ad m² bare per mantenere v ~ 246 GeV (Tecnicamente) INNATURALE (ma non impossibile!)  problema del fine-tuning e della sua stabilità

6 Sparisce la dipendenza power-like dal cut-off nel potenziale di Higgs Una soluzione elegante alla questione viene dalle teorie SUSY: “ − ” “ = ” 0 Con le SUSY il problema della “big hierarchy” (scala ew << Plank) non è più un problema tecnico (ma la sua origine rimane inspiegata…) Altro sospetto di una teoria soggiacente più ampia: cancellazione dell’anomalia della corrente assiale sommando su ciascuna famiglia fermionica Tale grafico conduce alla violazione della simmetria classica della lagrangiana; se J A è associata ad una corrente di gauge e C≠0 la rinormalizzabilità e persa! A MENO CHE sommando sulle varie famiglie fermioniche non avvenga che: ed infatti guarda caso

7 L eff NON è rinormalizzabile in senso stretto, ma può esserlo odine per ordine Effective QFT Quanto vale Λ NP ? Fino a quale scala lo SM e una buona teoria effettiva, cioè PURTOPPO lo SM è rinormalizzabile! Gli effetti dei nuovi d.o.f. possono venir nascosti nella rinormalizzazione delle coupling degli operatori a d≤4  i nuovi d.o.f. si DISACCOPPIANO Parte rinormalizzabile (tutti i possibili operatori a d≤4 compatibili con la simmetria di gauge) due possibili approcci sono: Possibile parametrizzazione dei nuovi gradi di libertà studio della stabilità del potenziale di Higgs sotto correzioni quantistiche, dalla scala ew fino a Λ NP ricerca indiretta di NP indotta dagli operatori a d>4 (test di precisione e processi rari)

8 Spettro di masse di una teoria di gauge VEV degli scalari φ i della teoria, (invarianti sotto traslazioni, conservazione dell’ impulso NON SSB)  Funzioni di Green (=VEV di un prodotto di campi T-ordinato Il “Potenziale” V(φ i ) è definito come l’opposto della parte non derivativa della (densità di) Lagrangiana Si cercano le soluzioni delle e.o.m. invarianti sotto traslazioni Densità di Lagrangiana “classica” per un campo scalare φ Hamiltoniana densità di energia (di un sistema classico in termini del VALORE) del campo φ(x) densità di energia di un campo costante φ POTENZIALE EFFETTIVO Per studiare l’effetto delle correzioni quantistiche sul potenziale di Higgs si introduce il concetto di POTENZIALE EFFETTIVO. Qualitativamente Qualitativamente: Soluzioni della:

9 CORREZIONI QUANTISTICHE Contributi alla densità di energia del campo φ tenendo conto delle possibili emissioni e riassorbimenti di particelle virtuali  contributi dei loop di particelle virtuali all’energia di interazione INTERAZIONI  grafici con un certo numero di gambe esterne: 0 gambe est. Energia del vuoto  shift del livello 0 dell’energia di una costante 1 gamba est. Assorbiti in una ridefinizione (shift) del campo I grafici riducibili (separabili in due distinti dal taglio di una linea interna) non contribuiscono all’energia di interazione (il loro contributo si semplifica nello sviluppo della matrice S…) Le correzioni quantistiche al potenziale classico si ottengono sommando tutti e soli i grafici “1PI”.

10 ++ + … + + Per esempio, esempi di grafici 1PI che contribuiscono alle correzioni quantistiche al propagatore (per una teoria massless tipo λφ 4, solo interazioni 4-lin): convenzionalmente valutati senza propagatori sulle gambe esterne. Potenziale ↔ termini senza derivate nei campi  si può considerare infinitesimo l’impulso nelle gambe esterne di tali grafici Correzioni quantistiche al potenziale classico ↔ somma di tutti e soli i grafici “1PI” ↔ Potenziale efficace, il cui (nuovo) minimo determina se avviene la SSB Più quantitativamente…

11 Si inserisce una “fonte esterna” J(x) linearmente accoppiata al campo φ; è un C-numero in funzione del punto dello spazio-tempo Il funzionale generatore W(J) e` definito in termini dell’ampiezza di transizione tra gli stati di vuoto nel iniziali e finali in presenza della fonte esterna J I coefficienti G dell’ espansione in serie di Taylor funzionale di W sono le funzioni di Green connesse La trasf. di Legendre funzionale di J fornisce l’azione effettiva Γ(φ c ); φ c e’ chiamato il “campo medio” o “classico” (obbedisce all’eq. classica…) potenziale efficaceNell’espansione dell’ l’azione effettiva in serie di potenze di φ c si individuano le funzioni di Green dei grafici 1PI della teoria, detti anche vertici propri, mentre espandendola potenze delle derivate di φ c (in impulso dal punto in cui quelli esterni si annullano) si definisce il potenziale efficace STRATEGIA Espansione in impulso Espansione in potenze di φc Somma di tutti i digrammi connessi con n linee esterne Somma di tutti i diagrammi 1PI con n linee esterne POTENZIALE EFFICACE

12 L= ½(∂φ)²- ½ μ²φ² - (λ/4!)φ 4 + φ → -φ = scompaiono le potenze dispari negli sviluppi in potenze di Γ e V eff ; V eff (φ c ) ~ densità di energia dello stato in cui φ(x)≡φ c = const o meglio valore di aspettazione della densità di energia nello stato ψ che minimizza sotto la condizione = φ c Il potenziale efficace é dunque somma di tutti i diagrammi 1PI con impulsi infinitesimi sulle gambe esterne. +++ … Dunque avremo:livello albero + correzioni

13 Correz. radiative → potenziale efficace → diagrammi 1PI → RINORMALIZZAZIONE! → integrali sull’impulso → divergenze → RINORMALIZZAZIONE! Teorie rinormalizzabili ↔ divergenze riassorbite nella ridefinizione di parametri e campi. Definendo la (massa)² del mesone come l’inverso del p=0: …e la costante di accoppiamento tramite la funzione a quattro punti sempre p=0: Il valore di φ c a cui si trova il minimo è il valore di aspettazione di φ nel nuovo minimo VEV invarianti per traslazioni Il meccanismo della SSB avviene se φ c assume un VEV non nullo anche se J(x) va a zero: tramite queste si ricaverà massa e coupling, definendo φ' = φ - (  φ c ' = φ c - ) e valutandole NON in zero bensì in φ c =

14 Potenze di α = N°[linee int.] - N°[vertici] N°[ loop]= N°[ integrali INDIP sul momento ] = N°[linee int.] - N°[vertici] - 1[p Tot = cost ] potenze di α = N°[ loop] +1 non influenza la sua divisione nella parte libera e di interazione, o lo shift dei campi loop-expansion sviluppo in una costante che moltiplica l’intera lagrangiana (p.es h, poi posta uguale ad uno) ≈ Pertanto: Potenziale efficace ↔ somma su tutti gli infiniti grafici 1PI… ?! Impossibile! Poi sarà α = max [g²,g'²,λ,y t …]/4π; vogliamo sia << 1

15 Il potenziale a one-loop è dunque la somma di tutti i diagrammi ad un loop con attaccati all’anello uno-due-…-N “ciuffi” di n-2 gambe esterne, se n è la potenza a cui compare φ c nel potenziale. Se il potenziale è del tipo g(φ c ) n /n!, per l’r-esimo grafico della somma avremo: r propagatori r vertici a (n-2)r gambe r(n-2) linee esterne La loop simmetria per rotazioni e riflessione del grafico definizione di funzionale generatore fattore (k 2 +iε) -r fattore g/(n-2)! CIASCUNO (invarianza dello scambio delle n-2 linee est. a ciascun vertice) fattore g∙φ c r(n-2) integrazione sull’impulso fattore combinatorio 1/2r Una “i” Il potenziale effettivo a one-loop sarà: con una rotazione di Wick, nel piano Euclideo avremo: Se ci fosse nel potenziale un altro termine del tipo g`(φ c ) m /m! come argomento del log sarebbe comparso un termine analogo ma con potenza e fattoriale pari a m-2.  Per un generico potenziale polinomiale U avremmo: Divergente!  si taglia a k = Λ (e se la th è rinormalizzabile la dipendenza da Λ sparirà)

16 Un metodo alternativo (Lee-Sciaccaluga) molto semplice e più efficace ad ordini superiori: espansione dell’azione effettiva non attorno a φ c =0 ma attorno ad φ c = ω  Γ (n) sarà il generatore dei diagrammi 1PI di una teoria in cui φ c è stato sostituito da φ c – ω; l’espressione per il potenziale efficace conterrà ora potenze di φ c – ω. Differenziando ora l’espressione di Γ (1) rispetto ad ω e ponendo φ c = ω si ottiene subito: “ ” Per esempio nel caso di una teoria con scalare massivo auto-interagente avremo il “solito” potenziale dello SM, shiftato di ω: La massa di φ c ora vale μ 2 + λω 2 : il termine tri-lineare sarebbe –λωφ c 3 così tale vertice avrebbe il fattore – 3!iλω  il tad-pole varrebbe: Moltiplicato per i ed integrando su ω: cioè come prima a meno di costante.

17 Per un potenziale quartico il potenziale efficace risulta: con a e b controtermini (cutoff- dependent) da determinarsi con le condizioni di rinormalizzazione Inoltre, se φ c piccolo & μ²<0 → V immaginario! Occorre implementare la sottrazione ad un valore di φ c tale che V eff sia reale SSB! L’origine non è più di minimo, ma ve ne può essere uno nuovo  SSB! Rinormalizzazione PROBLEMA! La derivata IV del potenziale non esiste, ha una singolarità logaritmica nell’origine!  Si definisce allora la c.c. in un qualche arbitrario “punto” M lontano dalla singolarità:

18 Così facendo: si introduce un parametro arbitrario M con le dimensioni di una massa; il nuovo minimo dipende da M, cosiccome la c.c. La dipendenza da M NON entra nella fisica: cambiando M cambia solo λ R Il valore a cui si opera la sottrazione può essere LONTANO dal range di validità della loop-expansion: affinché sia affidabile, il parametro di espansione dev’essere sia << 1 posso fissare adeguatamente M; ma se voglio lavorare in un intervallo del potenziale tra φ 1 e φ 2, dovrà essere anche ln( (φ 1 /φ 2 )²) << 1; Occorre calcolare il potenziale efficace “RG-improved”

19 → M arbitrario (entra nell’espressioni di λ); la “Fisica”, il V eff non deve dipendervi (le dipendenze si devono poter assorbire) → Equazioni del gruppo di rinormalizzazione; β g i : “β-function” (una per ciascuna coupling) e γ “dimensione anomala”: coefficienti parametrici che dipendono dalle c.c. e da M β e γ sono note solo come sviluppi in serie di potenze nelle c.c., che saranno affidabili se le g i << 1 SENZA richiedere che g i ln(φ c /M) << 1 ! NB Una RGE per ciascuno dei termini μ²φ², (λ/4!)φ 4 del potenziale; quindi avremo le β- function β μ, β λ (in realtà un’equazione per ciascuna Γ (n), visto non devono dipendere dalla scala di rinormalizzazione M) Condizioni al contorno per le RGE: Note dunque le masse di fermioni ed Higgs, risulta determinato il potenziale efficace “RG-improved”; viceversa dal suo calcolo e confronto coi dati si possono mettere limiti su m H …

20 SCALARI: BOSONI DI GAUGE: FERMIONI: Nello SM avremo anche (TUTTI a M=0): campi bosonici a spin 0, φ a bi-spinori di Dirac, ψ a campi vettoriali, A a μ campi ghost CONTROTERMINI DALLA RI- NORMALIZZAZIONE DELLE C.C. (  V c in funz degli altri 4 termini) Solo grafici con un numero pari di gambe esterne (la traccia di un num. dispari di matrici γ vale zero) …tutti con interazioni rinormalizzabili : gauge invarianti self-interaction quartiche per i φ a Yukawa-type per quelle bosoni - fermioni Gauge di Landau Poligoni n-agoni  ∑(possibili mesoni interni) ≡ Tr{∏ matrici(attorno alla loop)}

21 NB: Se g Y (=√2m top /σ) è grande B può diventare negativo!  Potenziale non limitato minimo instabile! g, g' c.c. di gauge e g Y Yukawa-coupling del top Nel modello GWS standard avremo: Sommando tutti i contributi dei loop con scalari, fermioni e bosoni vettori, trascurando i contributi di tutti i quark escluso il top e ponendosi a φ<

22 Risommando i Log: LA RICHIESTA DELLA STABILITA’ DEL POTENZIALE PER φ 0 Differenti comportamenti del potenziale a seconda del valore iniziale di λ(M) ↔ m H V eff (φ) φ v

23 troppo grandi Valori iniziali di λ (di m H ) troppo grandi portano ad un polo prima della scala di Plank Valori troppo piccoli conducono ad una λ negativa  IL VUOTO DELLO SM DIVENTA INSTABILE! Soltanto per m H in una limitata finestra di valori lo SM rimane stabile sino alle energie di Planck… Log 10 (Λ/1GeV)

24 Se λ(M) diventa negativa per M > Λ si può ripristinare la stabilità assoluta del minimo e-w (NO nuovi minimi del potenziale) introducendo nuovi gradi di libertà (NP) PRIMA della scala Λ, per “congelare” il running di λ grazie a loop di nuove particelle (SUSY, p.es.)  limiti superiori sulla scala di NP in funzione di m H (ed m t ). FLUTTUAZIONI QUANTISTICHE T~0) calcolabili in modo model-indep. FLUTTUAZIONI TERMICHE paragonabili alle quantistiche T~10 8 GeV Ma l’assoluta stabilità non è richiesta da alcuna evidenza sperimentale! Se si RINUNCIA alla richiesta di stabilità assoluta “accontentandosi” che il vuoto e-w sia (instabile ma) sufficientemente longevo, si può allora rilassare le condizioni e richiedere la stabilità del minimo sotto: (non ne parleremo) Limiti su m H dalla richiesta che la probabilità di QUANTUM TUNNELING del minimo ew integrata sull’età dell’Universo T U sia piccola Possono aver avuto un ruolo importante nelle primissime fasi di vita dell’Universo…

25 φ-φ- φ+φ+ φ U CLASSICAMENTE: 2 eq. stabili: φ +, φ -. QUANTISTICAMENTE: 1 solo eq. stabile: φ - φ + reso instabile dalle fluttuazioni quantistiche (effetto tunnel, “barrier penetration”): è un “FALSO VUOTO” Con un potenziale simile si potrebbero dunque formare bolle di vero vuoto in un fondo omogeneo di falso vuoto… Analogia: fluido sovra-riscaldato  formazione di bolle di vapore: energia minore all’interno, maggiore all’esterno (fase di vapore ↔ MINORE energia libera) VS crescita  guadagno in en. di volume VS perdita di en. di superficie effetti in competizione, compensazione o meno: le bolle piccole scompaiono, le bolle grandi crescono ~ O(1 ms): l’universo è ancora caldo quando il falso vuoto decade ~ O(1 yr): brusco cambiamento di stato dell’Universo (Big Bang secondario?) ~ O(10 9 yr): …C’E` DI CHE PREOCCUPARSI! Quantità rilevante: probabilità di decadimento del falso vuoto x unità di volume e di tempo

26 Quantisticamente il minimo q 0 non è stabile: grazie a fluttuazioni quantistiche la particella può penetrare la barriera. L’ampiezza di transizione per tale processo ha la forma: Si può scegliere E tot =0 e lo zero dell’energia in modo che il punto di eq. “classico”, q 0, sia zero di V; σ è il II zero di V. Consideriamo il problema 1-D con m=1 e V(q): -V(q) σq V V(q) q0q0 σ  Σ superficie di minimi; l’intergale sarà su quel percorso per cui B è minimo: la particella penetra dove trova meno resistenza Formalmente il problema è equivalente studiare il problema variazionale canonico, ove però: ove: Generalizzando in più dimensioni:

27 Ma -V(q) σq V V(q) q0q0 Inoltre potendo scegliere come istante zero quello in cui la particella raggiunge σ, dovrà essere: Quindi Notiamo che la variazione di quest’espressione rispetto ad un cambio del punto σ di Σ si annulla (quella condizione si può dunque rilassare…) Per τ>0 il suo moto è l’esatto inverso che per τ<0: balza fuori da Σ a τ=0 e torna in q 0 a τ=∞. La particella parte in q 0 a τ = -∞, colpisce la superficie degli equilibri “classici” dall’altra parte della barriera, e BALZA indietro in q 0 ad τ = +∞. Questo moto viene appunto detto il “bounce” Quindi per conoscere B: si risolvono le e.o.m. a tempo immaginario con le appropriate condizioni al contorno se ne calcola l’azione euclidea NB_1: con PIU’ bounces  prendo quello che minimizza l’azione euclidea NB_2: con PIU’ bounces a pari azione  sommo tutti tali contributi su Γ (integro sul gruppo di simmetria )

28 Tornando ai campi, l’e.o.m. a tempo immaginario sarà: con condizioni al contorno: (la 1 ci dice che al principio c’è ovunque il “falso” vuoto) Inoltre: B finita (↔ lontano dalla “bolla” di vero vuoto il vuoto rimane quello “falso”) definito: così avremo che: (continuità nell’origine) traslazioni spaziali di soluzioni sono ancora soluzioni  il bounce è invariante per rotazioni euclidee 4-D (soluzioni non O(4) invarianti hanno azione maggiore  ignorabili) si vede che esistono sempre soluz alle equazioni sopra, diventate: φ-φ- φ+φ+ φ U U(φ)U(φ) -U(φ)

29 b≡b(r) è calcolabile in forma chiusa nella “tiny wall approximation” (piccola ΔE tra I due minimi) la funzione φ fornisce la forma del bounce nello spazio 4-D euclideo come in quello ordinario al momento della sua materializzazione al di là della barriera l’O(4)-invarianza diviene O(3,1)  la crescita della bolla dopo la sua materializzazione appare la stessa ad ogni osservatore di Lorentz tutta l’energia guadagnata nella conversione del falso vuoto nel vero vuoto, quindi nella crescita finisce nell’accelerazione della bolla stessa poi evolve secondo l’ equazione dei campi classici: analogia QFT  meccanica: il campo classico compie un “balzo” dallo stato definito dalle continuazione analitica

30 Versione euclidea (τ=it) dell’ integrale di Feynman sui cammini Eq di una particella (di massa unitaria) che si muove sotto un potenziale –V  E=1/2(dx/dt)²-V(x) è integrale primo Ivi il termine dominante per grandi T “parla” dell’ autostato più basso dell’energia Nel limite semiclassico, dominato dai (contributi dei) punti stazionari di S Azione euclidea Circa il coefficiente A:

31 BOUNCE b è il “BOUNCE” la soluzione delle equazioni del moto euclidee (τ = it): soddisfacente alle condizioni: Siamo al risultato: (semi-classical approx.) connette le regioni di falso vuoto con quelle di vero vuoto al di là della barriera; è O(4)-invariante R: parametro di scala arbitrario associato alla dimensione caratteristica del bounce T U /R: fattore di volume Inserendole nell’espressione per p: SOLUZIONI tree-level (λ < 0 e trascurando la parte quadratica del potenziale): richiedendo p<1  limiti su λ (λ piccolo  tunneling rate bassa) RGE per λ(μ)  limiti inferiori su m H P<1 V U =(10 10 yr) 4

32 Nel calcolo della probabilità di tunneling a 1-loop tali ambiguità dimensionali vengono entrambe rimosse; l’espressione da calcolare è: f h/g funzioni che esprimono la parte da sottrarre dei contributi all’azione dei loop del top e dei bosoni di gauge (da ricavare numericamente) b : il “bounce” al tree-level (b=v è il falso vuoto ew) S 0/1 : funzionale d’azione al tree-level / one-loop; l’ apice denota la derivata funzionale Si, ma… QUALE R, ? QUALE μ ? (forse μ = 1/R…?) SDet: il determinante funzionale; l’apice indica l’omissione nel calcolo delle autofunz. dell’autovalore zero (gli “zero-modes” (già contato integrando b che è t-invar.) = Det quando agisce su campi bosonici = 1/Det² quando agisce su campi fermionici Il valore critico di R è molto grande (  trascurare il termini quadratici nel potenziale è ben giustificato)ma < M PL ! m H =115 GeV, m t =175 GeV

33 Se NON si trovasse NP fino a M PL esiste una considerevole probabilità che il vuoto dello SM in SIA METASTABILE! Per porre i limiti in figura si è posto p max = 1 e si sono utilizzate: soluzioni delle equazioni di QCD a two-loop g t (m VS m t integrazione a two-loop delle RGE eq per λ, g t per le tre c.c g i In definitiva: per m H =115 GeV, il potenziale di Higgs esibisce instabilità sotto la scala di Plank per m t > (166±2)GeV, mentre è metastabile, ma sufficientemente longevo per m t < (175±2)GeV. Viceversa prendendo m t dal PDG04, la metastabilità risulta perfettamente compatibile con gli attuali limiti sperimentali su m H

34 BIBLIOGRAFIA Articoli: S. Coleman, E. Weinberg, Phys. Rev. D & (1973) 1888; J. Iliopoulos, C. Itzykson, A. Martin, Rev. of Mod. Phys (1975) 165 ; S. Coleman, Phys. Rev. D 15 (1977) 2929 ; C. G. Callan, S. Coleman, Phys. Rev. D 16 (1977) 1762 ; M. Sher, Phys. Letters B 317 (1993) ; G. Isidori, G. Ridolfi, A. Strumia, (2001) hep-ph/ Testi: J.D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistic Quantum Fields McGraw-Hill, 1965; R.P Feynman, A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, 1965.

35 BACKUP SLIDES (ritagli)

36

37 mHmH Le fluttuazioni quantistiche attorno al campo classico (emissioni e riassorbimento) sono la somma delle densità di energia delle fluttuazioni del vuoto; la loro frequenza, o massa, è coerentemente proporzionale alla “curvatura” (U'') ½ Il significato fisico di V eff emerge meglio integrando sul tempo:

38 ad ogni dato ordine perturbativo, è somma di tutti i grafici; in essi, corrispondentemente ad ogni campo, ogni gamba esterna avrà un propagatore che porta impulso p i con un indice libero α; NON sono direttamente connesse con gli osservabili fisici, NON sono gauge-invarianti le linee esterne dei grafici non sono necessariamente on-mass-shell Funzioni di Green: VEV di un prodotto di campi T-ordinato (α: lorentz+group ind.)

39 Il metodo standard sviluppato per la determinazione del potenziale efficace tramite il calcolo dell’integrale funzionale è il cosiddetto “steepest descendent method, nel quale si calcola esplicitamente il funzionale integrale e quindi la trasf. di Legendre, successivamente espansa: si definisce una nuova lagrangiana (che avrà nuovi propagatori e nuovi vertici): Dove il determinante agisce sui gradi di libertà interni e di spin Il potenziale efficace sarà dato da: Il DETERMINANTE FUNZIONALE di un operatore ellittico (autoval. dei coeff. delle derivate tutti positivi o tutti negativi) a spettro discreto e positivo si può definire come e –Z'(0) ove Z(0) è la continuazione analitica nell’origine di: Z(s)=∑ n (λ n ) –s

40 ~ legge di Stokes con viscostà inversamente proporzionale al tempo φ-φ- φ+φ+ φ U U(φ)U(φ) -U(φ) φ1φ1 + ++…+… +…+… ++…+… Era:


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