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University of Padova Information Engineering Dept. – Microelectronics Lab. Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione Elettronica Digitale - Lezione.

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1 University of Padova Information Engineering Dept. – Microelectronics Lab. Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione Elettronica Digitale - Lezione 2 - Andrea Gerosa - Tel

2 Logica binaria e Porte logiche  Variabili binarie  Operatori logici  Operatori logici fondamentali: sono le 3 funzioni logiche AND, OR e NOT.  Porte logiche  Algebra di Boole

3 Variabili binarie  Valori True/False On/Off Yes/No 1/0  Esempi di variabili: A, B, y, z, o X 1 RESET, START_IT, o ADD1

4 Operatori Logici fondamentali  AND (·)  OR (+)  NOT ( ¯ ), (') o (~) AND 0 · 0 = 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 1 · 1 = 1 OR = = = = 1 NOT 10  01 

5 01 10 X XZ  Tabella di verità  Elenco dei valori di uscita di una funzione logica per ogni possibile combinazione degli ingressi binari Funzione di N variabili binarie  2 N righe Z = X·Y YX AND OR XYZ = X+Y

6 Regole di precedenza  Precedenza degli operatori fondamentali in ordine decrescente: 1.Parentesi 2.NOT 3.AND 4.OR  Esempio: F = A(B + C)(C + D)

7 Porte Logiche  Rappresentazione simbolica del circuito che realizza una funzione logica:

8 Tempo o ritardo di propagazione tptp tptp Input Output Time (ns) t p = 0.3 ns  La commutazione dell’uscita di una porta non può essere istantanea.  Il ritardo tra la commutazione dell’ingresso(i) e la commutazione dell’uscita è il tempo o ritardo di propagazione) t p :

9 Circuiti logici  Tabella di verità, equazione (o espressione) logica e circuito logico descrivono la stessa funzione logica.  La tabella di verità è unica; l’equazione e il circuito no. X Y F Z Circuito logico Equazione logica ZY X F  Tabella di verità X Y Z Z Y X F   

10 Algebra di Boole  Definisce in modo rigoroso l’algebra con cui operare sulle variabili logiche  Definita da George Boole (filosofo) nel 1854  Codificata in 6 postulati da Huntington nel 1904  Ristretta all’algebra commutativa da Shannon nel 1938  2 Approcci: definizione rigorosa a partire da postulati o definizione regole a partire dagli operatori

11 Commutativa Associativa Distributiva De Morgan X. 1 X = X. 00 = X. XX = 0 = Algebra di Boole X + YY + X = (X + Y)Z + X + (YZ)Z) += X(Y + Z)XYXZ += X + YX. Y = XYYX = (XY)ZX(YX(YZ)Z) = X+ YZ(X + Y)(X + Z)= X. YX + Y = X + 0 X = + X 11 = X + XX = 1 = X = X

12 Principio di Dualità  Data una generica espressione booleana, si definisce espressione duale quella che si ottiene: 1.Cambiando tutti gli operatori AND in OR e viceversa 2.Cambiando tutti i valori “0” in “1” e viceversa  Per il principio di dualità, se un’espressione è vera allora è vera anche la duale.

13 Principio di dualità

14 Teoremi dell’algebra di Boole  A + A·B = A (Assorbimento)  A·(A+B)=A Dimostrazione A + A·B =A · 1 + A · B X = X · 1 = A · ( 1 + B) X · Y + X · Z = X ·(Y + Z) = A · X = 1 = A X · 1 = X

15 Teoremi dell’algebra di Boole  Combinazione o semplificazione  Teorema del consenso

16 Teoremi dell’algebra di Boole

17 Semplificazione di un’espressione  Minimizzare il numero di letterali (variabili dirette o negate): = AB + ABCD + A C D + A C D + A B D = AB + AB(CD) + A C (D + D) + A B D = AB + A C + A B D = B(A + AD) +AC = B (A + D) + A C 5 letterali  DCBADCADBADCABA

18 Forme canoniche  Tra le possibili espressioni logiche di una data funzione, ne identifichiamo 2 particolari: Somma di mintermini – SOM (Sum of Minterms) Prodotto di maxtermini – POM (Product of Maxterms)

19 Mintermini - definizioni  Data una funzione logica a N variabili:  Termine prodotto: qualsiasi prodotto tra letterali  Mintermine: termine prodotto che contiene tutte le N variabili (dirette o negate).  Per ogni funzione di N variabili, esistono 2 N mintermini. YX XY YX YX

20 Maxtermini - definizioni  Data una funzione logica a N variabili:  Termine somma: qualsiasi somma tra letterali  Maxtermine: termine somma che contiene tutte le N variabili (dirette o negate).  Per ogni funzione di N variabili, esistono 2 N maxtermini. YX  YX  YX  YX 

21  Indici  L’indice i corrisponde alla riga della TdV a cui associamo m i e M i Maxtermini e Mintermini iMint., m i Maxt., M i 0x yx + y 1x yx + y 2x yx + y 3x yx + y

22 Mintermini e TdV  Variabile = 0 appare negata nel mint.  Variabile =1 Appare diretta nel mint.

23 Mintermini e TdV  Un solo mint. vale “1” per ogni riga  Una funzione logica può essere espressa come OR tra mintermini

24 Somma di Mintermini  F 1 = m 1 + m 4 + m 7  F1 = x y z + x y z + x y z

25 Maxtermini e TdV  Variabile = 0 appare diretta nel maxt.  Variabile =1 Appare negata nel maxt.

26 Maxtermini e TdV  Un solo maxt. vale “0” per ogni riga  Una funzione logica può essere espressa come AND tra maxtermini

27 Prodotto di Maxtermini  F 1 = M 0 · M 2 · M 3 · M 5 · M 6 )z y z)·(x y ·(x z) y (x F 1  z) y x)·(z y x·( 

28 Somma canonica  Qualsiasi funzione logica può essere espressa come Somma di Mintermini. yxxf  yxyxxyf  yx)yy(xf 

29 Abbreviazioni F = m 1 +m 4 +m 5 +m 6 +m 7

30 Prodotto canonico yxx)z,y,x(f  yx )y(x 1 )y)(xx(x y xx    zyx)zyx(zzyx     Qualsiasi funzione logica può essere espressa come Prodotto di Maxtermini.

31 Conversione tra forme canoniche )7,5,3,1( )z,y,x(F m  )7,5,3,1()z,y,x(F M  )6,4,2,0()z,y,x( F m 

32  Somma di prodotti (SOP)  Prodotto di somme (POS) Altre forme standard B C B A C B A   C · ) C B (A · B) (A 

33 Complessità circuitale  Per ogni funzione esiste un’implementazione SOP come somma di tutti i mintermini circuito logico 2 livelli tale che: il primo livello è formato da una schiera di porte AND a N ingressi il secondo livello consiste in una singola porta OR  Spesso esistono altre forme SOP a cui corrispondono circuiti meno complessi

34  5 AND a 3 ingressi + 1 OR a 5 ingressi  Può essere semplificata: Esempio

35

36 Problema di minimizzazione  Le forme canoniche e le altre realizzazioni a SOP o POS differiscono tra loro in termini di complessità L’algebra di Boole è uno strumento per semplificare le espressioni logiche Espressioni logiche più semplici corrispondono a implementazioni meno complesse  Problemi Definire un criterio di complessità minima Esiste un’unica soluzione a minima complessità? Necessitiamo di un metodo per individuare la soluzione minima

37 Chapter 2 - Part 1 37 Terms of Use  All (or portions) of this material © 2008 by Pearson Education, Inc.  Permission is given to incorporate this material or adaptations thereof into classroom presentations and handouts to instructors in courses adopting the latest edition of Logic and Computer Design Fundamentals as the course textbook.  These materials or adaptations thereof are not to be sold or otherwise offered for consideration.  This Terms of Use slide or page is to be included within the original materials or any adaptations thereof.


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